Wyniki wyszukiwania - Biblioteka Nauki

1

Kompetencje geometryczne nauczycieli matematyki

100%

Czajkowska M.

Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis | Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia

|

2016

|

tom 8

51-68

PL

Practice proves that students tend to face difficulties in learninggeometry. This observation is partially confirmed by the results of educationalresearch as well as external exams. It happens repeatedly that studentsget lower marks in arithmetic or algebra tasks. The causes of such situationare complex. One of the reasons is that teaching geometry requires specialteaching skills characteristic for this specific teaching branch as well as theneed for “specific vision”. Therefore, I decided to study the geometric skillsof mathematics teachers more carefully. For this purpose, I made use of tworesearch results: international research TEDS-M 2008 as well as nationwideresearch The research of needs the elementary education teachers as well asmathematics teachers have in the scope of their professional development.This article presents the results of the analysis together with my personalthoughts on education and improvement of teachers’ skills in the area of geometry.

2

Geometrical perspective on rotation and data structure diagnosis in factor analysis

80%

Tarka P.

Econometrics. Ekonometria. Advances in Applied Data Analytics

|

2013

|

nr 1(39)

198-209

EN

Geometry has always contributed to a great extent and played a significant role in the development of many of the principles of the factor models. While factor-analytic principles and procedures have been generally developed by the heavy emphasis on matrix algebra, there is still a grave importance and need towards a geometrical approach and its application in the factor analysis. In this article the author provides, on selected issues, a description in reference to factor models from a geometric viewpoint with a discussion running through its advantages and disadvantages. Finally, at the end of the paper, conclusions in reference to good conditions of factors rotation are given. This article explains to what extent a geometrical approach brings specific value and offers an extra insight into factor analysis. As proved, geometry still provides an alternative framework which may be helpful for better understanding and data structure diagnosis.

3

Analysis of students’ solutions to geometry questions forming a bundle

80%

Czajkowska M. , Zambrowska M.

Didactica Mathematicae

|

2016

|

tom 38

EN

One of the main goals of mathematical education is to develop the skills for problem solving as well as skills that help carry out mathematical reasoning and argumentation.Geometric problems play here a special role. These require the person solving them to act with an inquiry attitude and a ‘specific vision’. The ‘specific vision’ is the ability one can manipulate with geometric objects in ones’ mind and perceive, separate and focus on the important information only. However, it is not enough to “see” it is also necessary to know how to interpret what is being seen. Although many researchers have dealt with the problem and many establishments have been made in this scope, the question of how to develop the skills of the “specific vision” stays still open.Herein article presents the research results which aimed at, among others, verification to what degree the combination of geometry problems formed into a bundle helps the secondary school students ‘notice’ and understand the presented situation and as a consequence to find the answer to few questions about this situation. We wanted to establish whether such an organised educational environment entails students natural thinking over the subsequent bundle of problems solved, or maybe makes them return to questions already solved, or by the usage of knowledge acquired helps students to find the problem solution for the next question or a correction for the committed mistakes. The analysis was based on some results coming from the survey School of Independent Thinking conducted by the Institute for Educational Research in 2011.

4

Dürer polyhedra: the dark side of melancholia

80%

Fowler P. , John P.

Discussiones Mathematicae Graph Theory

|

2002

|

tom 22

|

nr 1

101-109

EN

Dürer's engraving Melencolia I famously includes a perspective view of a solid polyhedral block of which the visible portion is an 8-circuit bounding a pentagon-triple+triangle patch. The polyhedron is usually taken to be a cube truncated on antipodal corners, but an infinity of others are compatible with the visible patch. Construction of all cubic polyhedra compatible with the visible portion (i.e., Dürer Polyhedra) is discussed, explicit graphs and symmetries are listed for small cases ( ≤ 18 vertices) and total counts are given for 10 ≤ vertices ≤ 26.

5

On infinite partitions of lines and space

70%

Erdös P. , Jackson S. , Daniel Mauldin R.

Fundamenta Mathematicae

|

1997

|

tom 152

|

nr 1

75-95

EN

Given a partition P:L → ω of the lines in $ℝ^n$, n ≥ 2, into countably many pieces, we ask if it is possible to find a partition of the points, $Q:ℝ^n → ω$, so that each line meets at most m points of its color. Assuming Martin's Axiom, we show this is the case for m ≥ 3. We reduce the problem for m = 2 to a purely finitary geometry problem. Although we have established a very similar, but somewhat simpler, version of the geometry conjecture, we leave the general problem open. We consider also various generalizations of these results, including to higher dimension spaces and planes.

6

Anaximandrova geometrie

70%

Kočandrle R.

Filosofický časopis (Philosophical Journal)

|

2013

|

tom 61

|

nr 2

163-180

EN

According to tradition Thales brought geometry to Greece from Miletus. Although discussion of the nature of Thales’ geometry has not arrived at a consensus, it seems that the theorems formulated were retrospectively applied in his concrete measurements. So far, however, we have no information about the geometry of Thales’ pupil and successor, Anaximander of Miletus. An exception is presented in the lexicon Suda which claims that Anaximander “in general showed the basics of geometry”. This lexicon at the same time states the points at which the employment of the geometry can be discerned. Most importantly, we have the question of the gnomon, with the help of which an order of measurement is realisable. Clear signs of the application of geometry are likewise shown by Anaximander’s whole conception of cosmology: the shape of the earth and its position at the centre of the universe, and the very description of the heavenly bodies. In addition one can discern geometry involved in the map of the world and the sphere. Thus, although Anaximander is not explicitly connected with geometry, extant texts demonstrate that he significantly exploited geometrical knowledge when he connected concrete observation with the geometrical organisation of the universe as a whole.

CS

Podle tradice přenesl geometrii do Řecka Thalés z Mílétu. Ačkoli v diskusích o povaze Thalétovy geometrie nepanuje konsensus, zdá se, že zformulované teorémy byly až dodatečně uplatněny na jeho konkrétní měření. Již o Thalétově „žákovi a nástupci“, Anaximandrovi z Mílétu, však nemáme žádné zprávy, které by se týkaly geometrie. Výjimku představuje lexikon Súda, který uvádí, že Anaximandros „vůbec ukázal základy geometrie“. Lexikon zároveň vyjmenovává momenty, v nichž může být užití geometrie spatřeno. V prvé řadě se jedná o gnómón, s jehož pomocí mohla být realizována řada měření. Zřejmé znaky uplatnění geometrie vykazuje též celá Anaximandrova koncepce kosmologie: tvar Země a její umístění ve středu univerza, i samotný popis nebeských těles. Podobně lze uplatnění geometrie spatřovat za mapou světa a sférou. Ačkoli tedy Anaximandros není explicitně s geometrií spojován, dochované texty ukazují, že její poznatky významně využil, když propojil konkrétní pozorování s geometrickým uspořádáním celého univerza.

