Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Application of the generalized nonlinear constitutive law in 2D shear flexible beam structures

Mrówczyński Damian, Gajewski Tomasz, Garbowski Tomasz

Archives of Civil Engineering

|

2021

|

Vol. 67, nr 3

157--176

EN

The paper presents a modified finite element method for nonlinear analysis of 2D beam structures. To take into account the influence of the shear flexibility, a Timoshenko beam element was adopted. The algorithm proposed enables using complex material laws without the need of implementing advanced constitutive models in finite element routines. The method is easy to implement in commonly available CAE software for linear analysis of beam structures. It allows to extend the functionality of these programs with material nonlinearities. By using the structure deformations, computed from the nodal displacements, and the presented here generalized nonlinear constitutive law, it is possible to iteratively reduce the bending, tensile and shear stiffnesses of the structures. By applying a beam model with a multi layered cross-section and generalized stresses and strains to obtain a representative constitutive law, it is easy to model not only the complex multi-material cross-sections, but also the advanced nonlinear constitutive laws (e.g. material softening in tension). The proposed method was implemented in the MATLAB environment, its performance was shown on the several numerical examples. The cross-sections such us a steel I-beam and a steel I-beam with a concrete encasement for different slenderness ratios were considered here. To verify the accuracy of the computations, all results are compared with the ones received from a commercial CAE software. The comparison reveals a good correlation between the reference model and the method proposed.

PL

W artykule przedstawiono zmodyfikowaną metodę elementów skończonych do nieliniowej analizy płaskich konstrukcji belkowych. Aby wziąć pod uwagę wpływ podatności na ścinanie, zastosowano belkowy element Timoshenki. Zaproponowany algorytm umożliwia stosowanie złożonych praw materiałowych bez konieczności implementacji zaawansowanych modeli konstytutywnych w procedurach elementów skończonych. Metoda jest łatwa do wdrożenia w powszechnie dostępnym oprogramowaniu CAE do liniowej analizy konstrukcji belkowych. Pozwala to na rozszerzenie funkcjonalności tych programów o nieliniowości materiałowe. Wykorzystując odkształcenia konstrukcji, obliczone z przemieszczeń węzłów oraz przedstawione tutaj uogólnione nieliniowe prawo konstytutywne, możliwe jest iteracyjne zmniejszanie sztywności konstrukcji na zginanie, ściskanie/rozciąganie i ścinanie. Stosując model belkowy z przekrojem wielowarstwowym oraz uogólnionymi odkształceniami i naprężeniami w celu uzyskania reprezentatywnego prawa konstytutywnego, łatwo jest modelować nie tylko złożone przekroje wielomateriałowe, ale także zaawansowane nieliniowe prawa konstytutywne (np. osłabienie materiału przy rozciąganiu). Zaproponowana metoda została zaimplementowana w środowisku MATLAB, a jej działanie pokazano na kilku przykładach numerycznych. Przeanalizowano przekroje dwuteownika stalowego oraz dwuteownika stalowego obetonowanego dla różnych wartości smukłości. Aby zweryfikować dokładność obliczeń, wyniki porównano z wartościami otrzymanymi z komercyjnego oprogramowania CAE. Porównanie pokazało dobrą korelację między modelem referencyjnym a proponowaną metodą.

2

Stability of Timoshenko beams with frequency andinitial stress dependent nonlocal parameters

Glabisz W., Jarczewska K., Holubowski R.

Archives of Civil and Mechanical Engineering

|

2019

|

Vol. 19, no. 4

1116--1126

EN

This paper presents an analysis of the stability of Timoshenko beams which uses Eringen'snonlocal elasticity theory. A numerical algorithm based on the exact solution for the freevibration of segmental Timoshenko beams was formulated. The algorithm enables one tocalculate, with any degree of accuracy, the critical load levels in the beams on the macro andnanoscale. The beams were subjected to conservative and nonconservative static loads. Thelevels of critical loads in the beams were analysed assuming a functional dependence of thenonlocal parameters on the vibrational frequency and the state of stress.

3

Linear vibrations of periodic Timoshenko and Rayleigh beams

Świątek M., Jędrysiak J., Domagalski Ł.

