Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

A note on Browkin’s and Cao’s cancellation algorithm

Tomski A., Zakarczemny M.

Technical Transactions

|

2018

|

Vol. 115, iss. 7

153--165

EN

In this paper, we follow our generalisation of the cancellation algorithm described in our previous paper [A. Tomski, M. Zakarczemny, On some cancellation algorithms, NNTDM. 23, 2017, p. 101–114]. For f being a natural-valued function defined on ℕs , s ≥1 we remove the divisors of all possible values of ƒ in the points in which the sum of coordinates is less than or equal to n. The least non-cancelled number is called the discriminator Dƒ(n). We find formulas, or at least an estimation for this discriminator, in the case of a broad class of sequences.

PL

Kontynuujemy badania nad generalizacją algorytmu sitowego Browkina i Cao, [A. Tomski, M. Zakarczemny, On some cancellation algorithms, NNTDM. 23, 2017, p. 101–114]. Niech f będzie funkcją o wartościach w zbiorze liczb naturalnych, określoną na ℕs , s ≥1. Usuwamy dzielniki wszystkich możliwych wartości funkcji ƒ, w punktach, w których suma współrzędnych nie przekracza n. Najmniejszą niewykreśloną liczbę naturalną nazywamy dyskryminatorem Dƒ(n). W artykule uogólniamy pojęcie dyskryminatora. Znajdujemy jawne wzory lub oszacowania na dyskryminator dla szerokiej klasy ciągów.

2

Lower and upper bounds for solutions of the congruence xm ≡ a(mod n)

Zakarczemny M.

Technical Transactions

|

2017

|

Vol. 11(114)

161--168

EN

Let n, m be natural numbers with n ≥ 2. We say that an integer a, (a, n) = 1, is the m-th power residue modulo n if there exists an integer x such that xm ≡ a(mod n). Let C(n) denote the multiplicative group consisting of the residues modulo n which are relatively prime to n. Let s(n, m, a) be the smallest solution of the congruence xm ≡ a(mod n) in the set C(n). Let t(n, m, a) be the largest solution of the congruence xm ≡ a(mod n) in the set C(n). We will give an upper bound for s(n, m, a) and a lower bound for t(n, m, a).

PL

Niech n, m będą liczbami naturalnymi, takimi że n ≥ 2. Powiemy, że liczba całkowita a, (a, n) = 1, jest m-tą resztą kwadratową modulo n, jeśli istnieje liczba całkowita x, taka że xm ≡ a(mod n). Niech C(n) będzie grupą multiplikatywną zawierającą reszty modulo n, względnie pierwsze z n. Oznaczmy przez s(n, m, a) najmniejsze rozwiązanie równania xm ≡ a(mod n) w zbiorze C(n). Oznaczmy przez t(n, m, a) największe rozwiązanie równania xm ≡ a(mod n) w zbiorze C(n). Podamy górne oszacowanie na s(n, m, a) oraz dolne na t(n, m, a).

3

On the lattice of tolerances for a finite chain

Górnicka A., Grygiel J., Tyrala I.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2016

|

Vol. 21

25--30

EN

We provide some description of the lattice of tolerances for a finite chain, pointing to the skeleton tolerance as a special element of this lattice. In particular, we prove that the lattice of all glued tolerances of an n-element chain is isomorphic to the lattice of all tolerances of an n- 1-element chain nad at the same time is a principal filter of the lattice of an n-element chain.

4

Sparingly glued tolerances

Górnicka A., Grygiel J., Tyrala I.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2015

|

Vol. 20

49--54

EN

We introduce the notion of sparingly glued tolerances for lattices and then count their numbers in case of finite chains. We also estimate the density of sparingly glued tolerances among all glued tolerances on finite chains.

5

Implications and equivalences in orthomodular lattices

Hyčko M.

Demonstratio Mathematica

|

2005

|

Vol. 38, nr 4

777--792

EN

The present article describes a method for checking the validity of implications or equivalences in the free orthomodular lattice on two generators and in the F(a, b, c1,..., cn), which is the free orthomodular lattice generated by the elements a, 6, ci,... Cn, where the elements ci, i = 1,..., n are central in it. The structure of the previous lattices is described in [3] and [1]. The method presented is based on comparing the elements that are assigned to each expression on both sides of an implication or an equivalence. It gives a necessary condition for the implication or equivalence of arbitrary positive statements (a combination of identities and logical connectives AND and OR) to hold. When the conclusion part is an identity or a conjunction of identities, these conditions become also sufficient.

6

Research of "perfect" objects defining the projection of 3-dimensional space to plane by programmes in TurboPROLOG

Koźniewski E.

Zeszyty Naukowe. Geometria i Grafika Inżynierska / Politechnika Śląska

|

2000

|

z. 3

79-91

EN

The classical projection of 3-dimensional space P3 to plane [pi] is usually defined as the structure , where R is a boundle of lines (projecting rays) with ideal or ordinary point as the centre of projection and [pi] is an ordinary plane as projection surface. It is well known, that the set R may be a congruence of lines in the form K (m,n), for m=1, where m denotes the number of lines of congruence passing by any point of P3 and n denotes the number of lines lying on plane ([1],[ 10]). The centre of classical projection is always singular.