7

Geometry and inertia of the human body - review of research

70%

Erdmann W. S.

|

1999

|

tom Vol. 1, nr 1

23-35

EN

The paper is devoted to such morphological quantities of the human body as (1) geometric, i.e., linear, planar, and spatial;(2) inertial, especially - mass, density, radius of center of mass, moment of inertia and its radius. Description of quantities was given, material used (live subjects, cadavers, models), and methods utilized: mechanical and electromechanical, optical, geometric (for inertia quantities), penetrating, calculation, modelling. The most important results were given, especially for inertial quantities.

8

Diagrammatic interval analysis with applications

60%

Kulpa Z.

|

2006

|

tom nr 1

1-232

EN

The main aim of the work has been the development of the novel diagrammatic representational system for interval algebra and computation, and showing its useful applications in solving theoretical and practical problems in this area. The results reported in the work can be divided into three parts: 1. The development of a diagrammatic representational system for the field of interval algebra and computation, facilitating analysis, investigation, presentation and understanding of properties of interval algebra, in particular interval relations, interval arithmetic and interval linear equations. 2. The application of the developed representational system to various problems in interval analysis, leading to several useful results concerning properties of interval algebra, especially the characterizations of classes of interval relations, the investigation of centred interval multiplication operations and the discovery and detailed description of structural types of interval linear equations. 3. The development, with the help of these diagrammatic means, of a number of practical methods and algorithms for characterization and approximation of solution sets of interval linear equations. The work starts from an introductory chapter about the emerging field of diagram-matics, which investigates methods and applications of diagrammatic representations for information encoding and processing (including diagrammatic reasoning). The chapter begins with a general discussion of using pictures as tools for information representation and communication. The discipline of diagrammatics is then defined, and its three main branches (cognitive and psychological issues, theory of diagrammatic representations, and applications of diagrams) are introduced. Then follows a short discussion of the problems with the definition of a diagram (still a hotly disputed issue). Applications of diagrammatic representations in mathematics are then discussed in more detail, starting from the main objections usually raised against their use there (the arguments of alleged difficulty, unreliability and informality). The two main types of mathematical diagrams (static and dynamic diagrams) are then introduced and their four usage modes discussed. The chapter concludes with the discussion of computer implementation of diagrammatic representations for mathematics, comprising diagram input and output, and two modes of internal representation and processing (raster and graph representations). Several types of computer tools facilitating the use of diagrammatic representations are then described, of interval arithmetic are then introduced and the main technique of calculating interval enclosures for real functions is presented, concluding with the important problem of over estimation of such enclosures. The main reasons for applying interval methods are then presented, and the chapter concludes with a short justification of the usefulness of diagrammatic representations in interval research and applications. With Chapter 3 starts the presentation of the main results of the work. After a brief survey of other proposals, the basic diagrammatic representation for the space of intervals (the MR-diagram) is introduced, followed by the discussion of main types of its possible applications in interval research. The MR-diagram, based on the (ra,r) coordinate axes (representing the midpoint and the radius of an interval), is a two-dimensional representation of the interval space, in which intervals are represented as points on the plane. Several basic applications of the diagram are presented next. They start from the representation of interval types, interval ordering relations, and a new notion of lozenge (needed to specify convexity properties and characterizations of types of interval relations). Next, graphs for basic interval parameter functions are shown, especially the extent functions, including a new function which is better suited to the midpoint-radius coordinates used. The new RR-diagram based on this function is developed as a result. Finally, several basic constructions for interval lattice operations are presented. Chapter 4 is devoted to the diagrammatic formulation of the theory of interval relations, especially the so-called arrangement interval relations, describing possible mutual arrangements of two intervals on the number axis. The chapter starts from the definition of these relations, and the basic interval relations from which other arrangement relations are constructed. With that, two new diagrammatic tools are introduced, namely the new graphical symbols for the basic relations and the conjunction diagram to represent formulae defining interval arrangement relations. Next, the new tool for representing the space of interval relations, called the W-diagram, is presented, with the system of W-icons for the diagrammatic representation of arrangement relations based on it. The W-diagram is obtained from the MR-diagram by marking in it images (or coimages) of some arbitrary thick interval under all basic interval relations. The shapes of the regions so obtained do not depend on the choice of the reference interval, but reflect properties of corresponding basic relations instead. Another tool representing the space of relations, the L-diagram which is a neighbourhood graph of regions in the W-diagram, is also introduced (it is a new version of similar graphs used by some other authors). Various representations of interval relations are then compared, using several characteristic examples. The way of performing operations on interval relations using the diagrammatic notation of W-icons is then shown, in particular the original diagrammatic algorithm for performing compositions of arrangement relations, and the resulting diagrammatic composition table for basic relations. The developed tools and methods are then applied to classic qualitative reasoning with networks of interval relations. The diagrammatic representation of such networks and the way of solving diagrammatically the basic problems in this area are demonstrated with some classic examples. The analysis of several important classes of arrangement relations follows, namely the convex, pointisable and pre-convex relations. A number of deverse characterizations of these