Vibrations in Physical Systems

|

2018

|

Vol. 29

art. no. 2018035

EN

Elastic periodic structures with variable material and geometrical properties exhibit dynamic characteristics that are investigated in this contribution. The paper is devoted to analysis of geometrically linear vibrations of Rayleigh and Timoshenko beams with cross-sections and material properties periodically varying along the longitudinal axis. The period of inhomogeneity is assumed to be sufficiently small when compared to the beam length. Equations of motion in both beam theories under consideration have highly-oscillating coefficients. In order to derive the averaged model equations with constant coefficients for vibrations, the tolerance averaging approach is applied. The method of averaging differential operators with rapidly varying coefficients is applied to obtain averaged governing equations with constant coefficients. An assumed tolerance and indiscernibility relations and the definition of slowly varying function found the applied technique. Numerical results from the tolerance Rayleigh and Timoshenko beam model equations are compared.

4

Large amplitude free vibration analysis of tapered Timoshenko beams using coupled displacement field method

Rajesh K., Saheb K. M.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2018

|

Vol. 23, no. 3

673--688

EN

Tapered beams are more efficient compared to uniform beams as they provide a better distribution of mass and strength and also meet special functional requirements in many engineering applications. In this paper, the linear and non-linear fundamental frequency parameter values of the tapered Timoshenko beams are evaluated by using the coupled displacement field (CDF) method and closed form expressions are derived in terms of frequency ratio as a function of slenderness ratio, taper ratio and maximum amplitude ratio for hinged-hinged and clamped-clamped beam boundary conditions. The effectiveness of the CDF method is brought out through the solution of the large amplitude free vibrations, in terms of fundamental frequency of tapered Timoshenko beams with axially immovable ends. The results obtained by the present CDF method are validated with the existing literature wherever possible.

5

Large amplitude free vibration analysis of tapered timoshenko hinged-hinged beam using coupled displacement field method

Korabathina R., Koppanati M. S.

Vibrations in Physical Systems

|

2017

|

Vol. 28

art. no. 2017007

EN

Tapered beams are more efficient compared to uniform beams as they provide a better distribution of mass and strength and also meet special functional requirements in many engineering applications like architecture, aeronautical, civil, mechanical, automobile, nuclear and robotics. The authors proposed a new method called Coupled Displacement Field (CDF) method in which the displacement field such as total rotation is assumed such that the assumed displacement must satisfy the kinematic and force boundary condition of the beam. The lateral transverse displacement is derived from the coupling equation which is derived from the static equilibrium conditions of the beam. By the application of principle of minimum total potential energy for different beam boundary conditions, the fundamental frequency parameter value is calculated in terms of taper ratio and slenderness ratio for various maximum amplitude ratios of the tapered Timoshenko shear flexible hinged-hinged beam boundary condition.

6

Zastosowanie elementów przejściowych w projektowaniu części maszyn

Hać M.

Logistyka

|

2015

|

nr 3

1750--1754, CD 1

PL

W pracy przedstawiono zastosowanie skończonych elementów przejściowych do modelowania elementów maszyn. W przypadku części o obszarach zróżnicowanych (istotna zmiana geometrii uniemożliwiająca zastosowanie elementów skończonych tego samego typu) zastosowano dwa typy elementów skończonych: belkowe Timoshenki oraz płaskie trójwęzłowe CST. Przedstawiono sposób powiązania siatki MES z zastosowaniem elementu przejściowego. Jako przykład rozpatrzono belkę wspornikową oraz dźwignię. Wyniki obliczeń wykazały, że bardzo istotny jest wybór odpowiednich elementów skończonych dostosowanych do odpowiednich podobszarów, jak również prawidłowe zaprojektowanie elementu przejściowego.

EN

In the paper the application of transition finite elements for modelling machine elements is presented. In the case of diverse areas (significant change in the geometry which prevents the use of the same type finite elements) there are used two types of finite elements: Timoshenko beam and plane CST elements. The procedure of incorporation of the transition element to connect two meshed areas is presented. The transition elements are used to couple structural and continuum elements without using constraint equations. As an examples a cantilever beam and a lever is considered. The calculation results showed that it is very important to choose the appropriate finite element adapted to the corresponding sub-areas, as well as the proper design of the transition element.

7

Free Vibrations of Timoshenko Beam with End Mass in the Field of Centrifugal Forces

Manevich A. I., Vlasova V. Yu.

Mechanics and Mechanical Engineering

|

2014

|

Vol. 18, nr 1

37--51

EN

An analysis of natural frequencies and modes for a cantilever radial rotating beam with end mass is carried out within framework of Timoshenko beam model, on the base of convenient dimensionless equations of motion depended only on two dimensionless parameters. It is shown that the shear deformations at high angular speeds lead to significant changes in the natural modes, and as a consequence – to relevant qualitative effects for the natural frequencies.

