Wyniki wyszukiwania - Biblioteka Nauki

1

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

SPIS RZECZY PRZEDMOWA........................................ V ROZDZIAŁ I. PERMUTACJE § 1. Permutacje elementów......................... 1 § 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2 § 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3 § 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5 ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI § 1. Wstęp historyczny............................. 7 § 2. Definicja wyznacznika...................... 8 § 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9 § 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11 § 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13 § 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14 § 7. Wnioski........................ 16 § 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19 § 9. Wyznacznik Vandermonde'a........................... 20 § 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25 § 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29 § 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30 § 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35 ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH § 1. Przekształcenia liniowe...................... 37 § 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39 § 3. Przykłady................. 40 § 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45 § 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47 § 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49 § 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51 § 9. Przykłady........................... 53 ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE § 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62 § 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64 ROZDZIAŁ V. MACIERZE § 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66 § 2. Własności iloczynu macierzy............... 69 § 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69 § 4. Macierz odwrotna...................... 70 § 5. Dzielenie macierzy..................... 74 § 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75 § 7. Krakowiany............. 76 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78 ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE § 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81 § 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82 § 3. Liczba i............... 84 § 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86 § 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89 § 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91 § 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93 § 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94 ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY § 1. Lemat Gaussa........... 98 § 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100 ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY § 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102 § 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105 § 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107 § 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109 § 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112 § 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115 § 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117 § 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118 § 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120 § 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122 § 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123 § 12. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona................ 130 § 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132 § 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133 § 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136 § 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137 § 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141 § 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144 § 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146 § 20. Przykłady........................... 147 § 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149 § 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151 § 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152 ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE § 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157 § 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157 § 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy'ego...... 159 § 4. Dowód Waringa............................. 161 § 5. Wzory Newtona............................. 163 § 6. Wyróżnik równania......................... 167 ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA § 1. Równania 2-go stopnia....................... 169 § 2. Równania dwukwadratowe...................... 174 § 3. Równania 3-go stopnia....................... 175 § 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180 § 5. Równania 3-go stopnia....................... 184 § 6. Równania 4-go stopnia....................... 187 § 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193 § 8. Sposób Ferrari'ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194 § 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196 ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA § 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199 § 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201 § 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203 § 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204 § 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208 ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE § 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210 § 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213 § 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214 § 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217 § 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217 § 6. Dowód Liouville'a istnienia liczb przestępnych.................. 221 ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE § 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224 § 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226 § 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227 § 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233 § 5. Przedstawianie pierwiastków równania z^n-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235 § 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239 ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI § 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241 § 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243 § 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistych niewymiernych............ 249 § 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251 § 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252 ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254 § 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256 § 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257 § 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259 § 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261 § 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262 § 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263 ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Twierdzenie Sturma..................... 265 § 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270 § 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273 § 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276 § 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278 ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAŃ § 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280 § 2. Tabliczka działania................. 281 § 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282 § 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285 § 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286 § 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288 § 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290 § 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295 ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA § 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299 § 2. Iloczyn podstawień....................................... 300 § 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302 § 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304 ROZDZIAŁ XIX. GRUPY § 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306 § 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310 § 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311 § 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312 § 5. Produkt grup......................................... 314 § 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315 § 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319 § 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322 § 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325 § 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326 § 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328 § 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330 § 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334 § 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336 § 15. Grupy o 4 elementach........................... 337 § 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338 § 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340 § 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342 § 19. Grupa Galois równania................................ 346 ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH § 1. Definicja ciała..................... 348 § 2. Przykłady ciał...................... 349 § 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359 § 4. Podciała. Ciała proste.............. 360 § 5. Ciała skończone...................... 363 § 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365 ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKI CZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS § 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371 § 2. Grupa Galois........................... 374 § 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376 § 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380 § 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384 § 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385 § 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389 § 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391 § 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393 § 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395 CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398 § 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400 § 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403 § 14. Przykłady........................................ 405 § 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409 § 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411 § 17. Równania czyste.................................. 413 § 18. Równania cykliczne............................... 416 § 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420 § 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423 § 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427 SKOROWIDZ NAZW......................... 429 SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433 SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434 ERRATA..................... 435

