Wyniki wyszukiwania - Biblioteka Nauki

1

O pewnej konstrukcji punktu załamania cienia odcinka na dwie rzutnie

100%

Iwaniuk E. , Koźniewski E.

|

1998

|

tom z. 2

101-106

PL

W pracy rozważono konfigurację powstałą przy wyznaczaniu rzutów cienia odcinka w metodzie Monge'a. Wprowadzono nowy sposób konstruowania punktu załamania cienia odcinka.

EN

The geometrical configuration induced by Monge' projection of the shadow of segment is considered. A new construction of the refraction point of shadow is given.

2

Some remarks about projective Pappus' axiom on an affine plane

80%

Belina-Prażmowska M. , Wszeborowski D.

|

tom nr 5

5-8

EN

The paper deals with some variants of Pappus's axiom on an affine plane. The consequences of the acceptance of this axiom in projection formulation in affine geometry were analyzed. It has been shown that classical affine formulation results from such a form of the Pappus' axiom.

PL

Pracę poświęcono wariantom aksjomatu Pappusa na płaszczyźnie afinicznej. Przeanalizowano konsekwencje przyjęcia tego aksjomatu w sformułowaniu rzutowym w geometrii wykreślnej. Wykazano, że z takiej postaci aksjomatu Pappusa wynika sformułowanie klasycznie afiniczne.

3

Diagrammatic interval analysis with applications

60%

Kulpa Z.