8

Vehicle-track-interaction– modeling and numerical co-simulation

Bogacz R., Frischmuth K.

Logistyka

|

2014

|

nr 6

2116--2122

EN

We study vehicle models in the form of finite Bernoulli-Euler beams, traveling along a track, which is treated as an infinite beam on a suitable foundation. In the limit, the class of proposed models contains the case of a moving concentrated harmonic force, considered before in several papers. In order to obtain solutions several analytical and numerical techniques are applied. In the range of sub-critical speeds we obtain transient solutions which tend to their known steady counterparts of the concentrated force model.

PL

W niniejszym artykule rozpatruje się modele pojazdu w postaci skończonych belek Bernoulliego-Eulera czy Timoshenki, poruszających się po torze potraktowanym jako nieskończoną belkę na odpowiednim podłożu. Jako graniczny przypadek, klasa modeli zawiera analizowane we wcześniejszych publikacjach wędrujące siły skupione o przebiegu harmonicznym w czasie. W celu otrzymania rozwiązań stosuje się techniki analityczne i numeryczne. W zakresie podkrytycznych prędkości uzyskano rozwiązania przejściowe dążące do znanych rozwiązań ustalonych.

9

Vibrations and stability of Bernoulli-Euler and Timoshenko beams on two-parameter elastic foundation

Obara P.

Archives of Civil Engineering

|

2014

|

Vol. 60, nr 4

421--440

EN

The vibration and stability analysis of uniform beams supported on two-parameter elastic foundation are performed. The second foundation parameter is a function of the total rotation of the beam. The effects of axial force, foundation stiffness parameters, transverse shear deformation and rotatory inertia are incorporated into the accurate vibration analysis. The work shows very important question of relationships between the parameters describing the beam vibration, the compressive force and the foundation parameters. For the free supported beam, the exact formulas for the natural vibration frequencies, the critical forces and the formula defining the relationship between the vibration frequency and the compressive forces are derived. For other conditions of the beam support conditional equations were received. These equations determine the dependence of the frequency of vibration of the compressive force for the assumed parameters of elastic foundation and the slenderness of the beam.

10

Optymalizacja podłoża wielowarstwowego belki pod działaniem ruchomego obciążenia

Błażejewski A.

TTS Technika Transportu Szynowego

|

2013

|

R. 20, nr 10

1987--1994, CD

PL

W pracy przedstawiono zagadnienie optymalizacji lepko-sprężystego wielowarstwowego podłoża belki Tomoszenki, którą można potraktować jako model szyny kolejowej. Zamodelowano obciążenie rozłożone, w kształcie funkcji Gausa, przemieszczające się wzdłuż belki (szyny) z określoną prędkością liniową. Odkształcenie wywołane tym obciążeniem zależy od parametrów podłoża, min. takich jak grubość warstwy, rodzaj materiału warstwy oraz parametrów obciążenia min. takich jak prędkość przemieszczania i cechy jego rozkładu. Przeprowadzono proces optymalizacji, w którym minimalizowano sumaryczne odkształcenie belki ze względu na wybrane parametry podłoża oraz obciążenia. Model obciążonej belki na podłożu zaimplementowano do aplikacji Comsol Multiphysics, wykorzystującej do rozwiązania problemu metodę elementów skończonych. Minimum funkcji celu poszukiwano przy wykorzystaniu algorytmów genetycznych.

EN

Paper presents the optimization of linear elastic multilayer foundation of the Timoshenko beam, which can be considered as a rail model. The moving load traveling along a beam with particular velocity, which distribution is characterized by Gauss function, is implemented in the model. The displacement caused by the load is dependent on multilayer foundation parameters such as layer thickness, a type of material and load parameters such as moving velocity as well its distribution on a beam. The optimization, i.e. minimization of the total displacement sum, as the result of objective function determined regarding chosen parameters of a foundation and load, as a design variables was carried out. The Comsol Multiphysics is applied in order to solve the beam and moving load problem by using the finite element method. Using genetic algorithm searches the minimum of objective function.

11

Controlling a non-homogeneous Timoshenko beam with the aid of the torque

Sklyar G. M., Szkibiel G.

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

|

2013

|

Vol. 23, no. 3

587--598

EN

Considered is the control and stabilizability of a slowly rotating non-homogeneous Timoshenko beam with the aid of a torque. It turns out that the beam is (approximately) controllable with the aid of the torque if and only if it is (approximately) controllable. However, the controllability problem appears to be a side-effect while studying the stabilizability. To build a stabilizing control one needs to go through the methods of correcting the operators with functionals so that they have finally the appropriate form and the results on C0-continuous semigroups may be applied.

