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2 Colloquium Mathematicum

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On positive Rockland operators

100%

Auscher P. , ter Elst A. F. M. , Robinson D. W.

Colloquium Mathematicum

1994

tom 67

nr 2

197-216

Let G be a homogeneous Lie group with a left Haar measure dg and L the action of G as left translations on $L_p(G;dg)$. Further, let H = dL(C) denote a homogeneous operator associated with L. If H is positive and hypoelliptic on $L_2$ we prove that it is closed on each of the $L_p$-spaces, p ∈ 〈 1,∞〉, and that it generates a semigroup S with a smooth kernel K which, with its derivatives, satisfies Gaussian bounds. The semigroup is holomorphic in the open right half-plane on all the $L_p$-spaces, p ∈ [1,∞]. Further extensions of these results to nonhomogeneous operators and general representations are also given.

Absence de principe du maximum pour certaines équations paraboliques complexes

100%

Auscher P. , Coulhon T. , Tchamitchian P.

Colloquium Mathematicum

1996

tom 71

nr 1

87-95

Le but de cette note est de montrer que le principe du maximum, même dans une version affaiblie, n'est pas vérifıé pour la classe des opérateurs paraboliques du type $d/dt +L$, où L est un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2 sous forme divergence à coefficients complexes mesurables et bornés en dimension supérieure ou égale à 5. Le principe de démonstration repose sur un résultat abstrait de la théorie des semi-groupes permettant d'utiliser le contre-exemple présenté dans [MNP] à la régularité des solutions faibles pour cette classe d'opérateurs elliptiques.