Numerical properties of discrete approximations of an elementary fractional order transfer function

• Autorzy: Oprzędkiewicz Krzysztof

Identyfikatory

DOI

10.15199/48.2023.07.22

Warianty tytułu

PL

Właściwości numeryczne dyskretnych aproksymacji elementarnej transmitancji ułamkowego rzędu

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper deals with the analysis of basic numerical properties of discrete approximations of the elementary fractional order, inertial transfer function. The considered transfer function is approximated with the use of two most typical approaches. The first one uses Continuous Fraction Expansion (CFE) approximation, the next one employes the Fractional Order Backward Difference (FOBD) approximation, based on the Grünwald-Letnikov (GL) definition of fractional operator. Elementary properties of both approximants: accuracy and duration of calculations are numerically analysed using PC and MATLAB. Publications in this field are not known to the author. Results of numerical tests point that at the considered software-hardware platform the FOBD approximation assures better accuracy than CFE approximation with practically the same duration of computation. Next, the speed of computing is determined by the form of source code. Additionally, the computing of step response with the use of both tested approximations is much faster than the use of analytical solution employing the MATLAB implementation of Mittag-Leffler function.

PL

W artykule omówiono podstawowe własności numeryczne dyskretnych aproksymacji elementarnej transmitancji obiektu inercyjnego niecałkowitego rzędu. Do aproksymacji zastosowano dwie najbardziej typowe metody. Pierwsza z nich bazuje na aproksymacji CFE niskiego rzędu, druga aproksymacja (FOBD) wykorzystuje definicję operatora ułamkowego podaną przez Grüunwalda i Letnikova. Podstawowe własności obu aproksy macji: dokładność i złożoność (w sensie czasu obliczeń) zostały poddane analizie numerycznej z użyciem środowiska MATLAB na typowej platformie PC. Wcześniejsze publikacje w literaturze z tego zakresu nie są znane autorowi. Na podstawie wyników testów numerycznych można stwierdzić, że w rozważanym wypadku zastosowanie aproksymacji FOBD zapewnia lepszą dokładność przy praktycznie tej samej szybkości obliczeń. Stwierdzono też zależność pomiędzy szybkością obliczeń i postacią kodu źródłowego programu. Dodatkowo zauważono, że zastosowanie każdej z omawianych aproksymacji pozwala na wykonanie obliczeń znacznie szybciej, niż wyko rzystanie w tym celu analitycznej formuły na odpowiedź skokową rozważanej transmitancji. Wynika to prawdopodobnie z długiego czasu wyznaczania funkcji Mittag-Lefflera na platformie MATLAB.

Słowa kluczowe

EN

fractional order transfer function; CFE approximation; FOBD approximation; numerical complexity

PL

transmitancja ułamkowa; aproksymacja CFE; aproksymacja FOBD; złożoność numeryczna

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Przegląd Elektrotechniczny
• Rocznik: 2023
• Tom: R. 99, nr 7
• Strony: 117--123
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Oprzędkiewicz Krzysztof

• Dept of Automatic Control and Robotics, Faculty of Electrical Engineering, Automatic Control, Informatics and Biomedical Engineering, AGH University, al. A. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland

Bibliografia

• [1] M.A. Al-Alaoui. Novel digital integrator and differentiator. Electronics Letters, 29(4):376–378, 1993.
• [2] M. Buslowicz and T. Kaczorek. Simple conditions for practical stability of positive fractional discrete-time linear systems. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 19(2):263–269, 2009.
• [3] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, and I. Petras. Fractional order systems: Modeling and Control Applications. In Leon O. Chua, editor, World Scientific Series on Nonlinear Science, pages 1–178. University of California, Berkeley, 2010.
• [4] Y. Q. Chen and K. L. Moore. Discretization schemes for fractional-order differentiators and integrators. IEEE Transactions on Circuits and Systems - I: Fundamental Theory and Applications, 49(3):263–269, 2002.
• [5] S. Das. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer, Berlin, 2010.
• [6] M. Dlugosz and P. Skruch. The application of fractional-order models for thermal process modelling inside buildings. Journal of Building Physics, 1(1):1–13, 2015.
• [7] A. Dzieliński, D. Sierociuk, and G. Sarwas. Some applications of fractional order calculus. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 58(4):583–592, 2010.
• [8] C.G. Gal and M. Warma. Elliptic and parabolic equations with fractional diffusion and dynamic boundary conditions. Evolution Equations and Control Theory, 5(1):61–103, 2016.
• [9] T. Kaczorek. Selected Problems of Fractional Systems Theory. Springer, Berlin, 2011.
• [10] T. Kaczorek and K. Rogowski. Fractional Linear Systems and Electrical Circuits. Bialystok University of Technology, Bialystok, 2014.
• [11] A. Obr ˛aczka. Control of heat processes with the use of non-integer models. PhD thesis, AGH University, Krakow, Poland, 2014.
• [12] K. Oprzędkiewicz, E. Gawin, and T. Gawin. Real-time plc implementations of fractional order operator. In Automation 2018 : innovations in automation, robotics and measurment techniques : 21-23 March, Warsaw, Poland, pages 36–51, 2018.
• [13] K. Oprzędkiewicz, E. Gawin, and W. Mitkowski. Application of fractional order transfer functions to modeling of high - order systems. In MMAR 2015 : 20th international conference on Methods and Models in Automation and Robotics : 24-27 August 2015, Międzyzdroje, Poland, page 1169–1174, 2015.
• [14] K. Oprzędkiewicz, W. Mitkowski, and E. Gawin. An accuracy estimation for a non integer order, discrete, state space model of heat transfer process. In Automation 2017 : innovations in automation, robotics and measurment techniques : 15-17 March, Warsaw, Poland, pages 86–98, 2017.
• [15] P. Ostalczyk. Equivalent descriptions of a discrete-time fractional-order linear system and its stability domains. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 22(3):533–538, 2012.
• [16] P. Ostalczyk. Discrete Fractional Calculus. Applications in Control and Image Processing. World Scientific, New Jersey, London, Singapore, 2016.
• [17] I. Petras. Fractional order feedback control of a dc motor. Journal of Electrical Engineering, 60(3):117–128, 2009.
• [18] I. Petras. Digital fractional order differentiator/integrator - iir type (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/3672- digital-fractional-order-differentiator-integrator-iir-type), matlab central file exchange. retrieved january 30, 2023.http://people.tuke.sk/igor.podlubny/usu/matlab/ petras/dfod1.m, 2023.
• [19] I. Petras. Ivo petras (2023). digital fractional order differentiator/integrator - fir type. (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/3673- digital-fractional-order-differentiator-integrator-fir-type), matlab central file exchange. retrieved january 30, 2023., 2023.
• [20] I. Podlubny. Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999.
• [21] D. Sierociuk, T. Skovranek, M. Macias, I. Podlubny, I. Petras, A. Dzielinski, and P. Ziubinski. Diffusion process modeling by using fractional-order models. Applied Mathematics and Computation, 257(1):2–11, 2015.
• [22] R. Stanisławski, K. Latawiec, and M. Łukaniszyn. A comparative analysis of Laguerre-based approximators to the Grünwald-Letnikov fractional-order difference. Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering, 2015(1):1–10, 2015.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MEiN, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2022-2023).