Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Sphere and projective space of a C*-algebra with a faithful state

Antunez Andrea C.

Demonstratio Mathematica

|

2019

|

Vol. 52, nr 1

410--427

EN

Let A be a unital C*-algebra with a faithful state φ. We study the geometry of the unit sphere Sφ = {x∈A : φ(x*x) = 1} and the projective space Pφ = Sφ/T. These spaces are shown to be smooth manifolds and homogeneous spaces of the group Uφ(A) of isomorphisms acting in A which preserve the inner product induced by φ, which is a smooth Banach-Lie group. An important role is played by the theory of operators in Banach spaces with two norms, as developed by M.G. Krein and P. Lax. We define a metric in Pφ, and prove the existence of minimal geodesics, both with given initial data, and given endpoints.

2

Multistage bundle projectionon secondary unprojecting trace and node subspaces

Zarzeka-Raczkowska E.

Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej

|

2013

|

Vol. 62, nr 3

81-93

EN

Assumptions and chosen properties of the presented kind of the multistage bundle projection which was named multistage bundle projection with secondary non-projected tracely node subspaces (MBP II) are another important contribution to the theory of one-project mappings of the projective space Pn onto a plane. Presented projection is realized by stages. In the particular stages of this projection we adopt subspaces belonging to a pencil trace system as projection planes. Moreover, it is important, that in the presented analysis the secondary projects of node subspaces are the un-projected trace subspaces. Presented mapping significantly extends constructive possibilities in the field of images of n-dimensional subspaces independently on their types.

PL

Przedstawione w niniejszym artykule założenia i wybrane właściwości odmiany wieloetapowego rzutu wiązkowego o wtórnie nierzutujących śladowych podprzestrzeniach węzłowych są kolejnym uzupełnieniem pola jedno-rzutowych odwzorowań n-wymiarowej przestrzeni rzutowej Pn na płaszczyznę. Prezentowane odwzorowanie realizowane jest etapowo: w poszczególnych krokach tego rzutowania jako rzutnie przyjmujemy podprzestrzenie należące do wiązkowego układu śladowego. Ponadto, istotnym jest, iż rzuty wtórne podprzestrzeni węzłowych są podprzestrzeniami nierzutującymi. Przedstawione odwzorowanie znacząco poszerza możliwości konstrukcyjne w zakresie obrazów podprzestrzeni n-wymiarowych, niezależnie od ich rodzaju.

3

Generalized Pappus' theorem

Witczyński K.

Demonstratio Mathematica

|

2009

|

Vol. 42, nr 3

627-630

EN

The paper contains a generalization to the n-dimensional projective space over a commutative field of a famous theorem of Pappus.

4

Identification of subspace position in multistage bundle projection in projective space Pn

Zarzeka-Raczkowska E.

Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej

|

2009

|

Vol. 58, nr 4

277-284

EN

A multistage projection bundle R is realized in a field of an n - dimensional projection space Pn. An apparatus of this projection is created from: the projection plane Π,which is a p - dimensional subspace, 1 ≤ p ≤ n - 1, a centre of the projection S, which is an s - dimensional subspace s ≥ 0. The dimension s of the centre of the projection S decides about the kind of the bundle projection: a single - (s = 0) or a multistage (s > 0). In the consecutive steps of a multistage bundle projection, subspaces belonging to the pencil trace system (F) are adopted as projection planes. The pencil trace system (F) is formed by a pencil of the system subspaces F₁, F₂ , ..., F k , k ≥ 2 and the core F which is a node subspace. The system subspaces F₁, F₂ , ...F k create a subset of a pencil of the subspaces in the field P n , i.e., the junction F₁ F₂ ...F k = P n , n ≥ 2. The relatively easiest solutions can be obtained using double - subspaces pencil trace systems ( F₁, F₂) defined in the projective space P n , n ≥ 2. This system consists of two different system subspaces F₁, F₂, where dim F₁ = dim F₂ = n - 1, and the node subspace F = F₁ ∩ F₂, where dim F = n - 2. Considering the trace system (F) defined in P n we can point to two complementary families in the set of all subspaces contained in P n : - a family of the trace - determinable subspaces, - a family of the trace - undeterminable subspaces. The aim of this article is to determine the conditions which guarantee that a subspace is a tracedeterminable one.

