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Sur quelques théorèmes qui équivalent à l'axiome du choix

100%

Tajtelbaum-Tarski A.

Fundamenta Mathematicae

1924

tom 5

nr 1

147-154

Le but de cette note est d'établir que l'axiome du choix de Zermelo équivaut à chacun des sept théorèmes suivantes: m, n, p, q étant des nombres cardinaux transfinis, [I] m.n = m + n; [II] m = m^2; [III] si m^2 = n^2, on a m = n; [IV] si m < n et p < q on a m+p < n+q; [IV'] si m < n et p < q. on a m.p < n.q; [V] si m+p < n+p on a m < n; [V'] si m.p < n.p on a m < n.;

Les exemples effectifs et l'axiome du choix

75%

Sierpiński W.

nr 1

112-118

Le but de cette note est de donner un example d'un objet défini effectivement (sans l'aide de l'axiome de Zermelo), mais la démonstration que cet objet jouit de propriétés désirées fait appel à l'axiome du choix.

Sur un ensemble non dénombrable de points, superposable avec les moitiés de sa partie aliquote

75%

Ruziewicz S.

nr 1

4-7

Le but de cette note est de démontrer l'existence d'un ensemble plan non dénombrable, superposable avec deux de ses sous-ensembles qui sont sans points communs.

Argumenty heurystyczne w teorii mnogości

51%

Wójtowicz K.

tom [Z] 34

61-82

On the compactness and countable compactness of 2R in ZF

51%

Keremedis K. , Felouzis E. , Tachtsis E.

2007

tom Vol. 55, no 4

293-302

In the framework of ZF (Zermelo-Fraenkel set theory without the Axiom of Choice) we provide topological and Boolean-algebraic characterizations of the statements "2R is countably compact" and "2R is compact".

Tychonoff products of two-element sets and some weakenings of the Boolean prime ideal theorem

51%

Keremedis K.

tom Vol. 53, no 4

349-359

Let X be an infinite set, and P(X) the Boolean algebra of subsets of X. We consider the following statements: BPI(X): Every proper filter of P(X) can be extended to an ultrafilter. UF(X): P(X) has a free ultrafilter. We will show in ZF (i.e., Zermelo–Fraenkel set theory without the Axiom of Choice) that the following four statements are equivalent: (i) BPI(ω). (ii) The Tychonoff product 2R, where 2 is the discrete space {0, 1}, is compact. (iii) The Tychonoff product [0, 1] R is compact. (iv) In a Boolean algebra of size ≤ |R| every filter can be extended to an ultrafilter. We will also show that in ZF, UF(R) does not imply BPI(R). Hence, BPI(R) is strictly stronger than UF(R). We do not know if UF(ω) implies BPI(ω) in ZF. Furthermore, we will prove that the axiom of choice for sets of subsets of R does not imply BPI(R) and, in addition, the axiom of choice for well orderable sets of non-empty sets does not imply BPI(ω).