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Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier

100%

Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

1924

tom 5

nr 1

96-97

Posons: S_n=(a_0)/2 + ∑_(k=1)^(n)(a_k cos kx + b_k sin kx), σ_n = (S_0 + S_1 + ... + S_(n-1))/n. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si la suite d'entiers n_m (m=1,2,...) remplit la condition suivante: n_(m+1)/(n_m) > λ >1, alors, pour la série de Fourier de toute fonction à carré intégrale S_(n_m) converge presque partout vers la fonction donnée. Théorème: Si dans une série de Fourier-Lebesgue tous les termes sont nuls sauf ceux d'indice n_m (les n_m remplissant l'inégalité - hypothèse du théorème précèdent) la série converge presque partout.

Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier

100%

Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

1925

tom 7

nr 1

24-29

Théorème: Si f(θ) est une fonction sommable, si de plus f(ρ,θ)=1/(2π) ∫_(-π}^(+π) f(α) (1-ρ^2)/(1+ρ^2-2ρ cos(α-θ))dα, alors, z tendant vers e^(iθ) le long d'un chemin quelconque non tangent à la circonférence, la fonction harmonique g(z) conjuguée à f(z) tend pour presque toutes les valeurs de θ vers une limite déterminée g(θ)= - 1/(2π) ∫_(-π}^(+π) f(θ+α)/tg((α)/2)dα, l'integrale etant comprise comme lim_(ϵ → 0) ∫_(-π)^(+ϵ)∫_(-ϵ)^(+π). Le but de cette note est de démontrer que la fonction |g(θ)|^(1-ϵ) est sommable pour ϵ > 0. Comme une conséquence immédiate, l'auteur démontre un théorème sur la convergence en moyenne de la série de Fourier (on peut déduire de ce théorème que toutes les séries de Fourier-Lebesgue convergent en mesure).

Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout

100%

Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

1923

tom 4

nr 1

324-328

Le but de cette note est de donner un exemple d'une fonction intégrale au sens de Lebesgue dont la série de Fourier diverge presque partout ( c'est-à-dire partout sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle).

Endlichen Überdeckungen topologischer Räume

38%

Alexandroff P. , Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

1936

tom 26

nr 1

267-271

Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes

38%

Kolmogoroff A.

Studia Mathematica

1934

tom 5

nr 1

29-33

Sur un procédé d'intégration de M. Denjoy

32%

Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

1928

tom 11

nr 1

27-28