12

Acoustical properties of layered beams with attached dynamic vibration absorbers

Divejev B., Kernytskyy I., Grygoryshyn O., Kogut V.

Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska

|

2012

|

Vol. 21, No. 4

227--238

EN

This study aims to predict the sound transmission properties of composite layered beams structures with the system of dynamic vibration absorbers (DVA’s). The effective stiffness constants of equivalent to lamina Timoshenko beam and their damping properties have been determined by using a procedure based on refined numerical schemes and eigen-frequencies comparison. Numerical evaluations obtained for the vibration of the equivalent Timoshenko beam have been used to determine the sound transmission properties of laminated composite beams with the system of DVA’s.

PL

W artykule zostały opisane wyniki badań dźwiękochłonnych właściwości kompozycyjnych wielowarstwowych struktur z systemem dynamicznych wibracyjnych absorberów (DWA). Stosując procedury usciślonych numerycznych schematów i porównania własnych częstotliwości, wyznaczone zostały efektywne stałe sztywności i tłumienia drgań belki Timoshenki odpowiednej do wielowarstwowej płyty typu sandwicz. Otrzymane dla ekwiwalentnej belki Timoshenki numeryczne oceny wibracji wykorzystane zostały do determinacji dźwiękochłonnych właściwości wielowarstwowej kompozycyjnej belki z systemem DWA.

13

Free vibration of the Timoshenko beam interacting with the Winkler foundation

Noga S., Bogacz R.

Symulacja w Badaniach i Rozwoju

|

2011

|

Vol. 2, nr 4

209--223

EN

In the study a free transverse vibration analysis of the simply supported Timoshenko beam on an arbitrary variable Winkler foundation is presented. The analysis is based on the use of the analytical method compared with numerical simulation. The elastic foundation is composed of two arbitrary variable, massless, regions of the Winkler type. At first the general solution of free vibration is derived by the separation of variable method. The natural frequencies of the system under consideration are determined. Then the models of the system formulated by using finite element technique are prepared and eigenvalue problem is solved. Achieved results of calculation are discussed and compared for these models. All needed finite element models are formulated by using ANSYS FE code. It is important to note that the data presented in the article is yielded the practical advice to design engineers.

14

Influence of nonlinear foundation on Timoshenko beam vibration

Bar A., Bar O.

Mechanics / AGH University of Science and Technology

|

2008

|

Vol. 27, no. 3

96-103

EN

The goal of this paper is presentation of the physical properties of the thick beam on nonlinear foundation with infrequent analyzed free boundary condition. Galerkin's method with two-elements basis is applied. This paper justifies this choice too. Nonlinear effects such as internal resonance and discontinuous of amplitude frequency characteristic is observed. The proper choice of parameters ensures the ratio first to second natural frequencies equal to 3. This is one of the conditions satisfying existing of the internal resonance. In the amplitude-frequency characteristic near first resonance there appear breaks and their numbers grows with the increase of nonlinearity of the foundation.

PL

Celem pracy jest opis właściwości fizycznych krępej belki wspartej na nieliniowym podłożu, przy rzadko analizowanych warunkach brzegowych opisujących swobodne końce. Zastosowano metodę Galerkina opartą na dwuelementowej bazie. Praca zawiera uzasadnienie takiego wyboru. Zaobserwowano efekty nieliniowe także jak rezonans wewnętrzny oraz nieciągłości charakterystyki amplitudowo--częstotliwościowej. Odpowiedni dobór parametrów pozwala uzyskać stosunek pierwszej i drugiej częstości własnej rzędu 3, co jest jednym z warunków istnienia rezonansu wewnętrznego. Pokazano też, że na charakterystyce w pobliżu pierwszego rezonansu pojawiają się "przerwy", których liczba zwiększa się wraz ze wzrostem udziału nieliniowości w oddziaływaniu podłoża.

15

Warunek Inf-Sup dla elementów belki Timoshenki

Sitek M.

