Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

The range of the fourth order moment when the values of the first two moments are known

Smołalski G.

Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej

|

2017

|

Nr 55

69--72

EN

The easy and possibly effortless detection of departures of probability distributions from the normality would be very useful in measurements practice. For this, except for lower order moments, the fourth order moment may also be fruitful. Here, the limits of this moment were found under the assumption that the distribution has finite support and the values of the first two moments are already known. On this basis, the range of the fourth moment was evaluated for all possible values of the mean and mean-square values. Then, an uncertainty reduction coefficient was defined and calculated, that describes how many times the range of the fourth moment is reduced when the values of the first two moments are provided. It was found that for symmetric distributions this uncertainty is reduced at least fourfold for bipolar variables, and 64-fold for the unipolar variables.

PL

W metrologii często występuje potrzeba szybkiej, i możliwie nie wymagającej dodatkowych analiz, oceny czy rozkład prawdopodobieństwa wyniku pomiaru jest choćby w przybliżeniu podobny do normalnego. W przypadku znacznych odchyleń funkcji gęstości od krzywej normalnej oszacowanie przedziału niepewności wyniku wymaga pełnego zbadania funkcji gęstości, np. metodą Monte Carlo. Najprostszą metodą wykrywania takich odchyleń od normalności jest detekcja asymetrii funkcji gęstości, do czego zwykle wykorzystuje się unormowany trzeci moment centralny. Gdy jednak spodziewany kształt funkcji gęstości jest symetryczny, trzeba wykorzystywać momenty czwartego rzędu. W pracy omówiono możliwość wnioskowania o wartości momentu zwykłego czwartego rzędu 4 m na podstawie wartości średniej 1 m i średniokwadratowej 2 m w przypadku rozkładów prawdopodobieństwa o ograniczonym nośniku. Określono wartości m4 min i m4 max dla czterech przypadków wiedzy apriorycznej: gdy znana jest wyłącznie wartość jednego z momentów: 1 m albo 2 m , gdy znane są obie te wartości jednocześnie, oraz przypadek gdy oprócz tego wiadomo, że rozkład ma symetryczną funkcję gęstości. Dla tego ostatniego przypadku zaprezentowano zależność niepewności 4 Dm od wartości znanych momentów 1 m i 2 m . Podano przykład wykorzystania wartości granicznych m4 min i m4 max momentu czwartego rzędu. Zbadano także zależność stopnia redukcji niepewności 4 Dm uzyskiwanej dzięki znajomości momentów 1 m albo/i 2 m w najmniej korzystnych warunkach. Stwierdzono, że redukcja niepewności zależy wtedy od ilorazu wartości granicznych nośnika funkcji gęstości. W przypadku, gdy funkcja gęstości jest symetryczna i znane są oba pierwsze momenty rozkładu, wówczas 4 Dm jest co najmniej czterokrotnie mniejsze niż wtedy, gdy znamy tylko granice nośnika funkcji gęstości, a dla zmiennych losowych przyjmujących wyłącznie wartości jednego znaku, jest nawet 64-krotnie mniejsze.

2

Parameters of the Signal: Their Non-Locality vs. Averaging Character

Smołalski G.

Measurement Automation Monitoring

|

2016

|

Vol. 62, No. 11

354--360

EN

A parameter of the signal segment is regarded as a measurand here. In a set of parameters the support of which consists of more than one element, a subset of averaging parameters is defined as those being reflexive, symmetric, bisymmetric, increasing monotonic, cancellable and continuous. These attributes, previously defined for discrete operations (B. Ellis, J. Pfanzagl), are in Section 3 reformulated for functional operations projecting signal segments into real numbers. Their meanings are explained and examples are given. Then, in Section 4, it is analysed to what degree these theoretical attributes are achieved in three kinds of circuits: in a low pass RC filter, in an integrator, and in a sample-and–hold circuit (S/H). The coefficient (12) was proposed for the evaluation of the circuit’s ability to provide a symmetric parameter. This attribute, although possessed by the integrator almost perfectly, is not achievable in the filter and S/H circuit. Thus the quasi-instant parameters provided by the S/H cannot be considered as averaged. The period of an effective influence of the input signal on the output voltage, and the delay introduced by the S/H circuit, are defined.

3

Estymacja wartości parametrów sygnału na podstawie dostępnej wiedzy

Smołalski G.