|

2006

|

tom nr 1

1-232

EN

The main aim of the work has been the development of the novel diagrammatic representational system for interval algebra and computation, and showing its useful applications in solving theoretical and practical problems in this area. The results reported in the work can be divided into three parts: 1. The development of a diagrammatic representational system for the field of interval algebra and computation, facilitating analysis, investigation, presentation and understanding of properties of interval algebra, in particular interval relations, interval arithmetic and interval linear equations. 2. The application of the developed representational system to various problems in interval analysis, leading to several useful results concerning properties of interval algebra, especially the characterizations of classes of interval relations, the investigation of centred interval multiplication operations and the discovery and detailed description of structural types of interval linear equations. 3. The development, with the help of these diagrammatic means, of a number of practical methods and algorithms for characterization and approximation of solution sets of interval linear equations. The work starts from an introductory chapter about the emerging field of diagram-matics, which investigates methods and applications of diagrammatic representations for information encoding and processing (including diagrammatic reasoning). The chapter begins with a general discussion of using pictures as tools for information representation and communication. The discipline of diagrammatics is then defined, and its three main branches (cognitive and psychological issues, theory of diagrammatic representations, and applications of diagrams) are introduced. Then follows a short discussion of the problems with the definition of a diagram (still a hotly disputed issue). Applications of diagrammatic representations in mathematics are then discussed in more detail, starting from the main objections usually raised against their use there (the arguments of alleged difficulty, unreliability and informality). The two main types of mathematical diagrams (static and dynamic diagrams) are then introduced and their four usage modes discussed. The chapter concludes with the discussion of computer implementation of diagrammatic representations for mathematics, comprising diagram input and output, and two modes of internal representation and processing (raster and graph representations). Several types of computer tools facilitating the use of diagrammatic representations are then described, of interval arithmetic are then introduced and the main technique of calculating interval enclosures for real functions is presented, concluding with the important problem of over estimation of such enclosures. The main reasons for applying interval methods are then presented, and the chapter concludes with a short justification of the usefulness of diagrammatic representations in interval research and applications. With Chapter 3 starts the presentation of the main results of the work. After a brief survey of other proposals, the basic diagrammatic representation for the space of intervals (the MR-diagram) is introduced, followed by the discussion of main types of its possible applications in interval research. The MR-diagram, based on the (ra,r) coordinate axes (representing the midpoint and the radius of an interval), is a two-dimensional representation of the interval space, in which intervals are represented as points on the plane. Several basic applications of the diagram are presented next. They start from the representation of interval types, interval ordering relations, and a new notion of lozenge (needed to specify convexity properties and characterizations of types of interval relations). Next, graphs for basic interval parameter functions are shown, especially the extent functions, including a new function which is better suited to the midpoint-radius coordinates used. The new RR-diagram based on this function is developed as a result. Finally, several basic constructions for interval lattice operations are presented. Chapter 4 is devoted to the diagrammatic formulation of the theory of interval relations, especially the so-called arrangement interval relations, describing possible mutual arrangements of two intervals on the number axis. The chapter starts from the definition of these relations, and the basic interval relations from which other arrangement relations are constructed. With that, two new diagrammatic tools are introduced, namely the new graphical symbols for the basic relations and the conjunction diagram to represent formulae defining interval arrangement relations. Next, the new tool for representing the space of interval relations, called the W-diagram, is presented, with the system of W-icons for the diagrammatic representation of arrangement relations based on it. The W-diagram is obtained from the MR-diagram by marking in it images (or coimages) of some arbitrary thick interval under all basic interval relations. The shapes of the regions so obtained do not depend on the choice of the reference interval, but reflect properties of corresponding basic relations instead. Another tool representing the space of relations, the L-diagram which is a neighbourhood graph of regions in the W-diagram, is also introduced (it is a new version of similar graphs used by some other authors). Various representations of interval relations are then compared, using several characteristic examples. The way of performing operations on interval relations using the diagrammatic notation of W-icons is then shown, in particular the original diagrammatic algorithm for performing compositions of arrangement relations, and the resulting diagrammatic composition table for basic relations. The developed tools and methods are then applied to classic qualitative reasoning with networks of interval relations. The diagrammatic representation of such networks and the way of solving diagrammatically the basic problems in this area are demonstrated with some classic examples. The analysis of several important classes of arrangement relations follows, namely the convex, pointisable and pre-convex relations. A number of deverse characterizations of these classesin presented and compared, including several new diagrammatic characterizations of them. The two theorems stating equivalence of these characterizations are proven with mostly diagrammatic means. A short note on the diagrammatic representation of certain more important non-arrangement interval relations is also included. The chapter is concluded with