PL

Klasyczny rzut trójwymiarowej przestrzeni rzutowej P3 na płaszczyznę określany jest jako struktura < R,[pi]>, gdzie R jest wiązką prostych (promieni rzutujących) z punktem właściwym lub niewłaściwym jako środkiem rzutowania i płaszczyzną właściwą [pi] jako rzutnią. Jest dobrze znane, że R może być kongruencją postaci K(m,n), dla m=1, gdzie m oznacza liczbę prostych kongruencji przechodzących przez dowolny P3 i n oznacza liczbą prostych leżących na dowolnej płaszczyźnie ([l],[10]). Środek klasycznego rzutu jest zawsze osobliwy. Użycie innych kongruencji, np. zbioru wszystkich prostych przecinających dwie proste skośne (kongruencja K(1,1) lub zbioru wszystkich bisekant krzywej skośnej 3th rzędu (kongruencja K(1,3) indukuje także punkty osobliwe ([l],[10]). W naturalny, geometryczny sposób kongruencje otrzymujemy jako przecięcia dwóch zdegenerowanych kompleksów i dlatego mamy punkty osobliwe. Interesującym pytaniem jest: "Czy istnieje taka kongruencja prostych, która nie indukuje punktów osobliwych w określonym przez nią rzucie". Przypuszczenie, że kongruencja określona przez dwa niezdegenerowane kompleksy nie dopuszcza punktów osobliwych, jest przedmiotem rozważań niniejszej pracy. Rozwiązanie wspomnianego wyżej problemu otrzymujemy badając skończone przestrzenie rzutowe z wykorzystaniem pakietu programów napisanych w języku TurboPROLOG ([8],[9]). W pracy formułujemy nowe własności kompleksów i kongruencji prostych w strukturach skończonych i otrzymujemy nowe wyniki kombinatoryczne dotyczące mocy powyższych zbiorów.

7

Unique product elements

Pedersen F., Strojnowski A.

Zeszyty Naukowe. Matematyka - Fizyka / Politechnika Śląska

|

1999

|

z. 84

195-213

EN

Any group G that can be given a right order will be a unique product group. What is not known is, if G is a unique product group, can G be given a right order. The purpose of this paper is to study the unique product groups in order to gain more information about the structure of the group and, also, to see what the additional conditions can be added so as to have a right order. Notation used: Let G be a group and let A and B be its subsets. AB = {ab I a belongs to A, b belongs to B}, A = {a I a belongs to A}. For singleton set {g} = B we write Ag instead A{g}. For the empty set phi we define A phi = phi. Let F(G) denote the semigroup of all finite nonempty subsets of G with multiplication defined above. IAI denotes the cardinality of the set A.

PL

Z każdą grupą G można związać półgrupę F(G) złożoną ze skończonych podzbiorów G, z działaniami danymi wzorami: A razy B = {a razy b ; a należy do A, b należy do B}. W półgrupie F(G) badamy najmniejszą przechodnią relację wyznaczoną przez warunek: A B, gdy A razy C = B razy C dla pewnego C należącego do F(G). Pokazujemy, że relacja ta jest kongruencją w F(G). Niestety, kongruencja ta nie zawsze jest skracalna. W podzbiorach A należącego do F(G) wyróżniamy element a upel spełniający warunek: A razy B nie jest równe (A\{a}) razy B dla każdego B należącego do F(G). Badamy własności algebraiczne grup upel, w których każdy podzbiór zawiera upel element. Klasa takich grup leży pomiędzy grupami uporządkowanymi a u.p. grupami.

8

On cancellative congruences for semigroups

Macedońska O.

Zeszyty Naukowe. Matematyka - Fizyka / Politechnika Śląska

|

1999

|

z. 84

171-176

EN

Given a semigroup identity u = v. We describe a smallest normal subgroup N in a free group F, such that F / N contains a relatively free cancellative semigroup which satisfies the identity u = v.

PL

Niech u = v oznacza tożsamość półgrupową. Rozpatrujemy najmniejszą podgrupę normalną N w grupie wolnej F, taką że F / N zawiera relatywnie wolną półgrupę skracalną, spełniającą tożsamość u = v.

9

Algebraiczny warunek automatycznego generowania planów uniwersalnych.

Sierocki I.

Prace Naukowe Instytutu Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej. Konferencje

|

1998

|

Vol. 98, nr 44

195-204

PL

Praca dotyczy technik reprezentacji i tworzenia planów uniwersalnych dla agentów funkcjonujących w otoczeniach stacjonarnych i deterministycznych. Pokazano, że makro-tablice generują plany uniwersalne. Zaproponowano teorio-mnogościowy test pozwalający rozstrzygać czy zachodzi algebraiczny warunek istnienia makro-tablicy.