Pomiary Automatyka Kontrola

|

2014

|

R. 60, nr 12

1140--1143

PL

Jako menzurand przyjęto jeden z możliwych parametrów segmentu sygnału. Przedstawiono metodę jednolitego uwzględniania wszelkich dostępnych informacji o sygnale. Wykorzystano reprezentację sygnału w skończenie-wymiarowej przestrzeni liczbowej. Rozważono przypadek ogólny, gdy parametr mierzony nie jest równy parametrowi estymowanemu. Przeanalizowano użyteczność danej informacji o sygnale w estymacji określonego jego parametru. Przedstawiono przykład ilustrujący stosowanie zaproponowanej metody.

EN

In this paper a measurand is assumed to be some particular parameter of the signal segment - the estimated parameter E (Section 2). A model of measurement is formulated in which all the information items available about the investigated signal (both those available a priori and those provided by measurement) are uniformly taken into account during the evaluation of the uncertainty of E. All information items are assumed to be certain. It is shown (Section 3) that the investigated signal segment can be interpreted as a point in a finite-dimensional numerical space. With each available information item corresponds in that space a specific constraint (1) of possible signals. Finding out the global extremes of the estimated parameter over the resulting set of possible signals, gives the prior uncertainty interval (3) according to E (Section 4). Measurement of some additional parameter M continues restricting the prior set of possible signals. The uncertainty (4), remaining after the measurement of M, results from a structural discrepancy between parameters E and M. One of measurability necessary conditions is presented in Section 6. It enables an easy rejection of such measured parameters M that cannot be useful for the estimation of E. Finally, an illustrative example for the method has been provided in Section 7.

4

Analysis of the uncertainty of the mean value of strictly periodic and periodic with noise signals with a known bandwidth

Smołalski G.

Metrology and Measurement Systems

|

2001

|

Vol. 8, nr 2

197-211

EN

The a priori knowledge about the measured signal may and should be utilised at all stages of signal parameter evaluation, e.g. for measurement process simplification. This knowledge determines in fact the actual value of the estimated parameter initial uncertainty. The paper describes an example of an evaluation of the initial uncertainty of a signal's mean value when the signal bandwidth is know a priori. First of all, the case of a strictly periodic signal was studied step-by-step and the boundary curves for the signal mean value were drawn. It was found out that an a priori constraint of the bandwidth to only a few harmonics may significantly reduce the initial mean value uncertainty. Next, the influence of the additive noise on the mean value uncertainty was investigated. It was pointed out that noise not only adds a random component to the measurement result, but also disturbs the proper operation of the trigger circuit utilised for making averaging time possibly the closest to the integer multiple of the signal period. Both these phenomena were studied in detail and it was found out that when the signal bandwidth is expanded the effect of the potential increase of its steepness unsually dominates over a rise of the initial mean value uncertainty of therefore the resultant uncertainty decreases.

PL

Wiedza aprioryczna o sygnale badanym określa rzeczywistą wartość niepewności wstępnej parametru sygnału, który podlega estymacji. Wiedza ta może i powinna być wykorzystywana we wszystkich etapach procesu pomiaru, m.in. także do upraszczania tego procesu. W pracy naszkicowano główne zagadnienia związane z określaniem niepewności wstępnej parametru estymowanego, a następnie przeanalizowano szczegółowo niepewność wartości średniej sygnału, gdy przed pomiarem znane jest jego widmo. W pierwszej kolejności rozważono przypadek pomiaru wartości średniej sygnału ściśle okresowego. W wyniku wykonanych badań stwierdzono, jaki skład harmoniczny musi mieć sygnał okresowy, aby jego wartość średnia była możliwie najbliższa granicznym wartościom chwilowym przyjmowanym przez sygnał. Na tej podstawie zbadano, w jakim stopniu wiadomość aprioryczna, że pasmo sygnału jest ograniczone, zawęża niepewność co do wartości średniej w stosunku do sytuacji, gdy znane są tylko graniczne wartości chwilowe sygnału. Stwierdzono, że ze wzrostem liczby harmonicznych niepewności pierwotna średniej rośnie asymptotycznie do wartości równej zakresowi zmieności sygnału. Następnie zbadano, jaki jest wplyw zaszumienia addytywnego na niepewność średniej. Stwierdzono, że szum czyni wynik końcowy nie w pełni powtarzalny za sprawą dwóch mechanizmów: zaburzania wykrywania okresu metodą progową i dodawania się do wyniku składnika losowego. W przypadku sygnałów o energii wystarczająco skupionej w najwyźszych, występujących w sygnale, harmonicznych zwięksanie pasma daje szanse na ograniczenie niepewności końcowej wartości średniej, choć wartości tej niepewności będą na ogół większe niż w przypadku sygnałów ściśle okresowych o podobnym pasmie.