2

Rachunek nieskończony

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

CZĘŚĆ TRZECIA: Funkcje elementarne ROZDZIAŁ XVI. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej. Funkcje trygonometryczne oraz ich odwrócenie § 133. Rozwinięcie funkcji $e^z$ na szereg potęgowy................ 1 § 134. Obliczanie liczby e; jej niewymierność................ 3 § 136. Funkcja $e^z$ dla zespolonych z................ 6 § 136. Funkcje cos z oraz sin z i ich własności................ 8 § 137. Liczba π. Okresowość funkcyj trygonometrycznych................ 11 § 138. Bieg funkcyj cos x i sin x dla rzeczywistych x................ 16 § 139. Wzór Vieta na liczbę π................. 17 § 140. Odwrócenie funkcyj trygonometrycznych................ 21 § 141. Forma trygonometryczna liczb zespolonych................ 27 § 142. Własnoaści charakterystyczne funkcyj trygonometrycznych................ 31 § 143. Wzory na pierwiastki naturalnego stopnia z liczb zespolonych................ 35 ROZDZIAŁ XVII. Logarytmy liczb zespolonych. Potęga ogólna. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej § 144. Logarytmy liczb zespolonych................ 40 § 146. Logarytm główny i jego własności................ 41 § 146. Potęga o wykładniku zespolonym................ 45 § 147. Potęga ogólna................ 48 § 148. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej................ 51 § 149. Funkcja tg(z) oraz jej odwrócenie................ 57 § 150. Związek między funkcją arctg(z) a funkcją lg z................ 63 ROZDZIAŁ XVIII. Rozwinięcia funkcyj trygonometrycznych oraz hyperbolicznych na iloczyny nieskończone § 151. Wywód pewnej tożsamości dla sin π z................ 68 § 152. Rozwinięcie funkcji sin π z na iloczyn nieskończony. Wzór Wallisa na liczbę π................ 71 § 153. Rozwinięcie funkcji cos π z na iloczyn nieskończony................ 76 § 154. Wzory Eulera na liczbę $π^2$................ 78 § 155. Wzór Stirlinga................ 80 ROZDZIAŁ XIX. Rozwijanie funkcyj trygonometrycznych na ułamki proste § 156. Rozwinięcie funkcji ctg π z na ułamki proste................ 84 § 157. Rozwinięcie funkcji ctg π z na szereg potęgowy. Liczby Bernoulli'ego................ 88 § 158. Rozwinięcia funkcji tg z na szereg potęgowy oraz na ułamki proste................ 94 § 159. Rozwinięcie funkcyj sec z oraz cosec z na szeregi potęgowe oraz na ułamki proste................ 95 § 160. Wielomiany Bernoulli'ego; wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych................ 100 ROZDZIAŁ XX. Funkcja Γ Eulera oraz jej ważniejsze własności § 161. Definicja funkcji Γ(z) jako granicy pewnego iloczynu................ 104 § 162. Własność iloczynu Γ(z)Γ(1-z); wnioski................ 108 § 163. Twierdzenie Gaussa o mnożeniu funkcji Γ................ 110 CZĘŚĆ CZWARTA: Rachunek różniczkowy ROZDZIAŁ XXI. Pochodna oraz jej zasadnicze własności § 164. Definicja pochodnej. Warunek konieczny i wystarczający na to, iżby funkcja, ciągła w danym przedziale, posiadała dla danej wartości tego przedziału daną pochodną................ 113 § 165. Pochodne nieskończone. Pochodne funkcyj elementarnych. Ciągłość funkcji, posiadającej pochodną skończoną................ 116 § 166. Granice funkcji. Twierdzenie o granicach sumy, różnicy, iloczonu i ilorazu funkcyj................ 124 § 167. Pochodna sumy i różnicy................ 128 § 168. Pochodna iloczynu................ 131 § 169. Pochodna ilorazu................ 132 § 170. Pochodna funkcji................ 133 § 171. Pochodna funkcji odwrotnej................ 136 § 172. Przykłady i zastosowania................ 139 § 173. Funkcja ciągła, nie posiadająca pochodnej................ 141 § 174. Pochodne rzędów wyższych. Wzór Leibniza na n-tą pochodną iloczynu................ 147 ROZDZIAŁ XXII. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a oraz ich zastosowania § 175. Dowód twierdzenia Rolle'a................ 152 § 176. Twierdzenie Lagrange'a oraz jego ważniejsze wnioski................ 154 § 177. Twierdzenie Cauchy'ego................ 157 § 178. Twierdzenie Darboux................ 158 § 179. Rozwijanie na szereg potęgowy funkcyj, dla których rozwinięcia pochodnych są znane................ 162 § 180. Szereg potęgowy na lg(1+ x). Obliczanie logarytmów................ 163 § 181. Szereg potęgowy na arctg x. Obliczanie liczby π................ 165 § 182. Szeregi $Σ n^(-1)x^(n)cos(nϑ)$ oraz $Σ n^(-1)x^(n)sin(nϑ)$................ 168 § 183. Twierdzenie o rozwijalności funkcji ciągłej okresowej na jednostajnie zbieżny szereg skończonych wyrażeń trygonometrycznych................ 175 § 184. Pochodna szeregu funkcyj, dla którego szereg pochodnych jest zbieżny jednostajnie................ 177 § 184. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby pochodną szeregu był w danym punkcie szereg pochodnych................ 182 § 185. Przejście do funkcji pierwotnych dla szeregu jednostajnie zbieżnego. Istnienie funkcyj pierwotnych dla funkcyj ciągłych................ 184 § 186. Rozwinięcie wielomianów Bernoulli'ego przedziale (0, 1) na szeregi trygonometryczne................ 187 § 187. Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina................ 191 § 188. Zastosowanie wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina. Szeregi asymptotyczne................ 193 ROZDZIAŁ XXIII. Wzór Taylora i Maclaurina § 189. Wywód wzorów Taylora i Maclaurina. Forma reszty Schlömilcha, Lagrange'a i Cauchy'ego................ 199 § 190. Warunek konieczny i wystarczający dla rozwijalności funkcji na szereg Taylora w pewnym przedziale................ 205 § 191. Szereg dwumienny................ 207 § 192. Rozwinięcie funkcji arcsin(x) na szereg potęgowy................ 211 § 193. Wzór na lg(1+x) oraz jego zastosowanie do dowodu pewnego twierdzenia z teorji iloczynów nieskończonych................ 212 § 194. Pewne wnioski ze wzoru Taylora. druga pochodna uogólniona. Twierdzenie Schwarza................ 214 § 195. Maxima i minima funkcji; ich własności oraz wyznaczanie................ 217 ROZDZIAŁ XXIV. Ważniejsze wzory i twierdzenia z teorji przyrostów skończonych. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona § 196. Wzór ogólny na n-tą różnicę funkcji................ 223 § 197. Uogólnienie twierdzenia o przyrostach skończonych................ 227 § 198. Związek miedzy n-ta pochodną funkcji, a granicą wyrażenia $Δ^n f(x)/Δx^n$ dla Δx=0................ 229 § 199. Wielomian Lagrange'a................. 233 § 200. Uogólnienie twierdzenia Rolle'a................ 234 § 201. Wzór interpolacyjny Lagrange'a z resztą w formie Cauchy'ego................ 235 § 202. Wzór interpolacyjny Newtona................ 237 § 203. Wywód wzoru Taylora ze wzoru interpolacyjnego Newtona................ 238 ROZDZIAŁ XXV. Funkcje dwuch zmiennych rzeczywistych § 204. Funkcja dwuch zmiennych rzeczywistych................ 240 § 205. Pochodne cząstkowe; związek między ich istnieniem a ciągłością funkcji................ 242 § 206. Funkcje złożone; ich ciągłość i pochodna................ 244 § 207. Pochodna funkcji uwikłanej................ 248 § 208. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Zmiana porządku różniczkowania................ 252 § 209. Pochodne cząstkowe rzędów wyższych................ 258 § 210. Wzór Taylora dla funkcji dwuch zmiennych................ 260

