Rozwiązanie zagadnienia własnego dla niepryzmatycznego łuku kołowego z wykorzystaniem szeregów Czebyszewa

• Autorzy: Ruta, P. , Meissner, M.

Warianty tytułu

EN

Eigenproblem of nonprismatic circular arch solution using Chebyshev series

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Przedmiotem analizy jest zagadnienie własne luku kołowego o zmiennym przekroju, opisane według teorii Bernoulliego-Eulera. Problem jest rozwiązywany z wykorzystaniem metody aproksymacyjnej, w której do aproksymacji wykorzystuje się szeregi wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Zastosowana w pracy metoda jest oparta na ogólnym twierdzeniu opisującym związki rekurencyjne dla równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia nieskończonego układu równań algebraicznych, którego współczynniki są określone zamkniętymi formułami analitycznymi. Formuły te w sposób jawny zależą od wyrazów szeregów, w które rozwinięto zmienne współczynniki wyjściowych równań różniczkowych. Otrzymana w ten sposób ogólna postać równań algebraicznych pozwala na rozwiązanie analizowanego zagadnienia dla dowolnych geometrycznych parametrów łuku, takich jak: krzywizna, zmienne pole i zmienny moment bezwładności przekroju czy gęstość łuku. Do analitycznych formuł opisujących współczynniki układu równań algebraicznych wystarczy bowiem podstawić współczynniki szeregów opisujących parametry materiałowe i geometryczne łuku. W celu weryfikacji poprawności oraz skuteczności otrzymanego algorytmu uzyskane prezentowaną w pracy metodą częstości i formy własne porównano z wynikami uzyskanymi metodą elementów skończonych. Obliczenia wykonano programem Cosmos/M, stosując do aproksymacji elementy belkowe 3D o liniowo zmiennym przekroju. W celu oceny różnicy między formami własnymi wyznaczono dla nich standardowy indeks MAC (Modal Assurance Criterion). Otrzymane rezultaty potwierdziły poprawność oraz skuteczność omawianej w pracy metody.

EN

The subject of analysis is eigenproblem of circular arch with variable cross-sections, described by the Bernoulli-Euler theory. The problem is solved using approximation method, in which Chebyshev polynomials of first kind series are used. Method used in paper is based on general theorem describing recursive relationships for differential equations with variable coefficients. This method leads to the designation of an infinite system of algebraic equations, coefficients of which are defined by closed analytical formulas. These formulas depend explicitly on terms of the series, which are expansions of the variable coefficients of output differential equations. Thus obtained the general form of algebraic equations allows one to solve analysed problem for any geometrical arch parameters such as: curvature, variable cross-section area and moment of inertia, or arch density. It is enough to substitute coefficients of the series describing material and geometrical parameters to analytical formulas describing coefficients of the system of algebraic equations. In order to verify the effectiveness and correctness of obtained algorithm natural frequencies and eigenforms received from presented method were compared to the results obtained with the finite element method. Calculations were made in Cosmos/M program using 3D beam elements with linearly variable cross-section for approximation. In order to evaluate differences between eigenforms the standard MAC (Modal Assurance Criterion) index was designated. The obtained results confirmed effectiveness and correctness of the method presented in paper.

Słowa kluczowe

PL

problem własny; łuk niepryzmatyczny; przekrój zmienny; obliczanie; szereg Czebyszewa

EN

eigenproblem; nonprismatic arch; variable cross-section; calculation; Chebyshev series

• Czasopismo: Czasopismo Inżynierii Lądowej, Środowiska i Architektury / Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture
• Rocznik: 2013
• Tom: z. 60, nr 1
• Strony: 161--173
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz., il., tab.

Twórcy

autor

Ruta, P.

• Politechnika Wrocławska,

autor

Meissner, M.

• Politechnika Wrocławska,

Bibliografia

• 1. Chindamparam P., Leissa A.W.: Influence of centerline extensibility on the in-plane free vibrations of loaded circular arches. Journal of Sound and Vibration, 183(5), 779-795, 1995.
• 2. Lee S.-Y., Sheu J.-J., Lin S.-M.: In-plane vibrational analysis of rotating curved beam with elastically restrained root. Journal of Sound and Vibration, 315, 1086-1102, 2008.
• 3. Huang C.S., Tseng Y.P., Leissa A.W., Nieh K.Y.: An exact solution for in-plane vibrations of an arch having variable curvature and cross section. International Journal of Mechanical Sciences, 40(11), 1159-1173, 1998.
• 4. Kawakami M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C.: In-plane and out of plane free vibrations of curved beams with variable sections. Journal of Sound and Vibration, 187(3), 381-401, 1995.
• 5. Liu G.R., Wu T.Y.: In-plane vibration analyses of circular arches by the generalized differential quadrature rule. International Journal of Mechanical Sciences, 43, 2597-2611, 2001.
• 6. Shin Y.-J., Kwon K.-M., Yun J.-H.: Vibration analysis of a circular arch with variable cross-section using differential transformation and generalized differential quadrature. Journal of Sound and Vibration, 309, 9-19, 2008.
• 7. Tong X., Mrad N., Tabarrok B.: In-plane vibration of circular arches with variable cross-sections. Journal of Sound and Vibration, 212(1), 121-140, 1998.
• 8. Huang C.S., Nieh K.Y., Yang M.C.: In-plane free vibration and stability of loaded and shear-deformable circular arches. International Journal of Solids and Structures, 40, 5865-5886, 2003.
• 9. Nieh K.Y., Huang C.S., Tseng Y.P.: An analytical solution for in-plane free vibration and stability of loaded elliptic arches. Computers and Structures, 81, 1311-1327, 2003.
• 10. Krishnan A., Dharmaraj S., Suresh Y.J.: Free vibration studies of arches. Journal of Sound and Vibration, 186(5), 856-863, 1995.
• 11. Yang F., Sedaghati R., Esmailzadeh E.: Free in-plane vibration of general curved beams using finite element method. Journal of Sound and Vibration, 318, 850-867, 2008.
• 12. Öztürk H., Yeşilyurt I., Sabuncu M.: In-plane stability analysis of non-uniform cross-sectioned curved beams. Journal of Sound and Vibration, 296, 277-291, 2006.
• 13. Ruta P.: Application of Chebyshev series to solution of non-prismatic beam vibration problems. Journal of Sound and Vibration, 227(2), 449-467, 1999.
• 14. Ruta P.: The application od Chebyshev polynomials to the solution of the nonprismatic Timoshenko beam vibration problem. Journal of Sound and Vibration, 296, 243-263, 2006.
• 15. Meissner M., Ruta P.: Out-of-plane vibrations of curved nonprismatic beam under a moving load. Journal of Civil Engineering and Management, 18(6), 773-782, 2012.
• 16. Paszkowski S.: Zastosowanie numeryczne wielomianów i szeregów Czebyszewa. PWN, Warszawa 1975.