classesin presented and compared, including several new diagrammatic characterizations of them. The two theorems stating equivalence of these characterizations are proven with mostly diagrammatic means. A short note on the diagrammatic representation of certain more important non-arrangement interval relations is also included. The chapter is concluded with an introduction to several basic applications of the interval relations theory, which may use the diagrammatic tools developed (namely reasoning about events in time, qualitative spatial reasoning, technical diagnostics, and action scheduling). Chapter 5 shows the application of interval space diagrams to interval arithmetic. Diagrammatic constructions for interval arithmetic operations developed there help to understand the structure and nonstandard behaviour of the operations and allow for finding and proving their new and useful properties. The operation of addition does not produce any nonstandard effects. Negation and subtraction behave already in a nonstandard way, so that interval subtraction ceases to be the opposite operation to addition, resulting in nonstandard properties of the simplest interval equation a -f x = b. The diagrams explain clearly the underlying causes of that behaviour, helping to understand better the properties of interval calculations. The original diagrammatic construction for the much more complex operation of interval multiplication is developed and used for the diagrammatic analysis of properties of this operation. Among others, the diagrammatic characterization of basic multiplication cases is developed, with the diagrammatic proof of the "fast multiplication" formula. The basic properties of the important interval equation a-x = b are also presented. The detailed analysis of the equation and its multidimensional generalization is continued in Chapter 6. The original construction developed for interval division works properly also for the division by an interval containing zero, producing in such cases extervals used in Kahan arithmetic. Then follows an application of the diagrammatic analysis to the nonstandard arithmetic operations of centred multiplication. It resulted in the proper definition of the new operation of centred inner multiplication and the detailed analysis of inclusion isotonicity properties and approximation accuracy of both outer and inner centred multiplication operations. Short notes on the two main extensions of standard interval algebra (Kaucher and Kahan arithmetics) and applications of interval arithmetic diagrams conclude the chapter. Chapter 6 presents the novel diagrammatic approach to interval linear equations, introducing also new diagrammatic tools useful in this domain. The diagrammatic tools to represent interval space, interval relations, and interval arithmetic operations are applied to the diagrammatic analysis of interval linear equations. First, the basic types of solution sets of such equations (tolerance, control and united solution sets) are defined and reinterpreted as solutions to certain interval relational expressions. Then the basic one-dimensional equation is analyzed. Constructions for its diagrammatic solution in different possible cases are developed. They reveal a rich structure of different configurations of the solution sets. All 6 basic types (with 16 subtypes), 47 intermediate types and 10 degenerate ones are catalogued, in several diagrammatic, tabular, and algorithmic (1DSET) forms. Next, the relation between the interval solution and the tolerance solution set is analyzed. The significance of these findings for the analysis of a general multidimensional case is established with the radial cuts theorem, stating that the arrangement of solution sets along any straight line going through the origin of the solution space is obtained as a solution of a one-dimensional equation with coefficients determined by the coefficients of the multidiamensional equation and directional parameters of the cutting line. The algorithm for calculating such radial cuts is also given (RADCUT). Using these findings, the boundary hyperplane selection rule is formulated, which allows for dinding full and exact descriptions of solution set shapes in the multidimensional solution space. The two-dimensional case is first used as an introduction to such an analysis. The algorithm for finding the complete description of solution sets for such equations (2DSETS) is developed and used to compile the catalogue of basic two-dimensional structural types. Finally, the algorithm is extended to the multidimensional case (BOUNDHYP). The chapter is concluded with a note on applications, presenting a thorough discussion of possible modes of application of the mathematical model based on interval linear equations. Chapter 7 introduces various new characterizations and properties of the tolerance, control, and united solution sets, as obtained by the author with the application of the diagrammatic approach and diagrammatic tools introduced in the previous chapters, especially Chapter 6. The chapter starts from introducing a new tool, called the butterfly diagram (BUTTERFLY), which provides a two-dimensional representation of the structure of the multidimensional solution space. Then the manner of applying the diagram to analyze the structure and properties of solution sets is explained. Certain properties of the midpoint hyperplane and the midpoint solution are also formulated and proved, with the help of diagrammatic approach, as they are useful for further characterization of certain properties of solution sets. Then, with the application of the diagrammatic tools developed, individual types of solution sets are analyzed separately, resulting in refining some known conditions, and finding new ones, for testing existence or emptiness of the solution sets, both globally (TSGLOBAL, CSGLOBAL) and in certain regions of the solution space (TSLOCAL, CSLOCAL, USLOCAL). Other properties, like unboundedness and connectivity, are also investigated and the results presented. Algorithms for finding new inner cross and orthoplex approximations to the solution sets (TSINNER, CSIN-NER, USINNER) are also developed in this way, leading also to the general method of calculating arbitrary parallel cuts through the solution space (PARCUT), with straight lines parallel to any given coordinate axis. The reported results constitute the first batch of results obtained by the author with the diagrammatic approach. The further work with diagrammatic tools will likely reveal a number of new results. The chapter is concluded with the illustrative truss analysis example. Appendix A contains a list of algorithms based on these developments. They were implemented as notebooks of MathematicaŽ 3.0 and constitute a preliminary version of a suite of modules planned for an interactive system of exploration of interval linear equations and their solution spaces. Names of the algorithms are cited above at appropriate places in the summary of the last two chapters.

