Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Flows with substance exchange and change of its volume in radial geometry

Trzaska A., Sobowska K.

Archives of Mining Sciences

|

2001

|

Vol. 46, nr 3

309-318

EN

The subject of this paper is a certain model of the process of eolmatage in which the swelling of colmatant settled in a porous medium proceeds. An axi-symmctric flow is considered. The paper is a continuation of the article (Trzaska, Sobowska 2000) in which a similar problem for the one-dimensional case was examined. It is assumed that the swelling occurs when colmatant contacts a certain substance. In the accepted model it is assumed that suspension carrying solid particles of the colmatant is initially forced into the porous medium. The particles settle in the pores. This part of the process is conventionally called its first stage. The stage is described by a system of balance-transport (1) and kinetics (2) equations. The obtaining of a certain distribution of colmatant P0(r) settled in the porous medium (16) is the result of stage one of the process. During stage two, substance which can cause the swelling of the colmatant settled earlier is forced into the medium. Part of this substance stays in the medium pores reacting on the colmatant and leading to the increase of its volume. This stage of the process is described by equations (17), (18), (24). The distribution of the colmatant in the medium pores P(r,t) is obtained in the form (25). In this paper computations arc made which help to determine the distribution of pressure in the medium during stage two of the process. The equation of motion (26) was used. The flow at known discharge q(t) was examined. The distribution of pressures h(r,t) is expressed then by formula (29).

PL

Niniejsza publikacja jest kontynuacją pracy Trzaski i Sobowskicj (2000), w której podobny problem rozpatrywany był dla przypadku przepływu jednowymiarowego wzdłuż tworzących równoległych do osi przepływu. Tutaj rozważany jest model osiowo-symetryczny. Obydwa wymienione artykuły należą do serii prac poświęconych kolmatacji i będących efektem badań tego zjawiska prowadzonych przez ten zespół autorów. Przypomnijmy, że przez kolmatację rozumiemy zjawisko zachodzące w trakcie przepływu zawiesiny przez ośrodek porowaty i polegające na wymianie cząstek stałych z ośrodka ciekłego do stałego. W efekcie dochodzi do zmian własności fizycznych ośrodka porowatego, zmienia się w szczególności jego porowatość i w konsekwencji współczynnik przepuszczalności. To z kolei powoduje zmianę ciśnienia oraz przy pewnych uwarunkowaniach wpływa na wielkość wydatku przepływu. W dotychczasowych opracowaińach rozpatrywano procesy, w których własności fizyczne kol-matanta po jego osadzeniu się w porach ośrodka nic ulegają zmianie. W niniejszym artykule, podobnie jak w pracy Trzaski i Sobowskicj (2000) rozważany jest model proeesu, w którym dochodzi do zmian objętości cząstek kolmatanta osadzonego w ośrodku porowatym. Przyjęto założenie, że zmiany te (pęcznienie, namnażanie) następują w wyniku kontaktu kolmatanta z pewną substancją. W pracy badany jest model procesu składającego się z dwóch etapów. Pierwszy etap to zatłaczanie do ośrodka zawiesiny niosącej cząstki stałe. W trakcie przepływu zawiesiny dochodzi do osadzania się tych cząstek w przestrzeni porowej, zachodzi zjawisko kolmatacji. Ten etap opisano układem równań bilansu-transportu (1) i kinetyki (2). W wyniku rozwiązania układu (1), (2) z warunkami początkowo--brzegowymi (3), (5) uzyskano funkcję rozkładu kolmatanta w ośrodku porowatym w dowolnej chwili t trwania procesu, a w szczególności w chwili tt zakończenia tego etapu (16). Uzyskane rozwiązanie stanowi warunek początkowy dla drugiego etapu procesu. Teraz do ośrodka zatłaczana jest substancja powodująca pęcznienie lub namnażanie kolmatanta osadzonego wcześniej. Do opisu tego etapu użyto układu równań (17), (18), (24), który rozpatrywano z warunkami początkowo-brzegowymi (19), (20), (23). Uzyskano funkcje koncentracji omawianej substancji w cieczy płynącej przez ośrodek oraz zatrzymanej w przestrzeni porowej i reagującej z kolmatantem. Następnie wyznaczono funkcję rozkładu pęczniejącego kolmatanta w ośrodku porowatym (25). Kolejnym etapem pracy było wyznaczenie rozkładu ciśnienia panującego w ośrodku porowatym w trakcie drugiego etapu procesu. Wykorzystano równanie ruchu postaci (26) i uzyskano funkcję rozkładu ciśnienia dla przepływu przy zadanej, na przykład stałej wartości wydatku przepływu (29).