3

Algébre des ensembles

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

FR

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. ALGEBRE DES PROPOSITIONS § 1. L'équivalence des propositions................ 1 § 2. L'implication................ 3 § 3. Produit logique et somme logique................ 7 § 4. Négation................ 11 § 5. Fonctions propositionnelles................ 24 § 6. Les quantificateurs................ 30 CHAPITRE II. ENSEMBLES, ÉLEMENTS, SOUS-ENSEMBLES § 7. Ensembles et leurs éléments................ 35 § 8, Egalité et inégalité des ensembles................ 37 § 9. Ensemble formé d'un seul élément................ 39 § 10. L'ensemble vide................ 43 § 11. Ensembles d'ensembles................ 45 § 12. Sous-ensembles................ 54 § 13. Le plus petit (le plus grand) ensemble à propriété donnée................ 59 CHAPITRE III. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES ENSEMBLES § 14. Somme, produit et différence de deux ensembles................ 62 § 15. Somme et produit d'un ensemble quelconque d'ensembles................ 65 § 16. Propriétés des opérations élémentaires sur les ensembles................ 67 § 17. Sommes disjointes................ 75 § 18. Complémentaires des ensembles et leurs propriétés................ 86 § 19. Parallélisme entre l'algèbre des propositions et l'algèbre des ensembles................ 88 § 20. L'expression (A-B)+(B-A)................ 98 § 21. Limites des suites d'ensembles................ 102 § 22. Produit cartésien de deux ensembles................ 108 CHAPITRE IV. FONCTIONS. IMAGES D'ENSEMBLES. RELATIONS § 23. Fonctions; correspondances................ 112 § 24. Propriétés des images................ 115 § 25. Produit cartésien de plusieurs ensembles................ 130 § 26. Relations définies dans un ensemble. Principe d'abstraction................ 133 § 27. Théorèmes de Banach et de Cantor-Bernstein................ 141 § 28. Correspondances multivoques................ 154 § 29. La Topologie comme chapitre de la Théorie générale des ensembles................ 155 § 30. Théoèrme de la diagonalé................ 159 CHAPITRE V. FAMILLES D'ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR CES FAMILLES § 31. Familles d'ensembles. Familles d'ensembles établissant un ordre................ 161 § 32. Anneaux et corps. Opérations s, d, et ρ................ 165 § 33. Familles Φσ et Φδ et leurs propriétés................ 169 § 34. Un théorème sur les anneaux d'ensembles................ 179 § 35. Théorèmes sur la séparabilité des d'ensembles................ 181 § 36. Opération (A) et ses propriétés................ 185 § 37. Forme abstraite du Théorème de Souslin................ 190 § 38. Le crible de Lusin................ 192 § 39. Les opérations de Hausdorff................ 193 INDEX TERMINOLOGIQUE................ 199 AUTEURS CITÉS................ 202

