A Neimark-Sacker bifurcation in a discrete SIS model

• Autorzy: Choiński Marcin

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v51i1.7203

Warianty tytułu

PL

Bifurkacja Neimarka–Sackera w dyskretnym modelu SIS

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper, we analyze a possibility of occurrence of a Neimark-Sacker bifurcation in a two-dimensional SIS discrete-time model. As a discretization method, we applied the Explicit Euler Scheme. We choose a step size of discretization method as a bifurcation parameter, what is not a typical approach. We phrase conditions giving the bifurcation appearance depending on the step size. Firstly, we determine terms on the step size enabling the eigenvalues of Jacobian matrix for the endemic stationary state of the system being complex and having absolute value equal to 1. Then we use the Center Manifold Theorem in order to exclude values of step size which disable the occurrence of bifurcation. We accomplish our results with numerical simulations.

PL

W artykule zbadano możliwość wystąpienia bifurkacji Neimerka–Sackera (BNS) w dyskretnym dwuwymiarowym modelu SIS. W celu dyskretyzacji modelu ciągłego zastosowano jawny schemat Eulera. Jako parametr bifurkacyjny wybrano długość kroku dyskretyzacji, co nie jest standardowym podejściem. Sformułowaliśmy warunki wystąpienia bifurkacji w zależności od długości kroku. Najpierw sprawdzono, dla jakich warunków wartości własne macierzy Jacobiego dla endemicznego stanu stacjonarnego są zespolone oraz ich moduł wynosi 1. Następnie zastosowano twierdzenie o rozmaitości centralnej w celu wykluczenia tych wartości kroku dyskretyzacji, dla których BNS nie występuje. Rozważania teoretyczne są uzupełnione symulacjami numerycznymi.

Słowa kluczowe

EN

Neimark-Sacker bifurcation; discretization; Explicit Euler Method; discrete dynamical system; epidemiology

PL

bifurkacja Neimarka–Sackera; dyskretyzacja; metoda Eulera; dyskretny uklad dynamiczny; epidemiologia

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2023
• Tom: Vol. 51, no. 1
• Strony: 109--120
• Opis fizyczny: Bibliogr. 7 poz.

Twórcy

autor

Choiński Marcin

• Warsaw University of Life Sciences Institute of Information Technology Nowoursynowska 159 b. 34, Warszawa 02-776

• https://orcid.org/0000-0001-6157-8963

Bibliografia

• [1] M. Bodzioch, M. Choiński, and U. Foryś. SIS Criss-Cross Model of Tuberculosis in Heterogeneous Population. Discrete and Continuous Dynamical Systemsń - Series B, 24(5):2169-2188, 2019. doi: 10.3934/dcdsb.2019089.
• [2] H. Cao, H. Wu, and X. Wang. Bifurcation analysis of a discrete SIR epidemic model with constant recovery. Advances in Difference Equations 2020, 2020(1), 2020. doi: 10.1186/s13662-020-2510-9.
• [3] M. Choiński and M. Bodzioch. A Non-standard Discretized SIS Model of Epidemics. Mathematical Biosciences and Engineering, 19(1):115-133, 2022. doi: 10.3934/mbe.2022006.
• [4] M. Choiński, M. Bodzioch, and U. Foryś. Simple Discrete SIS Criss-Cross Model of Tuberculosis in Heterogeneous Population of Homeless and Non-Homeless People. Mathematica Applicanda, 47(1):103-115, 2019. doi:10.14708/ma.v47i1.6496.
• [5] M. Choiński, M. Bodzioch, and U. Foryś. Flip Bifurcation in a Discrete Two-Dimensional System, In: S. Armenia, P. Geril (eds), Modelling and Simulation 2021, The European Simulation and Modelling Conference 2021. EUROSIS-ETI, pages 262-264, 2021.
• [6] J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, volume 42. 1983.
• [7] Z. Hu, Z. Teng, C. Jia, C. Zhang, and L. Zhang. Dynamical Analysis and Chaos Control of a Discrete SIS Epidemic Model. Advances in Difference Equations, 58(2014):1-20, 2014. doi: 10.1186/1687-1847-2014-58.

Uwagi

PL

Opracowanie rekordu ze środków MEiN, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2022-2023).