Zeszyty Naukowe. Budownictwo / Politechnika Śląska

|

2007

|

z. 112

337-344

PL

W pracy rozpatrzono trzy warunki, które powinien spełnić element skończony: eliptyczność, zgodność oraz warunek inf-sup. Dla wymienionych kryteriów pokazano przejście od postaci analitycznej do numerycznej, wykorzystywanej w praktyce inżynierskiej. Uwagę skupiono na warunku inf-sup, którego zrealizowanie zapewnia optymalność i niezawodność sformułowania. Przeanalizowano również numeryczną wersję tego kryterium na przykładzie elementów belkowych o średniej grubości, w których często występuje tzw. locking. Analizie poddano elementy zbudowane za pomocą sformułowania przemieszczeniowego oraz przemieszczeniowo-naprężeniowego opartego na funkcjonale Reissnera-Hellingera.

EN

The main objective of finite element methodology is to build reliable finite elements. A finite element discretization will give proper results if three conditions are met: ellipticity, consistency and the inf-sup condition. An evolution from analytical to numerical forms of these criteria is shown. The paper focuses on the inf-sup condition, because it assures optimality and reliability of the formulation. A numerical version of the condition was considered. The chosen example is a thick beam element based on displacement and stress/displacement formulation.

16

O kryteriach oceny elementów skończonych. Od belki Timoshenki do płyty o średniej grubości

Gilewski W.

Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Budownictwo

|

2005

|

z. 144

3--117

PL

Celem pracy jest zaproponowanie i weryfikacja względnie prostych kryteriów oceny poprawności sformułowania elementów skończonych - kryteriów niesprzecznych z kryteriami matematycznymi. W pracy zaproponowano cztery kryteria oceny poprawności modelu MES: - analizę spektralną macierzy sztywności elementu, - analizę spektralną macierzy mas elementu, - analizę spektralną macierzy sztywności geometrycznej elementu, - kryterium energetyczne. Kryteria te opisano teoretycznie i zastosowano do analizy wybranych elementów skończonych. Przykłady zostały dobrane tak, aby pokazać możliwość zastosowania wszystkich czterech kryteriów w różnych zadaniach -analizie elementów o różnej liczbie węzłów, różnej geometrii i różnych funkcjach kształtu. Uzyskane wyniki należy uznać za bardzo obiecujące - pozwalają one przeanalizować poprawność dowolnego elementu skończonego w zadaniach statyki, drgań i stateczności początkowej. Analiza spektralna macierzy sztywności elementu pozwala określić, czy element spełnia matematyczny warunek eliptyczności. Energii odkształcenia, której jądrem jest macierz sztywności, nadano interpretację fizyczną w postaci hiper-elipsy energii. Wprowadzono dwa dodatkowe parametry - objętość hiper-elipsy i wskaźnik uwarunkowania macierzy - które uzupełniają warunek eliptyczności o informacje jakościowe o numerycznych własnościach elementu. Analiza spektralna macierzy mas pozwala określić czy element w poprawny sposób odwzorowuje energię kinetyczną dźwigara. Kryterium to jest odpowiednikiem warunku eliptyczności przeniesionym na zadania drgań. Podobnie jak poprzednio objętość hiper-elipsy energii kinetycznej i wskaźnik uwarunkowania pozwalają uzyskać dodatkowe informacje o własnościach numerycznych elementu. Analiza spektralna macierzy sztywności geometrycznej pozwala określić poprawność odwzorowania dodatkowej energii odkształcenia związanej z działaniem dużych sił osiowych. Energetyczne kryterium oceny poprawności sformułowania MES odpowiada matematycznemu warunkowi zgodności elementu, rozszerzonemu na zagadnienia drgań i stateczności początkowej. Kryterium pozwala określić, czy element skończony przy malejących wymiarach odwzorowuje w poprawny sposób gęstość energii sprężystej, energii kinetycznej, dodatkowej energii sprężystej (związanej z działaniem dużych sił osiowych) i pracę sił zewnętrznych. Kryterium energetyczne pozwala określić, czy element jest zbieżny do wyniku dokładnego, rozumianego w sensie energetycznym, oraz dodatkowo ocenić rząd zbieżności elementu. Proponowane kryteria oceny dotyczą w zasadzie modelu przemieszczeniowego MES, w pracy pokazano jednak jak można je uogólnić na modele mieszane. Pracę uzupełnia obszerny przegląd literatury dotyczącej budowy i oceny elementów skończonych belek i płyt o średniej grubości.