2

Process of colmatage with transient boundary condition

Trzaska A., Sobowska K.

Archives of Mining Sciences

|

2000

|

Vol. 45, nr 2

237-245

EN

The subject of this publication is a certain model of the process of colmatage in a porous medium with a closed circulation of suspension. The process is investigated in which a liquid flowing out of the medium flows into the container filled with suspension. It is mixed there with the rest of the liquid and forced back into the medium. The investigations are carried out on the basis of the system of balance-transport (2) and kinetics (3} equations and on that of the balance of forced suspension (9). Initial-boundary conditions are accepted in the form (4), (5). Function of time n(t) of forced suspension (13) have been obtained followed by the distribution of concentration of suspension N(x,t) (14) flowing through the medium, and the distribution of the medium porosity E[epsilon](x,t) (16). Basing on the equation of motion (17) the distribution of pressure in the porous medium (19) has been determined.

PL

Tematem niniejszej publikacji jest pewien model przebiegu procesu kolmatacji w ośrodku porowatym przy zamkniętym obiegu zawiesiny. W trakcie takiego procesu koncentracja zatłaczanej do ośrodka zawiesiny, która w chwili t = 0 posiada wartość n0, zmienia się wskutek osadzania w ośrodku transportowanych przez ciecz cząstek. Wartość koncentracji na wlocie nie ulega zmianie przez okres wyznaczony dojściem czoła fali z punktu x = 0 do punktu x = L. W tym momencie, który w pracy oznaczamy jako t = t1, wypływającą z ośrodka zawiesinę nawracamy do zbiornika, z którego jak poprzednio po dokładnym, permanentnym wymieszaniu jest zatłaczana do ośrodka porowatego. Poczynając od chwili t = t1 koncentracja zawiesiny na wejściu do ośrodka staje się funkcją czasu n(t). Na jej wartość wpływa koncentracja zawiesiny w zbiorniku w chwili t = 0, oraz charakter przebiegu zjawiska, w wyniku którego koncentracja na wyjściu z ośrodka może przyjmować różne wartości 0 < N (L,t) < n0. Gdy N (L,t) = n0 nie zachodzi proces kolmatacji. Wtedy przepływająca przez ośrodek zawiesina nie poddawana jest wymianie masy z otoczeniem: z ośrodka ciekłego do porowatego. W przypadku przepływu z wymianą masy zachodzi warunek 0 < N (L,t) < n0. Z punktu widzenia matematycznego opisu obiektem naszego zainteresowania są przepisy funkcyjne takich wielkości, jak rozkład koncentracji unoszonych i zatrzymanych w ośrodku porowatym cząstek kolmatanta, opis rozkładu porowatości ośrodka, a co za tym idzie i rozkład ciśnień do jakiego dochodzi w wyniku przebiegu omawianego procesu na drodze x i w czasie t jego trwania. Wymieniony opis teoretyczny podajemy w oparciu o układ równań bilansu-transportu i kinetyki procesu kolmatacji, który to układ ze względu na przyjęty model przebiegu zjawiska ma postać daną wzorami [2) i (3) z warunkami początkowo-brzegowymi (4), (5). W uzyskanym rozwiązaniu powyżej omawianych równań dostajemy funkcję określającą rozkład przepływających cząstek kolmatanta N(x,t) w postaci (8) z niewiadomą funkcją n(t), która występuje w nieustalonym warunku brzegowym (5) opisywanego zjawiska. Przepis na wymienioną funkcję otrzymujemy rozwiązując liniowe równanie różniczkowe, do którego dochodzimy dokonując bilansu cząstek stałych znajdujących się w zbiorniku w różnych czasach t. Rozwiązanie uzyskanego równania (9) otrzymujemy stosując przekształcenie Laplace'a. Sposób rozwiązania przedstawiono w apendyksie. Uzyskaną w wyniku funkcję n((t) (12) wykorzystujemy podstawiając ją do wzoru [7) i otrzymując w ten sposób przepis informujący o rozkładzie przepływających cząstek N(x,t) (14). Drugą szukaną funkcję e[epsilon](x,t) dostajemy podstawiając wzór (14) do równania (3) i całkując je z warunkiem początkowym (4). Postać tej funkcji dana jest wzorem (16). Kolejna funkcja, której poszukujemy i podajemy, informuje o rozkładzie ciśnienia i jego zmienności w trakcie przebiegu zjawiska kolmatacji, przy czym zakładamy, że przepływ zachodzi ze stałą prędkością filtracji q. Rozkład ciśnienia uzyskujemy całkując równanie ruchu (17) z warunkiem (18) po podstawieniu do niego wyliczonej poprzednio funkcji e(x,t) danej wzorem (16). Otrzymana funkcja h[x,t) (19) jest ostatnim przepisem opisującym całokształt zagadnień związanych z przebiegiem zjawiska kolmatacji zachodzącego w omawianym ośrodku.