an introduction to several basic applications of the interval relations theory, which may use the diagrammatic tools developed (namely reasoning about events in time, qualitative spatial reasoning, technical diagnostics, and action scheduling). Chapter 5 shows the application of interval space diagrams to interval arithmetic. Diagrammatic constructions for interval arithmetic operations developed there help to understand the structure and nonstandard behaviour of the operations and allow for finding and proving their new and useful properties. The operation of addition does not produce any nonstandard effects. Negation and subtraction behave already in a nonstandard way, so that interval subtraction ceases to be the opposite operation to addition, resulting in nonstandard properties of the simplest interval equation a -f x = b. The diagrams explain clearly the underlying causes of that behaviour, helping to understand better the properties of interval calculations. The original diagrammatic construction for the much more complex operation of interval multiplication is developed and used for the diagrammatic analysis of properties of this operation. Among others, the diagrammatic characterization of basic multiplication cases is developed, with the diagrammatic proof of the "fast multiplication" formula. The basic properties of the important interval equation a-x = b are also presented. The detailed analysis of the equation and its multidimensional generalization is continued in Chapter 6. The original construction developed for interval division works properly also for the division by an interval containing zero, producing in such cases extervals used in Kahan arithmetic. Then follows an application of the diagrammatic analysis to the nonstandard arithmetic operations of centred multiplication. It resulted in the proper definition of the new operation of centred inner multiplication and the detailed analysis of inclusion isotonicity properties and approximation accuracy of both outer and inner centred multiplication operations. Short notes on the two main extensions of standard interval algebra (Kaucher and Kahan arithmetics) and applications of interval arithmetic diagrams conclude the chapter. Chapter 6 presents the novel diagrammatic approach to interval linear equations, introducing also new diagrammatic tools useful in this domain. The diagrammatic tools to represent interval space, interval relations, and interval arithmetic operations are applied to the diagrammatic analysis of interval linear equations. First, the basic types of solution sets of such equations (tolerance, control and united solution sets) are defined and reinterpreted as solutions to certain interval relational expressions. Then the basic one-dimensional equation is analyzed. Constructions for its diagrammatic solution in different possible cases are developed. They reveal a rich structure of different configurations of the solution sets. All 6 basic types (with 16 subtypes), 47 intermediate types and 10 degenerate ones are catalogued, in several diagrammatic, tabular, and algorithmic (1DSET) forms. Next, the relation between the interval solution and the tolerance solution set is analyzed. The significance of these findings for the analysis of a general multidimensional case is established with the radial cuts theorem, stating that the arrangement of solution sets along any straight line going through the origin of the solution space is obtained as a solution of a one-dimensional equation with coefficients determined by the coefficients of the multidiamensional equation and directional parameters of the cutting line. The algorithm for calculating such radial cuts is also given (RADCUT). Using these findings, the boundary hyperplane selection rule is formulated, which allows for dinding full and exact descriptions of solution set shapes in the multidimensional solution space. The two-dimensional case is first used as an introduction to such an analysis. The algorithm for finding the complete description of solution sets for such equations (2DSETS) is developed and used to compile the catalogue of basic two-dimensional structural types. Finally, the algorithm is extended to the multidimensional case (BOUNDHYP). The chapter is concluded with a note on applications, presenting a thorough discussion of possible modes of application of the mathematical model based on interval linear equations. Chapter 7 introduces various new characterizations and properties of the tolerance, control, and united solution sets, as obtained by the author with the application of the diagrammatic approach and diagrammatic tools introduced in the previous chapters, especially Chapter 6. The chapter starts from introducing a new tool, called the butterfly diagram (BUTTERFLY), which provides a two-dimensional representation of the structure of the multidimensional solution space. Then the manner of applying the diagram to analyze the structure and properties of solution sets is explained. Certain properties of the midpoint hyperplane and the midpoint solution are also formulated and proved, with the help of diagrammatic approach, as they are useful for further characterization of certain properties of solution sets. Then, with the application of the diagrammatic tools developed, individual types of solution sets are analyzed separately, resulting in refining some known conditions, and finding new ones, for testing existence or emptiness of the solution sets, both globally (TSGLOBAL, CSGLOBAL) and in certain regions of the solution space (TSLOCAL, CSLOCAL, USLOCAL). Other properties, like unboundedness and connectivity, are also investigated and the results presented. Algorithms for finding new inner cross and orthoplex approximations to the solution sets (TSINNER, CSIN-NER, USINNER) are also developed in this way, leading also to the general method of calculating arbitrary parallel cuts through the solution space (PARCUT), with straight lines parallel to any given coordinate axis. The reported results constitute the first batch of results obtained by the author with the diagrammatic approach. The further work with diagrammatic tools will likely reveal a number of new results. The chapter is concluded with the illustrative truss analysis example. Appendix A contains a list of algorithms based on these developments. They were implemented as notebooks of MathematicaŽ 3.0 and constitute a preliminary version of a suite of modules planned for an interactive system of exploration of interval linear equations and their solution spaces. Names of the algorithms are cited above at appropriate places in the summary of the last two chapters.