PL

Głównym celem pracy było opracowanie nowego systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych oraz pokazanie jego użytecznych zastosowań w rozwiązywaniu teoretycznych i praktycznych problemów w tej dziedzinie. Wyniki przedstawione w pracy można podzielić na trzy części: 1. Opracowanie systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, wspomagającego analizę, badanie, prezentację i zrozumienie własności algebry przedziałów, w szczególności relacji przedziałowych, arytmetyki przedziałowej i liniowych równań przedziałowych. 2. Zastosowanie opracowanego systemu reprezentacji do różnych problemów analizy przedziałowej, co pozwoliło uzyskać wiele użytecznych wyników dotyczących własności algebry przedziałów (w szczególności charakteryzacji klas relacji przedziałowych), a także zbadać tzw. scentrowane operacje mnożenia przedziałów oraz wykryć i szczegółowo opisać typy strukturalne liniowych równań przedziałowych. 3. Opracowanie, przy pomocy tego systemu reprezentacji diagramowej, pewnej liczby praktycznych metod i algorytmów charakteryzacji i aproksymacji zbiorów rozwiązań liniowych równań przedziałowych. Pracę rozpoczyna wstępny rozdział na temat rodzącej się dziedziny nauki zwanej diag-ramatyką, która bada metody reprezentacji diagramowych i ich zastosowania do kodowania i przetwarzania informacji (wnioskowania diagramowego). Rozdział rozpoczyna się ogólną dyskusją użycia obrazów jako narzędzi reprezentacji i komunikacji informacji. Następnie definiuje się diagramatykę jako dyscyplinę badawczą i jej trzy główne gałęzie (zagadnienia kognitywne i psychologiczne, teoria reprezentacji diagramowych i zastosowania diagramów). Po tym następuje krótka dyskusja problemów z definicją pojęcia diagramu (zagadnienie ciągle gorąco dyskutowane). Zastosowania reprezentacji diagramowych w matematyce sa następnie omówione bardziej szczegółowo, począwszy od głównych zastrzeżeń zwykle podnoszonych przeciwko ich używaniu (argumenty rzekomej trudności ich użycia, zawodności i nieformalnej natury). Następnie omawia się dwa główne typy diagramów matematycznych (diagramy statyczne i dynamiczne) oraz cztery sposoby ich praktycznego stosowania. Rozdział kończy się dyskusją komputerowych implementacji reprezentacji diagramowych dla zastosowań w matematyce, na które składa się wprowadzanie diagramów, ich wyprowadzanie oraz dwa sposoby wewnętrznej reprezentacji i przetwarzania w komputerze (reprezentacje rastrowe i graf owe). Kilka typów narzędzi komputerowych wspomagających używanie reprezentacji diagramowych omówiono na zakończenie rozdziału, w szczególności klasę narzędzi określanych nazwami "dynamicznej geometrii" lub "diagramowego arkusza kalkulacyjnego." Rozdział 2 zawiera krótkie wprowadzenie do podstawowych pojęć algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, począwszy od podstawowych definicji i oznaczeń. Następnie zaprezentowane są pewne niestandardowe własności arytmetyki przedziałowej oraz podstawowa technika wyznaczania oszacowań przedziałowych dla funcji rzeczywistych, wraz z ważnym problemem przeszacowania takich oszacowań. Na zakończenie zaprezentowane są najważniejsze powody stosowania metod przedziałowych, oraz krótkie uzasadnienie użyteczności reprezentacji diagramowych w badaniach i zastosowaniach metod przedziałowych. Od rozdziału 3 rozpoczyna się prezentacja głównych rezultatów pracy. Po krótkim przeglądzie innych propozycji wprowadzono podstawową reprezentację diagramową przestrzeni przedziałów, tzw. MR-diagram, wraz z dyskusją głównych typów jego możliwych zastosowań w badaniach przedziałowych. MR-diagram przedstawia przestrzeń przedziałów w układzie współrzędnych (ra,r) (środek i promień przedziału), w której przedziały reprezentowane są przez punkty na dwuwymiarowej płaszczyźnie. Dalej pokazano kilka podstawowych zastosowań tego diagramu, zaczynając od reprezentacji typów przedziałów i relacji uporządkowania przedziałów, w tym nowego pojęcia metaregionu (ang. "lozenge"), potrzebnego do specyfikacji własności wypukłości i charakteryzacji typów relacji przedziałowych. Następnie pokazano wykresy podstawowych funkcji określających parametry przedziałów, w szczególności funkcji rozciągłości przedziałów, wraz z nową funkcją, lepiej dostosowaną do używanych współrzędnych środek-promień przedziału. W rezultacie wprowadzono nowy diagram oparty na tej funkcji, zwany RR-diagramem. Na zakończenie pokazano kilka podstawowych konstrukcji dla operacji w kracie przedziałów. Rozdział 4 poświęcony jest diagramowemu opracowaniu teorii relacji przedziałowych, szczególnie tzw. relacjom ułożenia przedziałów, opisującym możliwe wzajemne ułożenia dwóch przedziałów na osi liczbowej. Rozdział rozpoczyna się definicją tych relacji oraz podstawowych relacji przedziałowych, z których zbudowane są pozostałe relacje ułożenia. Wprowadzono tutaj dwa nowe narzędzia diagramowe, mianowicie nowe symbole graficzne dla relacji podstawowych oraz diagram koniunkcji dla reprezentacji formuł definiujących relacje ułożenia przedziałów. Następnie wprowadzono nowe narzędzie do reprezentacji przestrzeni relacji przedziałowych, nazwane W-diagramem, wraz z opartym na nim systemem W-ikon dla diagramowej reprezentacji relacji ułożenia przedziałów. W-diagram powstaje z MR-diagramu przez zaznaczenie na nim obrazów (lub przeciwobrazów) pewnego dowolnego grubego przedziału względem wszystkich podstawowych relacji przedziałowych. Kształty tak uzyskanych obszarów diagramu nie zależą od wyboru przedziału odniesienia, lecz odzwierciedlają własności odpowiednich relacji podstawowych. Wprowadzono także inne narzędzie reprezentacji przestrzeni relacji, tzw. L-diagram, będący grafem sąsiedztwa regionów MR-diagramu (jest to nowa wersja podobnej konstrukcji używanej przez niektórych innych autorów). Różne reprezentacje relacji ułożenia porównano używając kilku charakterystycznych przykładów. Pokazano następnie sposób wykonywania operacji na relacjach przedziałowych za pomocą diagramowej notacji W-ikon, w szczególności oryginalny algorytm diagramowej kompozycji relacji wraz z wynikową diagramową tablicą kompozycji relacji podstawowych. Opracowane narzędzia i metody zostały następnie zastosowane do klasycznego jakościowego wnioskowania za pomocą sieci relacji przedziałowych. Diagramową reprezentację takich sieci i sposoby diagramowego rozwiązywania podstawowych problemów z tej dziedziny pokazano na kilku klasycznych przykładach. W kolejnej części rozdziału przeprowadzono analizę kulku ważnych klas relacji ułożenia przedziałów, mianowicie relacji wypukłych, punktowo określonych i pre-wypukłych. Podano i porrównano szereg różnych charakteryzacji tych klas, w tym kilka nowych charakteryzacji diagramowych. Dwa twierdzenia o równoważności tych charakteryzacji udowodniono przy użyciu diagramów. Przedstawiono również krótko diagramowe reprezentacje niektórych relacji nie będących relacjami ułożenia przedziałów. Rozdział kończy wprowadzenie do niektórych podstawowych zastosowań teorii relacji przedziałowych, które