PL

W przestrzeni rzutowej n - wymiarowej P n (n ≥ 2) zostało zdefiniowane złożeniowe rzutowanie wiązkowe R. Aparat tego odwzorowania tworzą: - rzutnia Π, podprzestrzeń p - wymiarowa, 1 ≤ p ≤ n - 1, - środek rzutowania S, podprzestrzeń o wymiarze s, s ≥ 0. Wymiar s środka rzutowania S decyduje o tym, czy mamy do czynienia z rzutowaniem wiązkowym prostym (s = 0) czy też z rzutowaniem wiązkowym złożeniowym (s > 0). W poszczególnych etapach rzutowania wiązkowego złożeniowego na rzutnie obierane są podprzestrzenie wchodzące w skład tzw. pękowego układu śladowego (F). Pękowy układ śladowy (F) tworzy pęk podprzestrzeni układowych F₁, F₂ ,...F k , k ≥ 2 o rdzeniu F, będącym podprzestrzenią węzłową. Podprzestrzenie układowe F₁, F₂,...F k stanowią podzbiór pęku podprzestrzeni o polu P n , tzn. Złącz F₁ F₂ ...F k = P n , n ≥ 2. Stosunkowo najprostsze rozwiązania uzyskuje się przy wykorzystaniu dwupodprzestrzeniowych pękowych układów śladowych (F₁, F₂) określonych w przestrzeni rzutowej P n , n ≥ 2. Układ ten składa się z dwóch różnych podprzestrzeni układowych F₁, F₂, przy czym dim F₁ = dim F₂ = n - 1 oraz podprzestrzeni węzłowej F, F = F₁ ∩ F₂, gdzie dim F = n - 2. Z uwagi na wyróżniony w P n układ śladowy (F) w zbiorze wszystkich podprzestrzeni zawartych w P n wyróżniamy dwie uzupełniające się rodziny: rodzinę podprzestrzeni śladowo-wyznaczalnych, rodzinę podprzestrzeni śladowo-niewyznaczalnych. W artykule przedstawiono ponadto warunki, jakie musi spełniać dana podprzestrzeń, aby była ona śladowo-wyznaczalna.

5

Perspective case of the Pappus theorem in the n-dimensional projective space

Witczyński K.

Demonstratio Mathematica

|

2007

|

Vol. 40, nr 4

925-928

EN

A generalisation to the n-dimensional projective space Pn(F) of the perspective case of the Pappus theorem is given. It is shown, additionally, that in such a case the ground field F might be non-commutative.

6

Suites periodiques generees par des involutions et des antiinvolutios de l'espace projectif complexe a n dimensions

Knitter K., Marlewski A.

Zeszyty Naukowe. Geometria / Politechnika Poznańska

|

2002

|

Nr XXII

53-63

EN

In an n-dimensional complex projective space there are considered pairs of (anti)involutions generating cyclic collineations of arbitrary order. There are obtained canonical matrix representations of such involutions and tbere is proved the theorem on decomposition of any cyclic collineation into two antiinvolutions.

7

Geometry of t-projective structures

Miernowski A., Mozgawa W.

Demonstratio Mathematica

|

2002

|

Vol. 35, nr 2

391-403

EN

The main purpose of this paper is to define and study t-projective structure on even dimensional manifold M as a certain reduction of the second order frame bundle over M. This t-structure reveals some similarities to the projective structures of Kobayashi-Nagano [KN1] but it is a completely different one. The structure group is the isotropy group of the tangent bundle of the projective space. With the t-structure we associate in a natural way the so called normal Cartan connection and we investigate its properties. We show that t-structures are closely related the almost tangent structures on M. Finally, we consider the natural cross sections and we derive the coefficients of the normal connection of a t-projective structure.

8

On the computation of a reduced set of quadratic Plucker relations and their use in the solution of the determinantal assignment problem.

Kalogeropoulos G., Kytagias D.

Systems Science

|

2000

|

Vol. 26, nr 2

5-25

EN

An algorithmic method is presented for the computation of a reduced set of quadratic Plucker relations describing completely the Grassmann variety of the corresponding projective space. In particular, it is proven that a set of three terms homogeneous equations can be extracted from the whole set of quadratic Plucker relations. This set contains a specific number of equations, which exactly-constitute a reduced set of quadratic Plucker relations. This is achieved by using a simple criterion based on a correspondence between the coordinates of a decomposable vector and lexicographical orderings. In addition, the algorithm suggested is error-free from numerical computations. The above theory is used for the development of a unifying approach for pole assignment by state and output feedback, for asymptotic observer design and for zero assignment by squaring down for linear time-invariant regular type control systems.