PL

Głównym celem pracy było opracowanie nowego systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych oraz pokazanie jego użytecznych zastosowań w rozwiązywaniu teoretycznych i praktycznych problemów w tej dziedzinie. Wyniki przedstawione w pracy można podzielić na trzy części: 1. Opracowanie systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, wspomagającego analizę, badanie, prezentację i zrozumienie własności algebry przedziałów, w szczególności relacji przedziałowych, arytmetyki przedziałowej i liniowych równań przedziałowych. 2. Zastosowanie opracowanego systemu reprezentacji do różnych problemów analizy przedziałowej, co pozwoliło uzyskać wiele użytecznych wyników dotyczących własności algebry przedziałów (w szczególności charakteryzacji klas relacji przedziałowych), a także zbadać tzw. scentrowane operacje mnożenia przedziałów oraz wykryć i szczegółowo opisać typy strukturalne liniowych równań przedziałowych. 3. Opracowanie, przy pomocy tego systemu reprezentacji diagramowej, pewnej liczby praktycznych metod i algorytmów charakteryzacji i aproksymacji zbiorów rozwiązań liniowych równań przedziałowych. Pracę rozpoczyna wstępny rozdział na temat rodzącej się dziedziny nauki zwanej diag-ramatyką, która bada metody reprezentacji diagramowych i ich zastosowania do kodowania i przetwarzania informacji (wnioskowania diagramowego). Rozdział rozpoczyna się ogólną dyskusją użycia obrazów jako narzędzi reprezentacji i komunikacji informacji. Następnie definiuje się diagramatykę jako dyscyplinę badawczą i jej trzy główne gałęzie (zagadnienia kognitywne i psychologiczne, teoria reprezentacji diagramowych i zastosowania diagramów). Po tym następuje krótka dyskusja problemów z definicją pojęcia diagramu (zagadnienie ciągle gorąco dyskutowane). Zastosowania reprezentacji diagramowych w matematyce sa następnie omówione bardziej szczegółowo, począwszy od głównych zastrzeżeń zwykle podnoszonych przeciwko ich używaniu (argumenty rzekomej trudności ich użycia, zawodności i nieformalnej natury). Następnie omawia się dwa główne typy diagramów matematycznych (diagramy statyczne i dynamiczne) oraz cztery sposoby ich praktycznego stosowania. Rozdział kończy się dyskusją komputerowych implementacji reprezentacji diagramowych dla zastosowań w matematyce, na które składa się wprowadzanie diagramów, ich wyprowadzanie oraz dwa sposoby wewnętrznej reprezentacji i przetwarzania w komputerze (reprezentacje rastrowe i graf owe). Kilka typów narzędzi komputerowych wspomagających używanie reprezentacji diagramowych omówiono na zakończenie rozdziału, w szczególności klasę narzędzi określanych nazwami "dynamicznej geometrii" lub "diagramowego arkusza kalkulacyjnego." Rozdział 2 zawiera krótkie wprowadzenie do podstawowych pojęć algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, począwszy od podstawowych definicji i oznaczeń. Następnie zaprezentowane są pewne niestandardowe własności arytmetyki przedziałowej oraz podstawowa technika wyznaczania oszacowań przedziałowych dla funcji rzeczywistych, wraz z ważnym problemem przeszacowania takich oszacowań. Na zakończenie zaprezentowane są najważniejsze powody stosowania metod przedziałowych, oraz krótkie uzasadnienie użyteczności reprezentacji diagramowych w badaniach i zastosowaniach metod przedziałowych. Od rozdziału 3 rozpoczyna się prezentacja głównych rezultatów pracy. Po krótkim przeglądzie innych propozycji wprowadzono podstawową reprezentację diagramową przestrzeni przedziałów, tzw. MR-diagram, wraz z dyskusją głównych typów jego możliwych zastosowań w badaniach przedziałowych. MR-diagram przedstawia przestrzeń przedziałów w układzie współrzędnych (ra,r) (środek i promień przedziału), w której przedziały reprezentowane są przez punkty na dwuwymiarowej płaszczyźnie. Dalej pokazano kilka podstawowych zastosowań tego diagramu, zaczynając od reprezentacji typów przedziałów i relacji uporządkowania przedziałów, w tym nowego pojęcia metaregionu (ang. "lozenge"), potrzebnego do specyfikacji własności wypukłości i charakteryzacji typów relacji przedziałowych. Następnie pokazano wykresy podstawowych funkcji określających parametry przedziałów, w szczególności funkcji rozciągłości przedziałów, wraz z nową funkcją, lepiej dostosowaną do używanych współrzędnych środek-promień przedziału. W rezultacie wprowadzono nowy diagram oparty na tej funkcji, zwany RR-diagramem. Na zakończenie pokazano kilka podstawowych konstrukcji dla operacji w kracie przedziałów. Rozdział 4 poświęcony jest diagramowemu opracowaniu teorii relacji przedziałowych, szczególnie tzw. relacjom ułożenia przedziałów, opisującym możliwe wzajemne ułożenia dwóch przedziałów na osi