4

Elementary theory of numbers

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

EN

CONTENTS Preface................................ 5 CHAPTER I. DIVISIBILITY AND INDETERMINATE EQUATIONS OF FIRST DEGREE § 1. Divisibility..................... 7 § 2. Least common multiple..................... 10 § 3. Greatest common divisor..................... 11 § 4. Relatively prime numbers..................... 11 § 5. Relation between the greatest common divisor and the least common multiple..................... 14 § 6. Fundamental theorem of arithmetic..................... 14 § 7. Proof of the formulae $(a_1, a_2,…, a_(n+1)) = ((a_1, a_2,…, a_n),a_(n+1))$ and $[a_1, a_2,…, a_(n+1)] = [[a_1, a_2,…,a_n],a_(n+1)]$..................... 18 § 8. Rules for calculating the greatest common divisor of two numbers..................... 19 § 9. Representation of rationals as simple continued fractions..................... 23 § 10. Linear form of the greatest common divisor..................... 24 § 11. Indeterminate equations of m variables and degree 1..................... 27 § 12. Chinese Remainder Theorem..................... 31 § 13. Thue Theorem..................... 33 § 14. Square-free numbers..................... 33 CHAPTER II. DIOPHANTINE ANALYSIS OF SECOND AND HIGHER DEGREES § 1. Diophantine equations of arbitrary degree and one unknown..................... 35 § 2. Problems concerning Diophantine equations of two or more unknowns..................... 36 § 3. The equation $x^2 + y^2 = z^2$..................... 38 § 4. Integral solutions of the equation $x^2 + y^2 = z^2$ for each x-y = ± 1..................... 44 § 5. Pythagorean triangles of the same area..................... 48 § 6. On squares whose sum and difference are squares..................... 52 § 7. The equation $x^4 + y^4 = z^2$..................... 58 § 8. On three squares for which the sum of any two is a square..................... 61 § 9. Congruent numbers..................... 63 § 10. The equation $x^2 + y^2 + z^2 = t^2$..................... 67 § 11. The equation xy = zt..................... 70 § 12. The equation $x^4 - x^2y^2 + y^4 = z^2$..................... 73 § 13. The equation $x^4+9x^2y^2 + 27y^4 = z^2..................... 75 § 14. The equation $x^3 + y^3 = 2z^3$..................... 78 § 15. The equation $x^3 + y^3 = az^3$ with a>2..................... 82 § 16. Triangular numbers..................... 84 § 17. The equation $x^2 - Dy^2 = 1$..................... 88 § 18. The equations $x^2 + k = y^3$ where k is an integer..................... 99 § 19. On some exponential equations and others..................... 106 CHAPTER III. PRIME NUMBERS § 1. The primes. Factorization of a natural number m into primes..................... 110 § 2. The Eratosthenes sieve. Tables of prime numbers..................... 114 § 3. The differences between consecutive prime numbers..................... 115 § 4. Goldbach's conjecture..................... 118 § 5. Arithmetical progressions whose terms are prime numbers..................... 121 § 6. Primes in a given arithmetical progression..................... 123 § 7. Trinomial of Euler $x^2 + x + 41$..................... 125 § 8. The conjecture H..................... 127 § 9. The function π(x)..................... 130 § 10. Proof of Bertrand's postulate (Theorem of Tchebycheff)..................... 131 § 11. Theorem of H. F. Scherk..................... 140 § 12. Theorem of H. E. Eichert..................... 143 § 13. A conjecture on prime numbers..................... 145 § 14. Inequalities for the function π(x)..................... 147 § 15. The prime number theorem and its consequences..................... 152 CHAPTER IV. NUMBER OF DIVISORS AND THEIR SUM § 1. Number of divisors..................... 156 § 2. Sums d(1) + d(2) + … + d(n)..................... 159 § 3. Numbers d(n) as coefficients of expansions..................... 163 § 4. Sum of divisors..................... 164 § 5. Perfect numbers..................... 171 § 6. Amicable numbers..................... 175 § 7. The sum σ(1) + σ(2) + … + σ(n)..................... 176 § 8. The numbers σ(n) as coefficients of various expansions..................... 178 § 9. Sums of summands depending on the natural divisors of a natural number n..................... 179 § 10. Möbius function..................... 180 § 11. Liouville function λ(n)..................... 184 CHAPTER V. CONGRUENCES § 1. Congruences and their simplest properties..................... 186 § 2. Roots of congruences. Complete set of residues..................... 191 § 3. Roots of polynomials and roots of congruences..................... 194 § 4. Congruences of the first degree..................... 196 § 5. Wilson's theorem and the simple theorem of Fermat..................... 198 § 6. Numeri idonei..................... 214 § 7. Pseudoprime and absolutely pseudoprime numbers..................... 