EN

The objective of this paper is to propose and to verify relatively simple criteria for evaluation of correctness of the finite element formulations. The criteria should be in agreement with mathematical theorems. Four criteria are proposed for evaluation the finite elements: - spectral analysis of the element stiffness matrix, - spectral analysis of the element mass matrix, - spectral analysis of the element geometric stiffness matrix, - energy criterion. The criteria are described theoretically and implemented for the analysis of selected finite elements. The examples are completed to show the possibility of implementation of the proposed criteria for various situations - the elements with different number of nodes and degrees of freedom, the elements of various geometry, the element with various shape functions, etc. The results are very promising - it is possible to evaluate the correctness of the formulation for any kind of finite element for static, vibration and initial stability problems. Spectral analysis of the element stiffness matrix gives the information if the element satisfy the mathematical condition of ellipticity. The strain energy of the element is described as a hiper-ellipsoid in multi dimensional space od degrees of freedom. Additional parameters - volume of hiper-ellipsoid and matrix condition ratio - gives the additional information on numerical sensitivity of the element. Spectral analysis of the element mass matrix can help to evaluate if the element describes the kinetic energy correctly. This criterion is equivalent to the ellipticity condition for vibration analysis. Volume of hiper-ellipsoid and mass matrix condition ratio are also discussed. Spectral analysis of the element geometric stiffness matrix is to define if the finite element describes correctely the additional strain energy combined with the in-plane forces. Energy criterion of the correctness of the FEM formulation is equivalent to the mathematical condition of consistency, extended from the static analysis to vibrations and initial stability. This criterion can help to evaluate if the densities of strain energy, kinetic energy, geometric strain energy and external load work of the finite element are described properly with the use of certain shape functions, methods of integration, etc. The convergence of the formulation to the correct value of energy can be evaluated, as well as the rate of convergence can be estimated. The proposed set of criterion is extended for the mixed formulation of the FEM. Some examples are given. The paper is completed with the wide analysis of the literature dedicated for the finite element formulation and evaluation in the field of Timoshenko beams and Hencky-Boole plates.

17

Drgania belki Timoshenki na nieliniowym podłożu z uwzględnieniem harmonicznego wymuszenia i rozpraszania energii

Nizioł J., Bar O.

Czasopismo Techniczne. Mechanika

|

2004

|

R. 101, z. 5-M

243--255

PL

W pracy przedstawiono rozwiązania układu nieliniowych równań różniczkowych będących matematycznym modelem krępej belki wspartej na nieliniowym podłożu. Przyjęto założenia, że reakcja jest nieliniowa i zależy od poprzecznego ugięcia oraz że tłumaczenie jest zależne od prędkości odkształcenia poprzecznego.

EN

This work presents the solution of the system of nonlinear differential equations, which constitute the mathematical model of a thick beam resting on the nonlinear foundation. Two main assumptions have been taking into account. The first - the damping depends on the velocity of the lateral deflection. The second - the reaction force is the nonlinear function of the lateral displacement.

18

Częstości drgań belki Timoshenki z uwzględnieniem nieliniowego podłoża

Bar O.

Czasopismo Techniczne. Mechanika

|

2004

|

R. 101, z. 13-M

3--13

PL

Celem pracy jest porównanie numerycznej metody wyznaczania częstości drgań belki Timoshenki z metodą analityczną przy uwzględnieniu dwuparametrowego, nieliniowego podłoża. Przebadano także wpływ parametrów układu oraz warunków początkowych na postać drgań.

EN

The aim of this work is to compare numerical method calculation of frequency of the Timoshenko beam with the analytical method taking into consideration two-parametrical, nonlinear basis. The influence of the characteristics of the system on the shape of the vibration was also researched.

19

Dwa modele kompozytowych prętów cienkościennych o profilu zamkniętym

Grygierek K.

Zeszyty Naukowe. Budownictwo / Politechnika Śląska

|

2001

|

z. 93

135-144

PL

W artykule tym przedstawiono opis statyki kompozytowych prętów cienkościennych. Zbudowano dwa modele bazujące na teorii powłok Timoshenki i Kirchhoffa-Love'a. Sformułowano dwa rodzaje elementów skończonych. Poprawność przedstawionych teorii sprawdzono na przykładzie.

EN

In this paper the static problems description of the thin-walled composite beams was presented. Two models based on the Timoshenko's and Kirchhoffa-Love's shell theory were built. Two kinds of beam finite elements were formulated. The correctness of the theories was checked on the example.

20

Model Timoshenki belki z przegubem punktowym idealnym

Majkut L.

Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Mechanika

|

1999

|

z. 52 [174]

441-450

EN

The note presents method of explicit differential equation of transverse vibrations of a Timoshenko's beam with a hinge. The differential equation base on sequence theory distribution.