liczbowej. Rozdział rozpoczyna się definicją tych relacji oraz podstawowych relacji przedziałowych, z których zbudowane są pozostałe relacje ułożenia. Wprowadzono tutaj dwa nowe narzędzia diagramowe, mianowicie nowe symbole graficzne dla relacji podstawowych oraz diagram koniunkcji dla reprezentacji formuł definiujących relacje ułożenia przedziałów. Następnie wprowadzono nowe narzędzie do reprezentacji przestrzeni relacji przedziałowych, nazwane W-diagramem, wraz z opartym na nim systemem W-ikon dla diagramowej reprezentacji relacji ułożenia przedziałów. W-diagram powstaje z MR-diagramu przez zaznaczenie na nim obrazów (lub przeciwobrazów) pewnego dowolnego grubego przedziału względem wszystkich podstawowych relacji przedziałowych. Kształty tak uzyskanych obszarów diagramu nie zależą od wyboru przedziału odniesienia, lecz odzwierciedlają własności odpowiednich relacji podstawowych. Wprowadzono także inne narzędzie reprezentacji przestrzeni relacji, tzw. L-diagram, będący grafem sąsiedztwa regionów MR-diagramu (jest to nowa wersja podobnej konstrukcji używanej przez niektórych innych autorów). Różne reprezentacje relacji ułożenia porównano używając kilku charakterystycznych przykładów. Pokazano następnie sposób wykonywania operacji na relacjach przedziałowych za pomocą diagramowej notacji W-ikon, w szczególności oryginalny algorytm diagramowej kompozycji relacji wraz z wynikową diagramową tablicą kompozycji relacji podstawowych. Opracowane narzędzia i metody zostały następnie zastosowane do klasycznego jakościowego wnioskowania za pomocą sieci relacji przedziałowych. Diagramową reprezentację takich sieci i sposoby diagramowego rozwiązywania podstawowych problemów z tej dziedziny pokazano na kilku klasycznych przykładach. W kolejnej części rozdziału przeprowadzono analizę kulku ważnych klas relacji ułożenia przedziałów, mianowicie relacji wypukłych, punktowo określonych i pre-wypukłych. Podano i porrównano szereg różnych charakteryzacji tych klas, w tym kilka nowych charakteryzacji diagramowych. Dwa twierdzenia o równoważności tych charakteryzacji udowodniono przy użyciu diagramów. Przedstawiono również krótko diagramowe reprezentacje niektórych relacji nie będących relacjami ułożenia przedziałów. Rozdział kończy wprowadzenie do niektórych podstawowych zastosowań teorii relacji przedziałowych, które mogą wykorzystywać opracowane narzędzia diagramowe, takich jak wnioskowanie o zdarzeniach w czasie, jakościowe wnioskowanie przestrzenne, diagnostyka techniczna oraz szeregowanie akcji. Rozdział 5 pokazuje zastosowania diagramów przestrzeni przedziałów w arytmetyce przedziałowej. Opracowane tutaj diagramowe konstrukcje dla przedziałowych operacji arytmetycznych pomagają zrozumieć strukturę i niestandardowe zachowanie tych operacji i pozwalają znajdować ich nowe, użyteczne własności. Dodawanie przedziałów nie daje żadnych nietypowych efektów. Natomiast negacja (zmiana znaku) i odejmowanie zachowują się już niestandardowo, w rezultacie czego odejmowanie przestaje być operacją odwrotną do dodawania, co jest powodem nietypowych własności najprostszego równania przedziałowego a-\-x = b. Diagramy wyjaśniają tu naocznie głębsze przyczyny takiego zachowania się tych operacji, pomagając lepiej zrozumieć własności obliczeń przedziałowych. Oryginalną konstrukcję diagram ową, opracowaną dla znacznie bardziej złożonej operacji mnożenia przedziałów, użyto następnie do diagramowego przeanalizowania własności tej operacji. Przedstawiono m.in. diagramową charakteryzację podstawowych przypadków mnożenia wraz z diagramowym dowodem formuły "szybkiego mnożenia." Podano też podstawowe własności ważnego równania przedziałowego a o x = b. Szczegółowa analiza tego równania i jego wielowymiarowego uogólnienia jest kontynuowana w rozdziale 6. Opracowana następnie oryginalna diagramową konstrukcja dla dzielenia przedziałów działa poprawnie także w przypadku dzielenia przez przedział zawierający zero, dając wtedy tzw. przedział zewnętrzny ("eksterwał"), używany w arytmetyce Kahana. Następnie zastosowano analizę diagramową do niestandardowych operacji tzw. scentrowanych operacji mnożenia przedziałów. W wyniku tego udało się określić poprawną definicję nowej operacji tzw. vscentrowanego mnożenia wewnętrznego" oraz zbadać szczegółowo własności izotoniczności względem inkluzji i dokładności aproksymacji dla operacji zarówno zewnętrznego jak i wewnętrznego mnożenia scentrowanego. Rozdział kończą krótkie sekcje na temat dwóch głównych rozszerzeń standardowej algebry przedziałów (arytmetyki Kauchera i Kahana) oraz zastosowań diagramów arytmetyki przedziałowej. Rozdział 6 prezentuje nowe, diagramowe podejście do liniowych