214 § 8. Lagrange's theorem..................... 220 § 9. Congruences of the second degree..................... 223 CHAPTER VI. EULER'S TOTIENT FUNCTION AND THE THEOREM OF EULER § 1. Euler's totient function..................... 228 § 2. Properties of Euler's totient function..................... 239 § 3. The theorem of Euler..................... 241 § 4. Numbers which belong to a given exponent with respect to a given modulu..................... 245 § 5. Proof of the existence of infinitely many primes in the arithmetical progression nk+1..................... 248 § 6. Proof of the existence of the primitive root of a prime number..................... 252 § 7. An nth power residue for a prime modulus p..................... 256 § 8. Indices, their properties and applications..................... 259 CHAPTER VII. REPRESENTATION OF NUMBERS BY DECIMALS IN A GIVEN SCALE § 1. Representation of natural numbers by decimals in a given scale..................... 264 § 2. Representations of numbers by decimals in negative scales..................... 269 § 3. Infinite fractions in a given scale..................... 270 § 4. Representations of rational numbers by decimals..................... 273 § 5. Normal numbers and absolutely normal numbers..................... 277 § 6. Decimals in the varying scale..................... 278 CHAPTER VIII. CONTINUED FRACTIONS § 1. Continued fractions and their convergents..................... 282 § 2. Representation of irrational numbers by continued fractions..................... 284 § 3. Law of best approximation..................... 289 § 4. Continued fractions of quadratic irrationals..................... 290 § 5. Application of the continued fraction for √D in solving equations $x^2-Dy^2$ and $x^2-Dy^2=-1$..................... 305 § 6. Continued fractions other than simple continued fractions..................... 310 CHAPTER IX. LEGENDRE'S SYMBOL AND JACOBI'S SYMBOL § 1. Legendre's symbol (D/p) and its properties..................... 315 § 2. The quadratic reciprocity law..................... 321 § 3. Calculation of Legendre's symbol by its properties..................... 325 § 4. Jacobi's symbol and its properties..................... 326 § 5. Eisentein's rule..................... 329 CHAPTER X. MERSENNE NUMBERS AND FERMAT NUMBERS § 1. Some properties of Mersenne numbers..................... 334 § 2. Theorem of E. Lucas and D. H. Lehmer..................... 336 § 3. How the greatest of the known prime numbers have been found..................... 340 § 4. Prime divisors of Fermat numbers..................... 342 § 5. A necessary and sufficient condition for a Fermat number to be a prime..................... 347 § 6. How the fact that number $2^(2^{1945}) + 1$ is divisible by $5*2^{1947}+1$ was discovered..................... 349 CHAPTER XI. REPRESENTATIONS OF NATURAL NUMBERS AS SUMS OF NON-NEGATIVE kth POWERS § 1. Sums of two squares..................... 351 § 2. The average number of representations as sums of two squares..................... 354 § 3. Sums of two squares of natural numbers..................... 360 § 4. Sums of three squares..................... 363 § 5. Representation by four squares..................... 368 § 6. The sums of the squares of four natural numbers..................... 373 § 7. Sums of m ≥ 5 positive squares..................... 378 § 8. The difference of two squares..................... 380 § 9. Sums of two cubes..................... 382 § 10. The equation $x^3 + y^3 = z^3$..................... 384 § 11. Sums of three cubes..................... 388 § 12. Sums of four cubes..................... 391 § 13. Equal sums of different cubes..................... 393 § 14. Sums of biquadrates..................... 394 § 15. Waring's theorem..................... 395 CHAPTER XII. SOME PROBLEMS OF THE ADDITIVE THEORY OF NUMBERS § 1. Partitio numerorum..................... 400 § 2. Representations as sums of n non-negative summands..................... 402 § 3. Magic squares..................... 403 § 4. Schur's theorem and its corollaries..................... 407 § 5. Odd numbers which are not of the form $2^k+p$, where p is a prime..................... 412 CHAPTER XIII. COMPLEX INTEGERS § 1. Complex integers and their norm. Associated integer..................... 416 § 2. Euclidean algorithm and the greatest common divisor of complex integers..................... 420 § 3. The least common multiply of complex integers..................... 424 § 4. Complex primes..................... 425 § 5. The factorization of complex integers into complex prime factors..................... 429 § 6. The number of complex integers with a given norm..................... 431 § 7. Jacobi's four-square theorem Bibliography Author index Subject index..................... 435 Bibliography..................... 488 Author index..................... 469 Subject index..................... 474

