Oczekiwana składka ubezpieczeniowa w systemie bonus-malus jako niemalejąca funkcja częstości szkód

• Autorzy: Barbara Kryszeń

Warianty tytułu

Expected premium in bonus-malus system as s non-increasing claims frequency function

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W niniejszym artykule dla rozpatrywanych modeli SBM przeprowadzona została analiza własności oczekiwanej składki z punktu widzenia pojedynczego ubezpieczonego. W modelu założono, że liczba szkód jest zmienną losową o rozkładzie Poissona, który to rozkład jest powszechnie stosowany w literaturze i w praktyce do charakterystyki liczby szkód pojedynczego ubezpieczonego. Wykonanie analizy było możliwe dzięki wykluczeniu z rozważań systemów nie mogących funkcjonować na konkurencyjnym rynku i zdefiniowaniu sprawiedliwego SBM. Dla takiego typu systemów udowodniono, iż oczekiwana składka jest niemalejącą funkcją częstości szkód.  Nieujemna zmiana wysokości oczekiwanej składki wraz ze wzrostem częstości szkód jest bardzo ważną własnością, gdyż stanowi warunek konieczny do tego, aby system dobrze oceniał ryzyko a posteriori. Systemy sprawiedliwe są powszechnie używane w praktyce. Ponadto, w literaturze aktuarialnej na ogół przyjmuje się rozkład Poissona do opisu szkodliwości pojedynczego ubezpieczonego. Udowodnione twierdzenie dotyczy zatem bardzo szerokiej klasy SBM stosowanych w rzeczywistości. (abstrakt oryginalny)

EN

Bonus-malus system is most commonly used in automobile insurance to set the premium. In the system the premium depends on the number of claims reported by the driver in the previous period. That's why claims frequency model determines a posteriori classification. Gener-ally there is assumed, that in the automobile insurance, the mixed Poisson distribution describes number of claims. Taking into a consideration above, in the article the system is analyzed for the individual client whose claims model is characterized by the Poisson distribution. To evaluate expected premium the non-realistic systems were eliminated. The bonus-malus system classification presented in the article allows distinguishing those, present on the com-petitive market, later called "fair". In the research it was proved that in the fair systems, the expected premium is non-increasing claim frequency function, in the stationary as well as in the non-stationary periods. The basic condition for a correct a posteriori risk assessment is non-positive change of the expected premium level while claim frequency is increasing. The aim of the research was to describe conditions determining the above theorem and to present formal prove. The fair systems defined in the article are commonly used in practice. Moreover, the actuarial literature assumes that Poisson distribution describes number of claims for the individual insured. Based on that, proved theorem is related to wide category of the system used on the market. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Ubezpieczenia komunikacyjne OC; Systemy bonus-malus; Składki ubezpieczeniowe

EN

Motor insurance; Bonus-malus system; Insurance premium

• Czasopismo: Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych / Szkoła Główna Handlowa
• Rocznik: 2005
• Numer: nr 14 Ubezpieczenia i ekonometria
• Strony: 45-57

Twórcy

autor

Barbara Kryszeń

Bibliografia

• Albrecht P. (1982), On Some Statistical Methods Connected with the Mixed Poisson Process, Scandinavian Actuarial Journal, str.1-14.
• Baione F., Levantesi S., Menzietti M. (2002), The development of an optimal bonus-malus system in a competitive market, ASTIN BULLETIN, nr 32, str. 159-169.
• Bonsdorff H. (1992), On the convergence of bonus-malus system, ASTIN BULLETIN, nr 2, str. 217-223.
• Coene G., Doray L.G. (1996), A Financially Balanced Bonus-Malus System, ASTIN BULLETIN, nr 26, str. 107-116.
• Daykin C.D., Pentikainen T., Pesonen M. (1996), Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman&Hall, London.
• Fichtenholz (1976), Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
• Frangos N., Vrontos S. (2001), Design of optimal bonus-malus system with a frequency and a severity component on an individual basis in automobile insurance, ASTIN BULLETIN, nr 31, str. 1-22.
• Holtan J. (2001), Optimal insurance coverage under bonus-malus contracts, ASTIN BULLETIN, nr 31, str. 175-186.
• Iosifescu M. (1988), Skończone procesy Markowa, PWN, Warszawa.
• Kemeny J.G., Snell J.L. (1960), Finite Markov Chains, Springer-Verlag, New York.
• Klugman S.A., Panjer H.H., Willmot G.E., (1998), Loss Models from data to decisions, Wiley&Sons.
• Kryszeń B. (2004), Wyniki estymacji rozkładu liczby szkód w ubezpieczeniach komunikacyjnych w Polsce, w: Metody ilościowe w naukach ekonomicznych, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa.
• Lemaire J. (1985), Automobile Insurance: Actuarial Models, Kluwer Academic Publishers.
• Lemaire J. (1995), Bonus-Malus System in Automobile Insurance, Kluwer Academic Publishers.
• Niemiec M. (2004), Macierz oczekiwanych czasów pierwszego przejścia w analizie systemów bonus-malus, w: Metody ilościowe w naukach ekonomicznych, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa.
• Podgórska M., Śliwka P., Topolewski M., Wrzosek M. (2003), Łańcuchy Markowa w teorii i w zastosowaniach, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa.
• Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. (1998), Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley&Sons.
• Ruohonen M. (1987). On a Model for the Claim Number Process, ASTIN BULLETIN, nr 18, cz.l, str. 57-68.
• Taylor G. (1997), Setting a bonus-malus scale in the preference of other rating factors, ASTIN BULLETIN, nr 27, cz.l, str. 319-327.
• Teugels J.L., Sundt B. (2004), Encyclopedia of Actuarial Science, Wiley, West Sussex.
• Topolewski M. (2002), System bonus-malus jako łańcuch Markowa z wypłatami, praca doktorska SGH, Warszawa.
• Walhin J.F., Paris J. (1997), Using Mixed Poisson Processes in Connection with Bonus-malus System, ASTIN BULLETIN, nr 29, cz.l, str. 81-99.
• Walhin J.F., Paris J. (2000), The true claim amount and frequency distributions within a bonus-malus System, ASTIN BULLETIN, nr 30, cz.2, str. 391-403.
• Walhin J.F., Paris J. (2001), The practical replacement of a Bonus-Malus System, ASTIN BULLETIN, nr 31, cz.2, str. 317-335.