równań przedziałowych, wprowadzając również nowe narzędzia diagramowe przydatne w tej dziedzinie. Narzędzia diagramowe dla reprezentacji przestrzeni przedziałów, relacji przedziałowych i przedziałowych operacji arytmetycznych zastosowano tutaj do diagramowej analizy liniowych równań przedziałowych. Najpierw podano definicje podstawowych typów zbiorów rozwiązań takich równań (zbiory rozwiązań tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych) i zinterpretowano je na nowo jako rozwiązania pewnych przedziałowych wyrażeń relacyjnych. Następnie przeanalizowano podstawowe równanie jednowymiarowe. Opracowano konstrukcje jego diagramowego rozwiązywania dla różnych możliwych przypadków. Ujawniło to bogatą strukturę różnych możliwych konfiguracji zbiorów rozwiązań. Skatalogowano wszystkie 6 podstawowych typów konfiguracji (składających się z 16 podtypów), 47 typów pośrednich i 10 zdegenerowanych, w kilku postaciach: diagramowych, tabelarycznych i algorytmicznych (1DSET). Następnie przeanalizowano zależność pomiędzy tzw. rozwiązaniem przedziałowym z zbiorem rozwiązań tolerowanych. Znaczenie tych wyników dla analizy ogólnego przypadku wielowymiarowego wynika z przedstawionego następnie twierdzenia o przecięciu radialnym przestrzeni rozwiązań. Stwierdza ono, że układ zbiorów rozwiązań wzdłuż dowolnej lini prostej przechodzącej przez środek układu współrzędnych przestrzeni rozwiązań uzyskuje się jako rozwiązanie pewnego równania jednowymiarowego ze współczynnikami określonymi przez współczynniki równania wielowymiarowego i parametry kierunkowe linii przecięcia. Podano również algorytm obliczania przecięć radialnych (RADCUT). Na tej podstawie sformułowano regułę selekcji hiperpłaszczyzn granicznych, pozwalającą znajdować pełne i dokładne opisy kształtów zbiorów rozwiązań w wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Jako wprowadzenia do analizy wielowymiarowej użyto następnie przypadku dwuwymiarowego. Opracowano algorytm pełnego opisu przestrzeni rozwiązań dla tego przypadku (2DSETS) i użyto go do stworzenia katalogu podstawowych typów strukturalnych równania dwuwymiarowego. Algorytm został następnie rozszerzony na przypadek wielowymiarowy (BOUNDHYP). Rozdział kończy sekcja na temat zastosowań, zawierająca wyczerpującą dyskusję możliwych sposobów stosowania modelu matematycznego opartego na liniowych równaniach przedziałowych. Rozdział 7 wprowadza różne nowe charakteryzacje i własności tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych zbiorów rozwiązań, uzyskane przez autora z zastosowaniem podejścia diagramowego i narzędzi diagramowych wprowadzonych w poprzednich rozdziałach, w szczególności w rozdziale 6. Rozdział rozpoczyna wprowadzenie nowego narzędzia zwanego diagramem motylkowym (BUTTERFLY), który przedstawia dwuwymiarową reprezentację struktury wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Następnie omówiono sposoby stosowania tego diagramu do analizy struktury i własności zbiorów rozwiązań. Sformułowano i udowodniono z użyciem diagramów także szereg własności hiperpłaszczyzny środkowej i rozwiązania środkowego. Są one użyteczne dla charakteryzacji niektórych własności zbiorów rozwiązań. Następnie poszczególne typy rozwiązań analizowane są oddzielnie za pomocą opracowanych narzędzi diagramowych. Uzyskano w ten sposób ulepszenie niektórych istniejących warunków i znaleziono nowe warunki istnienia oraz nieistnienia tych zbiorów rozwiązań, obowiązujące globalnie (TSGLOBAL, CSGLOBAL), lub tylko w pewnych obszarach przestrzeni rozwiązań (TSLOCAL, CSLOCAL, USLO-CAL). Badano również i zaprezentowano wyniki dotyczące niektórych innych własności tych zbiorów rozwiązań, takich jak nieograniczoność i spójność. Wyprowadzono także algorytmy znajdowania nowych, wewnętrznych aproksymacji krzyżowych i ortopleksowych zbiorów rozwiązań (TSINNER, CSINNER, USINNER), uzyskując także ogólną metodę wyznaczania przecięć równoległych przestrzeni rozwiązań (PARCUT) za pomocą prostych równoległych do dowolnej danej osi współrzędnych. Przedstawione wyniki stanowią pierwszą porcję rezultatów uzyskanych przez autora za pomocą podejścia diagramowego. Dalsza praca z użyciem narzędzi diagramowych zapewne doprowadzi do uzyskania szeregu nowych rezultatów. Rozdział kończy ilustracyjny przykład analizy kratownicy. Dodatek A zawiera listę algorytmów opartych na uzyskanych wynikach. Zostały one zaimplementowane pod systemem MathematicaŽ 3.0 i stanowią wstępną wersję zestawu modułów dla planowanego interakcyjnego systemu eksploracji liniowych równań przedziałowych i ich przestrzeni rozwiązań. Nazwy algorytmów podano w odpowiednich miejscach w streszczeniu ostatnich dwóch rozdziałów powyżej.