mogą wykorzystywać opracowane narzędzia diagramowe, takich jak wnioskowanie o zdarzeniach w czasie, jakościowe wnioskowanie przestrzenne, diagnostyka techniczna oraz szeregowanie akcji. Rozdział 5 pokazuje zastosowania diagramów przestrzeni przedziałów w arytmetyce przedziałowej. Opracowane tutaj diagramowe konstrukcje dla przedziałowych operacji arytmetycznych pomagają zrozumieć strukturę i niestandardowe zachowanie tych operacji i pozwalają znajdować ich nowe, użyteczne własności. Dodawanie przedziałów nie daje żadnych nietypowych efektów. Natomiast negacja (zmiana znaku) i odejmowanie zachowują się już niestandardowo, w rezultacie czego odejmowanie przestaje być operacją odwrotną do dodawania, co jest powodem nietypowych własności najprostszego równania przedziałowego a-\-x = b. Diagramy wyjaśniają tu naocznie głębsze przyczyny takiego zachowania się tych operacji, pomagając lepiej zrozumieć własności obliczeń przedziałowych. Oryginalną konstrukcję diagram ową, opracowaną dla znacznie bardziej złożonej operacji mnożenia przedziałów, użyto następnie do diagramowego przeanalizowania własności tej operacji. Przedstawiono m.in. diagramową charakteryzację podstawowych przypadków mnożenia wraz z diagramowym dowodem formuły "szybkiego mnożenia." Podano też podstawowe własności ważnego równania przedziałowego a o x = b. Szczegółowa analiza tego równania i jego wielowymiarowego uogólnienia jest kontynuowana w rozdziale 6. Opracowana następnie oryginalna diagramową konstrukcja dla dzielenia przedziałów działa poprawnie także w przypadku dzielenia przez przedział zawierający zero, dając wtedy tzw. przedział zewnętrzny ("eksterwał"), używany w arytmetyce Kahana. Następnie zastosowano analizę diagramową do niestandardowych operacji tzw. scentrowanych operacji mnożenia przedziałów. W wyniku tego udało się określić poprawną definicję nowej operacji tzw. vscentrowanego mnożenia wewnętrznego" oraz zbadać szczegółowo własności izotoniczności względem inkluzji i dokładności aproksymacji dla operacji zarówno zewnętrznego jak i wewnętrznego mnożenia scentrowanego. Rozdział kończą krótkie sekcje na temat dwóch głównych rozszerzeń standardowej algebry przedziałów (arytmetyki Kauchera i Kahana) oraz zastosowań diagramów arytmetyki przedziałowej. Rozdział 6 prezentuje nowe, diagramowe podejście do liniowych równań przedziałowych, wprowadzając również nowe narzędzia diagramowe przydatne w tej dziedzinie. Narzędzia diagramowe dla reprezentacji przestrzeni przedziałów, relacji przedziałowych i przedziałowych operacji arytmetycznych zastosowano tutaj do diagramowej analizy liniowych równań przedziałowych. Najpierw podano definicje podstawowych typów zbiorów rozwiązań takich równań (zbiory rozwiązań tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych) i zinterpretowano je na nowo jako rozwiązania pewnych przedziałowych wyrażeń relacyjnych. Następnie przeanalizowano podstawowe równanie jednowymiarowe. Opracowano konstrukcje jego diagramowego rozwiązywania dla różnych możliwych przypadków. Ujawniło to bogatą strukturę różnych możliwych konfiguracji zbiorów rozwiązań. Skatalogowano wszystkie 6 podstawowych typów konfiguracji (składających się z 16 podtypów), 47 typów pośrednich i 10 zdegenerowanych, w kilku postaciach: diagramowych, tabelarycznych i algorytmicznych (1DSET). Następnie przeanalizowano zależność pomiędzy tzw. rozwiązaniem przedziałowym z zbiorem rozwiązań tolerowanych. Znaczenie tych wyników dla analizy ogólnego przypadku wielowymiarowego wynika z przedstawionego następnie twierdzenia o przecięciu radialnym przestrzeni rozwiązań. Stwierdza ono, że układ zbiorów rozwiązań wzdłuż dowolnej lini prostej przechodzącej przez środek układu współrzędnych przestrzeni rozwiązań uzyskuje się jako rozwiązanie pewnego równania jednowymiarowego ze współczynnikami określonymi przez współczynniki równania wielowymiarowego i parametry kierunkowe linii przecięcia. Podano również algorytm obliczania przecięć radialnych (RADCUT). Na tej podstawie sformułowano regułę selekcji hiperpłaszczyzn granicznych, pozwalającą znajdować pełne i dokładne opisy kształtów zbiorów rozwiązań w wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Jako wprowadzenia do analizy wielowymiarowej użyto następnie przypadku dwuwymiarowego. Opracowano algorytm pełnego opisu przestrzeni rozwiązań dla tego przypadku (2DSETS) i użyto go do stworzenia katalogu podstawowych typów strukturalnych równania dwuwymiarowego. Algorytm został następnie rozszerzony na przypadek wielowymiarowy (BOUNDHYP). Rozdział kończy sekcja na temat zastosowań, zawierająca wyczerpującą dyskusję możliwych sposobów stosowania modelu matematycznego opartego na liniowych równaniach przedziałowych. Rozdział 7 wprowadza różne nowe charakteryzacje i własności tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych zbiorów rozwiązań, uzyskane przez autora z zastosowaniem podejścia diagramowego i narzędzi diagramowych wprowadzonych w poprzednich rozdziałach, w szczególności w rozdziale 6. Rozdział rozpoczyna wprowadzenie nowego narzędzia zwanego diagramem motylkowym (BUTTERFLY), który przedstawia dwuwymiarową reprezentację struktury wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Następnie omówiono sposoby stosowania tego diagramu do analizy struktury i własności zbiorów rozwiązań. Sformułowano i udowodniono z użyciem diagramów także szereg własności hiperpłaszczyzny środkowej i rozwiązania środkowego. Są one użyteczne dla charakteryzacji niektórych własności zbiorów rozwiązań. Następnie poszczególne typy rozwiązań analizowane są oddzielnie za pomocą opracowanych narzędzi diagramowych. Uzyskano w ten sposób ulepszenie niektórych istniejących warunków i znaleziono nowe warunki istnienia oraz nieistnienia tych zbiorów rozwiązań, obowiązujące globalnie (TSGLOBAL, CSGLOBAL), lub tylko w pewnych obszarach przestrzeni rozwiązań (TSLOCAL, CSLOCAL, USLO-CAL). Badano również i zaprezentowano wyniki dotyczące niektórych innych własności tych zbiorów rozwiązań, takich jak nieograniczoność i spójność. Wyprowadzono także algorytmy znajdowania nowych, wewnętrznych aproksymacji krzyżowych i ortopleksowych zbiorów rozwiązań (TSINNER, CSINNER, USINNER), uzyskując także ogólną metodę wyznaczania przecięć równoległych przestrzeni rozwiązań (PARCUT) za pomocą prostych równoległych do dowolnej danej osi współrzędnych. Przedstawione wyniki stanowią pierwszą porcję rezultatów uzyskanych przez autora za pomocą podejścia diagramowego. Dalsza praca z użyciem narzędzi diagramowych zapewne doprowadzi do uzyskania szeregu nowych rezultatów. Rozdział kończy ilustracyjny przykład analizy kratownicy. Dodatek A zawiera listę algorytmów opartych na uzyskanych wynikach. Zostały one zaimplementowane pod systemem MathematicaŽ 3.0 i stanowią wstępną wersję zestawu modułów dla planowanego interakcyjnego systemu eksploracji liniowych równań przedziałowych i ich przestrzeni rozwiązań. Nazwy algorytmów podano w odpowiednich miejscach w streszczeniu ostatnich dwóch rozdziałów powyżej.

