The optimal number of tetrads for measurement of dissimilarities in nonmetric multidimensional scaling

• Authors: Artur Zaborski

Title variants

PL

Optymalna liczba tetrad do pomiaru niepodobieństw w niemetrycznym skalowaniu wielowymiarowym

Abstracts

PL

Bezpośrednie wyznaczanie niepodobieństw jest najpopularniejszym i najczęściej stosowanym sposobem uzyskiwania danych wejściowych w niemetrycznym skalowaniu wielowymiarowym, czyli gdy zmienne są mierzone na skali porządkowej (np. w badaniach preferencji). Stosowanie większości metod bezpośredniego pomiaru podobieństwa, takich jak rangowanie, sortowanie, porównania parami czy warunkowe porządkowanie podobieństw, jest jednak bardzo pracochłonna, zwłaszcza przy dużej liczbie obiektów. Z tego powodu w badaniu omawianym w niniejszym artykule posłużono się metodą tetrad – nieskomplikowaną i nieuciążliwą dla respondentów. Proponowana metoda polega na przedstawieniu respondentom do oceny czteroelementowe podzbiory (tetrady) z n-elementowego zbioru obiektów. Respondent proszony jest o wskazanie pary najbardziej i najmniej podobnych elementów w każdej tetradzie. Ponieważ liczba tetrad rośnie bardzo szybko wraz z liczbą obiektów, niezbędne jest zastosowanie niepełnego wariantu tej metody, w której respondentom przedstawia się do oceny jedynie część czteroelementowych podzbiorów. Badanie omawiane w artykule ma na celu ustalenie wielkości zbioru tetrad, która jest wystarczająca do wyznaczenia macierzy niepodobieństw służącej do wykonania niemetrycznego skalowania wielowymiarowego. Badanie przeprowadzono na podstawie czterech macierzy odległości dla 7, 9, 11 i 13 obiektów, którymi były losowo wybrane miasta wojewódzkie w Polsce. Odległości między miastami wyrażono w kilometrach. Wykorzystano analizę Prokrustesa oraz współczynnik korelacji rang Spearmana. Wykazano, że zastosowanie metody tetrad do pomiaru niepodobieństw daje korzystne wyniki już wtedy, gdy każda para obiektów pojawia się w zbiorze tetrad tylko raz, co pozwala na znaczne ograniczenie liczby opinii wyrażanych przez respondentów.

EN

The direct determination of dissimilarities is the most popular and most frequently used method for raising input data in nonmetric multidimensional scaling, i.e. when variables are measured on an ordinal scale (e.g. in preference studies). Most methods for the direct measurement of similarities, including ranking, sorting, pairwise comparison, conditional ranking of similarities are, however, very laborious, especially when a large number of objects is tested. Thus, the research described in this article is based on the tetrad method, which is uncomplicated and less burdensome for the respondents. In the proposed method, respondents are asked to evaluate four-element subsets (tetrads) from a set of n objects. The respondent is asked to indicate the pair with the most and the least similar elements in each tetrad. As the number of tetrads rapidly increases along with the number of objects, it becomes necessary to use the incomplete variant of the method, in which only some four-element subsets are presented to the respondents for evaluation. The aim of the research presented in the article is to determine the size of the tetrad set that is sufficient to create a dissimilarity matrix used to perform nonmetric multidimensional scaling. The study was based on four distance matrices for 7, 9, 11 and 13 objects that were randomly selected voivodship capitals in Poland. The distances between the cities were expressed in kilometres. The Procrustes analysis and Spearman's rank correlation were used in the study. The findings show that the use of the tetrad method for the measurement of dissimilarities produces beneficial results already at the point when each pair of objects appears in the set of tetrads only once, which allows the number of opinions provided by the respondents to be significantly reduced.

