System bonus-malus - mierniki tempa zbieżności modelu do stanu stacjonarnego

• Autorzy: Piotr Śliwka

Warianty tytułu

Bonus Malus System - the Measures of Convergence Speed of the Models to the Stationary State

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Przedmiotem artykułu jest przegląd proponowanych w literaturze mierników tempa zbieżności łańcucha Markowa do stanu stacjonarnego i ich adaptacji na grunt systemu bonus-malus (w skrócie SBM).
W niniejszej pracy dokonano przeglądu zawartych w literaturze mierników tempa zbieżności, zbadano ich własności pod względem użyteczności dla SBM, dokonano wyboru najbardziej odpowiednich z nich, w zależności od charakteru analizy, oraz wyznaczono miernik, który dokładniej - w stosunku do istniejących - określa tempo zbieżności modelu SBM do stanu stacjonarnego.
W punkcie 2 zawarto podstawowe informacje pozwalające modelować SBM. W punkcie 3 przedstawiono rys historyczny stosowanych miar. W punktach 5-6 zawarto nowe oszacowanie tempa zbieżności w normie całkowitego wahania, które precyzyjniej (w stosunku do istniejących) pozwala oszacować podstawową kwestię rozważaną w artykule w przypadku pojedynczych wartości własnych macierzy P, natomiast w przypadku wielokrotnych wartości własnych - nie zależy od stanów nieistotnych łańcucha. (fragment tekstu)

EN

Applied measures of quality of the bonus-malus system include stationary distribution in the analitycal structure. This is directly connected with the estimate of convergence rapidity of matrix Pⁿ to ergodic matrix E. A new appraisal of convergence rapidity Pⁿ to E, which depend on multiplicity of the modulus of the second largest eigenvalue in TV norm is proposed in this article. The new appraisal in the case of single eigenvalues of matrix P is more precise than existing in literature, and in the case of multiple eigenvalues does not depend on unessential states of Markov chains. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Systemy bonus-malus

EN

Bonus-malus system

• Czasopismo: Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu
• Rocznik: 2006
• Numer: nr 1108 Statystyka aktuarialna - stan i perspektywy rozwoju w Polsce
• Strony: 403-423

Twórcy

autor

Piotr Śliwka

• Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego; Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Bibliografia

