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1 Acta Arithmetica

1 1998

1 Lecacheux O.

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Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble

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Lecacheux O.

tom 86

nr 3

207-216

On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique 𝐒₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius $𝐅_{20}$, au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l'aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant un sous-groupe rationnel d'ordre 5 pour construire des extensions à groupe de Galois $𝐅_{20}$. Reprenant alors un résultat de A. Brumer nous obtenons un polynôme générique pour $𝐅_{20}$.