4

Model komputerowego wspomagania nauczania geometrii wykreślnej

51%

Helenowska-Peschke M.

|

2000

|

tom z. 3

65-72

PL

Artykuł przedstawia główne założenia i wnioski z badań mających na celu ewaluację autorskiego modelu komputerowego wspomagania nauczania klasycznej geometrii wykreślnej. Badania przeprowadzono na Wydziale Oceanografii i Okrętownictwa Politechniki Gdańskiej w roku akademickim 1997/98. W dwóch grupach dziekańskich zastosowano postępowanie eksperymentalne, tzn. nauczanie wspomagano programem graficznym AutoCAD (zmienna niezależna). Porównanie osiągnięć studentów z grup komputerowych i studentów z grup kontrolnych miało dać odpowiedź na pytanie: jak wpływa wprowadzenie elementów grafiki komputerowej do nauczania geometrii wykreślnej na osiągnięcia poznawcze i motywacyjne studentów (zmienne zależne). Wnioski końcowe zawarte w artykule opierają się na wstępnej analizie danych zebranych w trakcie eksperymentu.

EN

The paper presents the author's computer aided model of teaching descriptive geometry and the evaluation of the model based on the theory of educational measurement. In the academic year 97/98 the author conducted a didactical experiment at the Faculty of Ship Building at the Technical University of Gdansk. Two groups of students were taught in a computer-aided style. The comparison between the results of the students from the experimental groups and the control groups indicates that the computer graphics has a leveling effect both on motivation for studying and the learning results.

5

O pewnym wykreślnym odwzorowaniu wiązkowym uogólnionym minimalnym przestrzeni P3

51%

Januszewski B. , Steciak A.

|

1999

|

tom z. 31 [176]

5-23

PL

Przedstawiono analizę właściwości wykreślnego odwzorowania wiązkowego przestrzeni rzutowej, bazującego na uogólnionych rzutowaniach wiązkowych. Odwzorowanie to jest zaliczane do tzw. odwzorowań minimalnych. Aparat tego odwzorowania tworzą tutaj trzy aparaty {Si, Pii} rzutowań wiązkowych Ri, których środkami są proste rzutowe S1, S2, S3, parami skośne, rzutniami zaś jednoczące się płaszczyzny Pi1 = Pi2 = Pi3 = Pi. Zasadniczym tematem pracy jest wskazanie konstrukcji obrazów podprzestrzeni P3 oraz przeanalizowanie możliwości zapisu wybranych związków rzutowych.

EN

The paper focuses on an analysis of properties of mapping P3 space. The mapping is created by three general bundle projections Ri (i = 1, 2, 3). The apparatuses {Si,Pii} of these projections are formed by three identical projection planes Pi1 = Pi2 = Pi3 = Pi and three separable centre straight lines S1, S2, S3. The main subject of this article is a presentation of the constructions of image of P3 space's subspaces as well as the analysis of the possibilities how to record the chosen projection connections.