• Aldous D., Diaconis P., Shuffing Cards and Stopping Times, Amer. Math. Monthly, 93, 1986, s. 333-348.
• Aparo E.L., Spectral Decomposition of Matrices and z-Transforms, Proceedings of V-th International Conference of Operational Research, 1970, s. 833-837.
• Arens R., Goldberg M., Weighted L Norms for Matrices, Linear Algebra and its Applications, 201, 1984, s. 155-163.
• Bonsdorff H., On the Convergence of Bonus-Malus Systems, ASTIN Bulletin, 22, No2, 1992, s. 217-223.
• Bowers N., Gerber H. i in., Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, New York 1986.
• Buhlman H., Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag, Berlin 1970.
• Chung K.L., Markov Chains With Stationary Transition Probabilities, Springer-Verlag, Berlin 1960.
• Daykin C.D., Pentikainen T., Pesonen M., Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman&Hall, London 1994.
• Diaconis P., Stroock D., Geometries Bounds for Eigenvalues of Markov Chains, Annals of Applied Probability 1, 1991, s. 36-61.
• De Pril N., The Efficiency of Bonus-Malus System, ASTIN Bulletin, 10, nr 1, 1978, s. 55-72.
• Dufresne F., The Efficiency of the Swiss Bonus-Malus System, Mitteilungen der Schweiz. Vereinigung der Versicherungsmathematiker, Heft 1/1995, s. 1-25.
• Dmitriev N., Dynkin E., On Characteristic Roots of Stochastic Matrices, Izwest. Akad. Nauk SSSR, 10, 1946, s. 167-184.
• Fiedler M., Bounds for Eigenvalues of Doubly Stochastic Matrices, Linear Algebra and its Applications, 5, 1972, s. 299-310.
• Fill J.A., Eigenvalue Bounds on Convergence to Stationarity for Nonreversible Markov Chains with an Application to the Exclusion Process, Annals of Applied Probability 1, 62-87, 1991, s. 62-87.
• Gantmacher F.R., The Theory of Matrices, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin 1986.
• Gelfand I.M., Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1978.
• Goldberg M., Equivalence Constants for lp Norms of Matrices, Linear and Multilinear Algebra 21, 1987, s. 173-179.
• Hartfiel D.J., Meyer C.D., On the Structure of Stochastic Matrices with a Subdominant Eigenvalue Near 1, Linear Algebra and its Appl., 272, 1998, s. 193-203.
• Hohn F., Elementary Matrix Algebra, New York 1961.
• Iosifescu M., Skończone procesy Markowa, PWN, Warszawa 1988.
• Jerrum M., Sinclair A., Approximating the Permanent, SIAM J. Comput., 18, 2001, s. 1149-1178.
• Karpelewicz F.I., On the Eigenvalues of a Matrix with Nonnegative Elements, Izv. Akad. Nauk SSSR, 15, 1951, s. 361-383.
• Kemeny J.G., Snell J.L., Finite Markov Chains, Springer-Verlag, New York 1976.
• Klugman S.A., Panjer H.H., Willmot G.E., Loss Models, John Wiley&Sons, 1998.
• Kolmogorov A.N., Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeits-rechnung, Math. Ann. 104, 1931, s. 415-458.
• Lemaire J., Automobile Insurance, Kluwer-Nijnhoff, Boston 1985.
• Lemaire J., Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer, Boston 1995.
• Lesanovsky A., Coefficients of Ergodicity Generated by Non-Symetrical Vector Norms, "Czechoslovak Mathematical Journal" 40 (115), 1990, s. 284-294.
• Loimaranta K., Some Asymptotic Properties of Bonus Systems, ASTIN Bulletin, 1972, s. 233 245.
• Marshall A.W., Olkin I., Inequalities: Theory of Majorization and its Applications, Academic Press, New York 1979.
• Nykowska M., Prognozowanie struktury za pomocą łańcuchów Markowa, Prace i Materiały, Instytut Cybernetyki i Zarządzania, SGPiS, Warszawa 1980, s. 142-161.
• Panjer H., Models in Risk Theory, Proceed, of Symp. Appl. Mathematica, 35, 1986.
• Panjer H., Willmot G.E., Insurance Risk Models, Society of Actuaries 1992.
• Pinquet J., Designing Optimal Bonus-Malus Systems from Different Types of Claims, ASTIN Buletin 1998, s. 205-220.
• Podgórska M., Śliwka P. i in., Łańcuchy Markowa i ich zastosowania, SGH, Warszawa 2000.
• Pokarowski P., Directed Forests with Applications to Algorithms Related to Markov Chains, Applicationes Mathematicae 26(4), 1999, s. 395-414.
• Pokarowski P., Uncoupling Measures and Eigenvalues of Stochastic Matrices, "Journal of Applied Analysis" 4(2), 1998, s. 261-269.
• Rhodius A., The Maximal Value for Coefficients of Ergodicity, Stochastic Processes and their Applic., 29, 1988, s. 141-145.
• Rolski T. i in., Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley, Chichester 1999.
• Rothblum U.G., Tan Ch.P., Upper Bounds on the Maximum Modulus of Subdominant Eigenvalues of Nonnegative Matrices, Linear Algebra Appl., 66, 1985, s. 45-86.
• Sarymsakov T.A., On the Theory of Inhomogenous Markov Chains, Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R., 8, 1958, s. 3-7.
• Seneta E., Ergodicity Coefficient, Adv. Appl. Prob., 11, 1979, s. 576-590.
• Seneta E., Explicit Forms for Ergodicity Coefficients and Spectrum Localization, Linear Algebra Appl., 60, 1984, s. 187-197.
• Seneta E., Explicit Forms for Ergodicity Coefficients of Stochastic Matrices, Linear Algebra Appl., 191, 1993, s. 245-252.
• Seneta E., Non-Negative Matrices and Markov Chains, Springer-Verlag, New-York, Heidelberg and Berlin 1981.
• Smith G.,D., Numerical Solution of Partial Differential Equations, University Press, Oxford 1965.
• Stone B.J., Bests Ratios of Certain Matrix Norms, Numer. Math., 4, 1962, s. 114-116.
• Straub E., Non-Life Insurance Mathematics, Springer-Verlag, Berlin 1988.
• Śliwka P., Ocena jakości systemu bonus-malus przy wybranych metodach estymacji parametrów, praca doktorska, SGH, Warszawa 2003.
• Śliwka P., Topolewski M., Zjawisko łaknienia zniżek w ubezpieczeniach komunikacyjnych, Roczniki KAE SGH, 1998, s. 234-249.
• Tan Ch.P., A Functional Form for a Particular Coefficient of ergodicity, J. Appl. Prob., 19, 1982, s. 858-863.
• Tan Ch.P., Coefficient of Ergodicity with Respect to Vector Norms, J. Appl. Prob., 20, 1983, s. 272-287.
• Van der Waerden В., Moderne Algebra I, II, Berlin 1960.
• Venter G., A Comaparative Analysis of Most European and Japanese Bonus-Malus Systems: Extension, "Journal of Risk and Insurance", 58, 1991, s. 542-547.
• Vesely P., Two Contributions to the Theory of Coefficients of Ergodicity, "Czechoslovak Mathematical Journal" 42 (117), Praha 1992.
• Vose D., Risk Analysis. A quantitative guide, 2nd edition, Wiley&Sons 2000.
• Wilkinson J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford 1965.