Keywords

EN

measurement of dissimilarities; direct indication of dissimilarities; tetrad method; nonmetric multidimensional scaling; Procrustes analysis

PL

pomiar niepodobieństw; bezpośrednie wyznaczanie niepodobieństw; metoda tetrad; niemetryczne skalowanie wielowymiarowe; analiza Prokrustesa

• Publisher: Główny Urząd Statystyczny
• Journal: Wiadomości Statystyczne. The Polish Statistician
• Year: 2024
• Volume: 69
• Issue: 5
• Pages: 1-13

Dates

published

2024

Contributors

author

Artur Zaborski

• Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu, Wydział Ekonomii i Finansów / Wroclaw University of Economics and Business, Faculty of Economics and Finance

• https://orcid.org/0000000313742268

References

• Bijmolt, T. H. A. (1996). Multidimensional Scaling in Marketing: Towards Integrating Data Collection and Analysis. Capelle a/d Ussel: Labyrint Publication.
• Borg, I., & Groenen, P. J. F. (2005). Modern Multidimensional Scaling. Theory and Applications (2nd edition). Springer. https://doi.org/10.1007/0-387-28981-X.
• Burton, M. L., & Nerlove, S. B. (1976). Balanced Design for Triads Tests: Two Examples from English. Social Science Research, 5(3), 247-267. https://doi.org/10.1016/0049-089X(76)90002-8.
• Carroll, J. D., & Chang, J. J. (1970). Analysis of individual differences in multidimensional scaling via an N-way generalization of “Eckart-Young” decomposition. Psychometrika, 35(3), 283-319. https://doi.org/10.1007/BF02310791.
• Cox, T. F., & Cox, M. A. A. (2001). Multidimensional Scaling (2nd edition). Chapman & Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9780367801700.
• Coxon, A. P. M, & Davies, P. M. (1982). The User's Guide to Multidimensional Scaling with Special Reference to the MDS(X) Library of Computer Programs. Heinemann Educational Books.
• Guttman, L. (1968). A general nonmetric technique for finding the smallest coordinate space for a configuration of points. Psychometrika, 33(4), 469-506. https://doi.org/10.1007/BF02290164.
• Humphreys, M. A. (1982). Data collecting effects on nonmetric multidimensional scaling solutions. Educational and Psychological Measurement, 42(4), 1005-1022. https://doi.org /10.1177/001316448204200408.
• Kruskal, J. B. (1964a). Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis. Psychometrika, 29(1), 1-27. https://doi.org/10.1007/BF02289565.
• Kruskal, J. B. (1964b). Nonmetric multidimensional scaling: A numerical method. Psychometrika, 29, 115-129. http://dx.doi.org/10.1007/BF02289694.
• de Leeuw, J., & Heiser, W. (1980). Multidimensional scaling with restrictions on the configuration. In P. R. Krishnaiah (Ed.), Multivariate Analysis V (pp. 501-522). North-Holand.
• Mandal, B. N. (2019). ibd: Incomplete Block Designs. www.r-project.org.
• Morris, M. D. (2010). Design of Experiments. An Introduction Based on Linear Models. Chapman & Hall/CRC.
• Rink, D. R. (1987). An improved preference data collection method: Balanced incomplete block designs. Journal of the Academy of Marketing Science, 15(3), 54-61. https://doi.org /10.1007/BF02721954.
• Shepard, R. N. (1962). The analysis of proximities: Multidimensional scaling with an unknown distance function. Part I. Psychometrika, 27, 125-140. https://doi.org/10.1007/BF02289630.
• Takane, Y., Young, F. W., & de Leeuw, J. (1977). Nonmetric individual differences in multidimensional scaling: an alternating least squares method with optimal scaling features. Psychometrika, 42, 7-67. https://doi.org/10.1007/BF02293745.
• Tsogo, L., Masson, M. H., & Bardot, A. (2000). Multidimensional Scaling Methods for Many-Object Sets: A Review. Multivariate Behavioral Research, 35(3), 307-319. https://doi.org/10.1207 /S15327906MBR3503_02.
• Zaborski, A. (2003). Wpływ alternatywnych metod pomiaru preferencji na wyniki skalowania wielowymiarowego. Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach: Analiza i prognozowanie zjawisk o charakterze niemetrycznym, 55-69.
• Zaborski, A. (2020). The Use of the Incomplete Tetrad Method for Measuring the Similarities in Nonmetric Multidimensional Scaling. Folia Oeconomica Stetinensia, 20(1), 519-530. https://doi.org/10.2478/foli-2020-0030.
• Zaborski, A. (2022). Triads or tetrads? Comparison of two methods for measuring the similarity in preferences under incomplete block design. Statistics in Transition new series, 23(3), 185-198. https://doi.org/10.2478/stattrans-2022-0037.

Identifiers

DOI

10.59139/ws.2024.05.1

Biblioteka Nauki

55994192