9

Prospective teachers work on defining quadrilaterals through an exploratory approach

60%

Brunheira L. , da Ponte J. P.

Didactica Mathematicae

|

2016

|

tom 38

EN

This research addresses elementary school prospective teachers’ education in geometry and takes place in Portugal, in the context of a geometry course taught by the first author of this paper. We aim to characterize the activity of prospective teachers in defining quadrilaterals as they work on exploratory tasks in a design-based research study for a geometry course at the 2nd year of their teacher education program. The teaching-learning conjecture is based on the relevance of exploratory work, also valuing prospective teachers’ reflection on their learning. We also assume that the activity of defining quadrilaterals plays an important role in developing reasoning, deepens the knowledge of its properties and supports a more complete view of mathematics. Data was gathered from the participants’ reports and portfolios, as well as audio and video records of classroom discussions. The results show that initially the participants had misconceptions about what a definition is, just focusing on the necessary properties of the figures. However, at the end of the sequence of tasks, they were able to take into account that the set of properties has to be sufficient to identify the defined figure, revealing the development of their knowledge. At the end of the sequence, most participants presented correct definitions, using properties that they previously ignored and showing comprehension of the underlying concepts. They produced economical definitions in few cases, and performed better in inductive than deductive reasoning. We conclude that the exploratory work allowed participants to construct their knowledge in a meaningful way and reflection played an important role in making them aware of personal preconceptions and knowledge. In the beginning, the participants analysed definitions strictly focusing on the necessary properties of the figure, which seemed to be simple when the properties related to visible elements or were well known facts. In the final stage of the sequence of tasks, the participants also took into account that the set of properties has to be sufficient to identify the defined figure and, in the construction of definitions, they presented mostly correct definitions using properties that they previously ignored, showing an understanding of the underlying concepts and properties. Doing this process after investigating and classifying quadrilaterals encouraged the prospective teachers to mobilize different kinds of properties and to reason according to the established classifications, which was a very challenging activity.

10

Amodel of deformation geometry in pipe bending processes

60%

Śloderbach Z.

|

1999

|

tom Vol. 47, iss. 1

3-20

EN

The paper presents a complete set of geometric relationship for logarithmic measures of longitudinal, circumferential and radial strains arising in bending of thin- and thick-walled pipes. The strain can be determined at each plane parallel to the principal plane of bending and at each plane perpendicular to them, so that each point of the bending zone is accounted for. The relationships have a direct reference to engineering practice since they express strains as functions of pipe geometry and bending process variables. The calculation results were compared with experimental data for the bend angle equal to 18O and the bending zone range index equal to 1 and 3. Suitable plots are incorporated.

11

Władysław Kretkowski (1840 –1910)

60%

Ciesielska D.

Kwartalnik Historii Nauki i Techniki

|

2014

|

tom 59

|

nr 4

17–53

EN

Władysław Kretkowski was a mathematician and an engineer. He graduated École Imperiale des Ponts et Chauseés in Paris and also Sorbonne. He obtained PhD from the Jagiellonian University in Kraków, he was a private docent at the Polytechnic and University in Lvov. The first chapter of the paper contains a short biography of Kretkowski, including information about his education and interests. The participation of Kretkowski in the January Uprising is described here as well. In the main Chapter, i.e. Chapter 2, mathematical achievements of Kretkowski in the theory of determinants and their applications in mathematical analysis and geometry is presented. The history of his academic career is also presented in this chapter. The last chapters are devoted to the mathematical contests announced by Kretkowski (especially the most famous one on the problem which is nowadays known as the Third Hilbert Problem from 1900) and to the Dr Władysław Kretkowski Fundation

12

Porównanie zapisów geometrycznych w przyjętych odwzorowaniach dwuobrazowych

60%

Sulima-Samujłło T.

|

2000

|

tom z. 3

125-135

PL

W pracy rozpatrzono dwie metody wchodzące w skład odwzorowań dwuobrazowych: okręgowo-środkową (OS), przekształcającą prostą w prostą i okrąg oraz dwuśrodkową (DS), w której rzutami prostej są dwie proste. W obu odwzorowaniach przyjęto rzutnię [pi] oraz dwa środki rzutowania S1 i S2 względnie T1 i T2. Punkty te leżą na prostych prostopadłych do [pi], a rzutnia jest ich płaszczyzną symetrii. W odwzorowaniu OS punkt rzutowany jest okręgowo poprzez okrąg leżący w płaszczyźnie tego punktu i środków S1 i S2 , przechodzący przez środek S1 i o średnicy, której końcami są rzutowany punkt i jego rzut okręgowy. Punkt rzutowany jest również ze środka S2. Rzuty okręgowy i środkowy leżą na prostej przechodzącej przez punkt S'. W odwzorowaniu DS punkt rzutowany jest ze środków T1 i T2 . Rzuty środkowe leżą na prostej przechodzącej przez punkt T'. Rozpatrzono w obu rzutach zapisy różnych możliwych położeń punktu, odwzorowanie prostej ogólnej i szczególnej oraz wzajemne położenia dwu prostych: przecinanie się w punkcie właściwym i niewłaściwym, nieprzecinanie się oraz prostopadłość.

EN

The following projections have been discussed: 1) circular-central (OS) transforming straight line and a circle and 2) double-central in which two lines are the images of straight line. There have also been demonstrated recordings of different positions of point, projections of straight line in general and particular and mutual positions of two lines: intersection at accessible point and at point at infinity, non intersection and perpendicularity.