5

Sur une condition pour qu'un continu soit une courbe jordanienne

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

44-60

FR

Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.

6

Sur les ensembles connexes et non connexes

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1921

|

tom 2

|

nr 1

81-95

FR

Définition: On dit que'un ensemble de points P est dispersé, s'il ne contient aucun ensemble connexe contenant plus qu'un point. Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants: Problème 1: Deux points d'un ensemble dispersé, sont-ils nécessairement séparés dans cet ensemble? Problème 2: P étant un ensemble dont tout deux points sont séparés dans P, a étant un point donné de P et ϵ un nombre positif donné, peut-on toujours décomposer P en deux ensembles séparés A et B de sorte que A contienne a et que le diamètre de A soit < ϵ ? Problème 3: Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble punctiforme (situé dans l'espace à m dimensions) soit homéomorphe avec un ensemble linéaire? et Problème 4: Un complémentaire d'un ensemble punctiforme situé dans l'espace à m>1 dimensions est-il toujours connexe?

7

Une remarque sur la condition de Baire

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 5

|

nr 1

20-22

FR

On dit qu'une fonction f(x) satisfait à la condition de Baire relativement à un ensemble parfait P, si elle est continue sur P quand on néglige un ensemble de première catégorie par rapport à P. Dans ce cas il existe toujours une infinité des ensembles E de première catégorie par rapport à P, tels que f(x) est continue sur P-E. Le but de cette note est de démontrer que parmi ces ensembles il existe toujours le plus petit.

