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Riesz meets Sobolev

100%

Coulhon T. , Sikora A.

Colloquium Mathematicum

2010

tom 118

nr 2

685-704

We show that the $L^{p}$ boundedness, p > 2, of the Riesz transform on a complete non-compact Riemannian manifold with upper and lower Gaussian heat kernel estimates is equivalent to a certain form of Sobolev inequality. We also characterize in such terms the heat kernel gradient upper estimate on manifolds with polynomial growth.

Littlewood-Paley-Stein functions on complete Riemannian manifolds for 1 ≤ p ≤ 2

80%

Coulhon T. , Duong X. , Li X.

Studia Mathematica

2003

tom 154

nr 1

37-57

We study the weak type (1,1) and the $L^{p}$-boundedness, 1 < p ≤ 2, of the so-called vertical (i.e. involving space derivatives) Littlewood-Paley-Stein functions 𝒢 and ℋ respectively associated with the Poisson semigroup and the heat semigroup on a complete Riemannian manifold M. Without any assumption on M, we observe that 𝒢 and ℋ are bounded in $L^{p}$, 1 < p ≤ 2. We also consider modified Littlewood-Paley-Stein functions that take into account the positivity of the bottom of the spectrum. Assuming that M satisfies the doubling volume property and an optimal on-diagonal heat kernel estimate, we prove that 𝒢 and ℋ (as well as the corresponding horizontal functions, i.e. involving time derivatives) are of weak type (1,1). Finally, we apply our methods to divergence form operators on arbitrary domains of ℝⁿ.

Absence de principe du maximum pour certaines équations paraboliques complexes

80%

Auscher P. , Coulhon T. , Tchamitchian P.

Colloquium Mathematicum

1996

tom 71

nr 1

87-95

Le but de cette note est de montrer que le principe du maximum, même dans une version affaiblie, n'est pas vérifıé pour la classe des opérateurs paraboliques du type $d/dt +L$, où L est un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2 sous forme divergence à coefficients complexes mesurables et bornés en dimension supérieure ou égale à 5. Le principe de démonstration repose sur un résultat abstrait de la théorie des semi-groupes permettant d'utiliser le contre-exemple présenté dans [MNP] à la régularité des solutions faibles pour cette classe d'opérateurs elliptiques.