13

Relations between two planar fields of images in central-polar projection method

60%

Koch A.

|

2000

|

tom z. 3

73-77

EN

In central-polar projection method [3] transformations T and T(-1) convert respectively the field of central projections Asi into the field of polar projections Abi. In the article have been investigated transformations *T = n(T) and T(-1)= n(T(-1)) (n = collinear transformation) and in the latter 5 cases have been discussed.

PL

Na wstępie przypomniano krótko zasadę odwzorowania środkowo-biegunowego O-SB oraz jego aparat projekcyjny A . Podano również definicje przekształceń T i T(-1) opisanych w [3]. Przekształcenia te przeprowadzają odpowiednio układ rzutów środkowych Asi w układ rzutów Abi punktów Ai przynależnych do płaszczyzny [alfa] przestrzeni {P} oraz układ rzutów biegunowych Abi w układ rzutów Asi punktów Ai, . Celem artykułu jest zbadanie własności przekształceń *T = n (T) i *T(-1)= n (T(-1)) wynikających z *A = n(A), gdzie n jest przekształceniem środkowo-kolineacyjnym [2]. Wykazano, że *T ma charakter liniowo-kwadratowy, a *T(-1) kwadratowy. W tym ostatnim przekształceniu, w zależności od położenia płaszczyzny granicznej przestrzeni {P} względem pewnego stożka S1 stopnia 2, wyróżniono i omówiono 5 przypadków dotyczących odpowiedniości *Abi -> *Ai [należy do] *[alfa] .

14

Geometria jednowarstwowych kratownic quasi-powierzchniowych generowanych na elipsoidzie obrotowej

60%

Bieniek Z.

|

2000

|

tom z. 3

45-54

PL

Kształtowanie klasycznych kratownic powierzchniowych opiera się na założeniu przynależności ich węzłów do zadanych powierzchni. Technicznie uzasadnioną alternatywą jest generowanie takich kratownic dwukrzywiznowych, których węzły nie muszą kategorycznie należeć do powierzchni kształtujących. W pracy przedstawiono geometryczny sposób tworzenia obiektów tego rodzaju, zwanych kratownicami quasi-powierzchniowymi na wycinkach elipsoid obrotowych.

EN

Ali truss joints of classic surface trusses usually belong to surfaces approximated by those trusses. However, the so-called quasi-surface trusses, omitting this requirement, can be made as well. The article describes the methods of designing and linking of geosims of one-layer and quasi-surface trusses generated on rotational ellipsoid.

15

Szczególne położenia elementów przestrzeni względem elementów bazy i ich obrazy w pewnym odwzorowaniu biegunowo-stereograficznym

60%

Lankosz A.

|

2000

|

tom z. 3

107-115

PL

W przedstawionej pracy omówiono szczególne położenia podstawowych elementów przestrzeni pewnego odwzorowania [fi] przestrzeni R3 trójwymiarowej na płaszczyznę. "Aparat projekcyjny" tego odwzorowania składa się z: paraboloidy obrotowej F2, rzutni, będącej płaszczyzną styczną w jej wierzchołku, oraz środka rzutów S[nieskończoność], który jest niewłaściwym wierzchołkiem paraboloidy F2. Wykorzystując biegunowość względem kwadryki, oraz zasady rzutu stereograficznego, w przedstawionym odwzorowaniu [fi] przyporządkowuje się punktowi przestrzeni R3 okrąg prostej pęk okręgów, płaszczyźnie łańcuch pęków okręgów. Zbadano wszystkie możliwe położenia podstawowych elementów przestrzeni względem paraboloidy F2 oraz rzutni i określono ich obrazy w odwzorowaniu [fi].

EN

In the article properties of a certain geometrical representation [fi] of 3D space R3 in a plane have been discussed. Using polarity with respect to a quadric and the principles of the stereographic projection, images of point, straight line and plane including all their possible positions towards a paraboloid P2 and projecting plane have been demonstrated.

16

Research of "perfect" objects defining the projection of 3-dimensional space to plane by programmes in TurboPROLOG

60%

Koźniewski E.

|

2000

|

tom z. 3

79-91

EN

The classical projection of 3-dimensional space P3 to plane [pi] is usually defined as the structure , where R is a boundle of lines (projecting rays) with ideal or ordinary point as the centre of projection and [pi] is an ordinary plane as projection surface. It is well known, that the set R may be a congruence of lines in the form K (m,n), for m=1, where m denotes the number of lines of congruence passing by any point of P3 and n denotes the number of lines lying on plane ([1],[ 10]). The centre of classical projection is always singular.

PL

Klasyczny rzut trójwymiarowej przestrzeni rzutowej P3 na płaszczyznę określany jest jako struktura < R,[pi]>, gdzie R jest wiązką prostych (promieni rzutujących) z punktem właściwym lub niewłaściwym jako środkiem rzutowania i płaszczyzną właściwą [pi] jako rzutnią. Jest dobrze znane, że R może być kongruencją postaci K(m,n), dla m=1, gdzie m oznacza liczbę prostych kongruencji przechodzących przez dowolny P3 i n oznacza liczbą prostych leżących na dowolnej płaszczyźnie ([l],[10]). Środek klasycznego rzutu jest zawsze osobliwy. Użycie innych kongruencji, np. zbioru wszystkich prostych przecinających dwie proste skośne (kongruencja K(1,1) lub zbioru wszystkich bisekant krzywej skośnej 3th rzędu (kongruencja K(1,3) indukuje także punkty osobliwe ([l],[10]). W naturalny, geometryczny sposób kongruencje otrzymujemy jako przecięcia dwóch zdegenerowanych kompleksów i dlatego mamy punkty osobliwe. Interesującym pytaniem jest: "Czy istnieje taka kongruencja prostych, która nie indukuje punktów osobliwych w określonym przez nią rzucie". Przypuszczenie, że kongruencja określona przez dwa niezdegenerowane kompleksy nie dopuszcza punktów osobliwych, jest przedmiotem rozważań niniejszej pracy. Rozwiązanie wspomnianego wyżej problemu otrzymujemy badając skończone przestrzenie rzutowe z wykorzystaniem pakietu programów napisanych w języku TurboPROLOG ([8],[9]). W pracy formułujemy nowe własności kompleksów i kongruencji prostych w strukturach skończonych i otrzymujemy nowe wyniki kombinatoryczne dotyczące mocy powyższych zbiorów.