8

Les exemples effectifs et l'axiome du choix

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1921

|

tom 2

|

nr 1

112-118

FR

Le but de cette note est de donner un example d'un objet défini effectivement (sans l'aide de l'axiome de Zermelo), mais la démonstration que cet objet jouit de propriétés désirées fait appel à l'axiome du choix.

9

Sur une décomposition effective de fonctions en $א_2$ classes

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 5

|

nr 1

1-2

FR

Le but de cette note est de décomposer effectivement l'ensemble de toutes les fonctions d'une variable réelle en א_2 classes non vides sans éléments communs deux à deux.

10

Sur l'invariance topologique des ensembles G_{δ}

87%

Sierpiński W.

|

nr 1

135-136

FR

Le but de cette note est de donner une demonstration simple et directe de l'invariance topologique des ensembles G_{δ}.

11

Sur un problème concernant les sous-ensembles croissants du continu

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1922

|

tom 3

|

nr 1

109-112

FR

Le but de cette note est de donner la réponse au problème posé par monsieur Knaster: Problème: Existe - il un ensemble ordonné linéairement, de puissance supérieure à celle du continu, possédant un sous-ensemble dense de puissance du continu?

12

Sur l'ensemble de valeurs qu'une fonction continue prend une infinité non dénombrable de fois

87%

Sierpiński W.

|

nr 1

370-373

FR

L'auteur a démontré avec monsieur Mazurkiewicz que l'ensemble de toues les valeurs qu'une fonction continue d'une variable réelle prend une infinité non dénombrable de fois est une projection d'un ensemble plan mesurable B. Le but de cette note est de démontrer cet théorème directement, sans recours aux ensembles (A).

13

Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 5

|

nr 1

334-336

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.

14

Sur une propriété des ensembles ambigus

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 6

|

nr 1

1-5

FR

Le but de cette note est de démontrer le suivant: Théorème: Si G est un ensemble O de classe ≤ α (α > 0) et H en ensemble F de classe ≤ α, et si H ⊂ G, il existe un ensemble E qui est A de classe α, et tel que H ⊂ E ⊂ G.

15

Sur la décomposition des ensembles de points en parties homogènes

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

28-34

FR

Cette note est dévouée à l'étude de la decomposition d'un ensamble dense en soi en parties homogènes.

16

O związku między istnieniem granicy $lim_{Δx=0} {\frac{Δ²f(x)}{Δx²}}$ a ciągłością funkcyi f(x)

87%

Sierpiński W.

|

nr 1

121-129

17

Démonstration d'un théorème sur les fonctions additives d'ensemble

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 5

|

nr 1

262-264

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Soit une fonction d'ensembles F, additive et définie sur la famille additive d'ensembles T. Tout ensemble E_0 de la famille T se divise en deux ensembles P et N, tels que P ∈ T, N ∈ T et 1. f(E) ≥ 0 pour E ⊂ P, E ∈ T, 2. f(E) ≤ 0 pour E ⊂ N, E ∈ T.

18

Sur une propriété des ensembles

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 6

|

nr 1

21-23

FR

Le but de cette note est de démontrer le suivant: Pour qu'un ensemble de points (d'un espace euclidien à m dimensions) soit un F_{σδ}, il faut et il suffit qu'il soit la plus grande limite d'une suite d'ensembles fermés.

19

Sur une propriété des ensembles (A)

87%

Sierpiński W.

|

nr 1

362-369

FR

L'auteur a démontre avec monsieur Lusin en 1923 que tout ensemble (A) est une somme de א_1 ensembles mesurables B. Le but de cette note est de donner une démonstration plus simple et directe de cette propriété et d'en donner une généralisation.

20

Sur une généralisation de la notion de la continuité approximative

87%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1923

|

tom 4

|

nr 1

124-127

FR

Définition: Nous dirons qu'une fonction f(x) (mesurable ou non) jouit de la propriété P en un point x_0 si, quel que soit le nombre positif ϵ, l'ensemble E(x_0,ϵ) des points x donnant lieu à l'inégalité |f(x)-f(x_0)| < ϵ a x_0 pour point de densité extérieure. Le but de cette note est de demontrer: Théorème: Toute fonction f(x) (mesurable ou non) jouit presque pratout de la propriété P.