17

Odwzorowanie częściowo złożeniowe Z w przestrzeni n-wymiarowej

60%

Dźwierzyńska J.

|

2000

|

tom z. 3

137-143

PL

W artykule przedstawiono poszerzenie na przestrzeń n-wymiarową Pn tzw. częściowo złożonego odwzorowania Z, którego zasadę i właściwości omówiono w (1). Aparat odwzorowania Z tworzą aparaty dwóch rzutowań prostych: Ro;{[pi], O} oraz Rs;{[tau], S}, gdzie [PI] i [tau] są rzutniami, a O i S środkami rzutowań spełniającymi dodatkowo warunki: O [nie należy] [pi], S [nie należy] [tau] i S [nie należy] [pi]. Aby odwzorowanie Z było wykreślne, w budowie aparatów rzutowań Ro i Rs należy uwzględnić jedną z trzech wersji: a) rzutnia [pi] jest prostą p (t), a środek rzutowania O (S)- podprzestrzenią (n-2)-wymiarową, rozłączną z rzutnią, b) rzutnia jest płaszczyzną [pi] ([tau]), a środek rzutowania O (S) - podprzestrzenią (n-2)-wymiarową przecinającą rzutnię w punkcie, c) rzutnia jest płaszczyzną [pi] ([tau])/, zaś środek rzutowania O (S)/ - podprzestrzenią (n-3)-wymiarową, rozłączną z rzutnią. Z powyższego oraz na podstawie rachunku wymiarów można wnioskować, że odwzorowanie Z jako odwzorowanie wykreślne przestrzeni Pn może mieć praktycznie użyteczną postać jedynie w przypadku, gdy n=3 lub n=4.

EN

An enlargement on the n-dimensional space Pn of so called partly composite representation Z is presented. It is proved that Z representation may be practically useful when n=3 or n=4 only.

18

ПРОФЕСІЙНО СПРЯМОВАНІ ЗАДАЧІ В КУРСІ МАТЕМАТИКИ ПТНЗ

60%

Яна Ч.

Педагогічні науки: теорія, історія, інноваційні технології

|

2016

|

nr 9(63)

201-210

EN

The article indicates the essense of a concept “motivation” and emphasizes importance of highlighting a motivation stage in the structure of each lesson. The author mentions that demonstration of application of knowledge and skills perfected during a lesson in the future professional activity is an effective method of motivation enhancement. The purpose of the article is to consider the ways for enhancement of motivation of students in the process of studying in vocational schools through application of professionally-oriented problems in the mathematics course in vocational schools. Research methods. The author has applied general scientific methods (analysis and synthesis of psychological and pedagogical, scientific and reference literature) and empirical methods (observing an educational process). The article describes methods for enhancement of motivation of the educational activity of students of vocational schools through application of professionally-oriented problems during mathematics lessons. The author notes that a lecturer should select tasks and problems, situations of which contain professionally significant material for pupils, who learn different professions. Currently, students of vocational schools study mathematics with the use of Standard Level student’s books for schools providing general education. None of such books contains a sufficient amount of professionally-oriented problems for different professions, which are studied in vocational schools. Therefore, a lecturer faces a matter of selection of such problems for each specialty learned by pupils. The author substantiates the necessity of development of collections of professionally-oriented problems in mathematics for professions learned by present students of vocational schools. The author highlights that the economic condition change influences the change of a list of professions learned by students of vocational schools. The author describes opportunities of application of professionally-oriented problems at each stage of a lesson. To select such problems, a lecturer should deep in the context of each specialty learned by pupils. It is important to collaborate with lecturers of special disciplines and masters of vocational training. The article presents examples of such problems for specialties “Tailor and cutter” and “Wireman in repair and servicing electrical equipment”.

19

Optyczne metody pomiarowe w rekonstrukcji geometrii kół zębatych

60%

Dzubek T. , Płocica M.

|

2012

|

tom R. 85, nr 1

74-75

PL

Omówiono możliwości odtworzenia uzębień o nieznanej geometrii. Zademonstrowano identyfikację geometrii zarysu zęba koła walcowego oraz powierzchni bocznej koła stożkowego z wykorzystaniem optycznych metod pomiarowych.

EN

Is it possible to trace tooth profiles of unknown geometric features? Presented is a method of identification of geometric tooth profile of cylindrical gear and that of the outside cone of a bevel gear by means of the optical measurement methods.

20

Dynamical systems with internal degrees of freedom in non-Euclidean speces

60%

Sławianowski J. J. , Kovalchuk V. , Gołubowska B. , Martens A. , Rożko E. E.

|

2006

|

tom nr 8

1-121

EN

The primary concept of Newton mechanics is that of the material point moving in three-dimensional Euclidean space. A good deal of the theory depends only on the affine sector of geometry. The metric structure becomes essential when constructing particular functional models of forces; the concepts of energy, work, and power (time rate of work) also depend in an essential way on the metric tensor. The Galilei relativity principle implies that,l as a matter of vactl, it is not three-dimencional Euclidean space but rather four-dimensional Galilean space-time that is a proper arena of mechanics. This space-time has relatively complicated structure, does not carry any natural four-dimensional metric tensor and fails to be the Cartesian product of space and time. There exists the absolute time, but the absolute space does not. In the sequel we concentrate onf the other kind of problems, so the analysis of the subtle space-time aspects will be almost absent in our treatment. Newton theory becomes essentially realistic and viable when multiparticle systems are analyzed. It is just there where metrical concepts become almost unavoidable, because it is practically impossible to construct any realistic model of interparticle forces without the explicit use of the metric tensor. Extended bodies are described as discrete or continuous systems of material points. Their motion consists of that of the center of mass, i.e., translational motion and the relative motion of constituents with respect to the center of mass. The total configuration space may be identified with the Cartesian product of the physical space (translational motion) and the configuration space of relative motion. In many physical problems the structure of mutual interactions leads to certain hierarchy of degrees of freedom of the relative motion; in particular, some constraints may appear. The effective configuration space becomes then the Cartesian product ot the physical space and some manifold of additional degrees of freedom. There are situations when this auxiliary manifold and the corresponding dynamics are postlulated as something rather primary then derived from the multiparticle models. Usually the guiding hints are based on some symmetry principles. In this way the concept of internal degrees of freedom replaces that of relative motion. Sometimes it is a merely convenient procedure, but one can also admit something like essentially internal degrees of freedom not derivable from any multiparticle mode. After all, the very concept of the material point is an abstraction of a small piece of matter.