3

Process of colmatage in porous medium with closed circulation of suspension

Trzaska A., Sobowska K.

Archives of Mining Sciences

|

2000

|

Vol. 45, nr 1

117-123

EN

In this paper a theoretical description of the phenomenon of colatage observed in a porous medium with a finite lenght "L" and a closed circulation has been presented. Such circulation allows one to used the same suspension many times because after flowing through the medium, it can be forced again into it. Theoretical considerations have been presented on the basis of a systems of balance-transport equation (1) and those of the kinetics of the colmatage process (2) with initial-boundary conditions (3), (4), (5). Functions obtained determine the distribution of the concentration of flowing suspension "N" (x,t) (17) and the porosity epsilon (x, t) (18) in space x and time "t" of the proceeding phenomenon. Based on equation of motion (20) the distribution of pressure in porous medium were determined (23).

PL

W niniejszej publikacji został przedstawiony teoretyczny opis zjawiska kolmatacji obserwowanego w ośrodku porowatym o skończonej długości L, w zamkniętym obiegu zawiesiny. Taki obieg pozwala wielokrotnie wykorzystać tę samą zawiesinę, którą po przepływie przez ośrodek powtórnie zatłacza się do tego ośrodka. Rozważania teoretyczne zostały przedstawione w oparciu o układ równań bilansu--transportu (1) i kinetyki procesu kolmatacji (2) z warunkami początkowo-brzegowymi (3),(4), (5). Uzyskane funkcje określają rozkład - w przestrzeni x i czasie t trwającego zjawiska - koncentracji przepływającej zawiesiny N(x,t) (17) i porowatości [epsilon](x,t) (18). Opierając się na równaniu ruchu postaci (20) wyznaczono rozkład ciśnienia w ośrodku porowatym (23).

4

Colmatage, flows with substance exchange of its volume

Trzaska A., Sobowska K.

Archives of Mining Sciences

|

2000

|

Vol. 45, nr 3

333-345

EN

In this paper a certain model of the process of colmatage is discussed in which the swelling (multiplication) of particles in a porous medium proceeds. It is assumed that the process in question consists of two stages. During stage one, suspension which dispersed colmatant is forced into the porous medium; the colmatant settles in the medium pores. This stage has been described by a system of partial differential equations (1), (2) with initial-boundary conditions (4), (5). Following from the solution of this system, the function of the colmatant distribution in the medium at an arbitrary moment t, and at moment t1 at which this stage is finished, is obtained. During the other stage, a liquid in which a substance dissolved or dispersed causing the swelling (multiplication) of the colmatant settled earlier, is forced into medium. The volume concentration of the substance transported by the liquid and settled in the medium at stage two is found when a system of equations (10), (11) with initial-boundary conditions (12), (13) is solved. Next, the distribution of the above mentioned substance being determined, we find the function of position and swelling (multuplication) of the colmatant during stage two of the process. We use here equation (16) with the condition (17). In this paper, the distribution of pressure during stage two of the process has been also determined. These computations have been carried out on the basis of the equation of motion (20) and on the assumption that - firstly - the flow proceeds at an assigned and at constant discharge of flow, and at constant difference of pressure at points x = 0 and x = L. In the latter case implicit function of the flow discharge (31) has been obtained.

PL

Tematem niniejszej publikacji jest opis zjawiska kolmatacji, w którym dochodzi do zmiany objętości (pęcznienia, namnażania) kolmatanta osadzającego się w ośrodku porowatym. Takie pęcznienie czy też namnażanie się kolmatanta następuje w wyniku jego reakcji z pewną substancją , która również jest zatłaczana do przestrzeni porowej ośrodka. Rozważany proces składa się z dwóch etapów. W trakcie pierwszego etapu zatłaczamy do ośrodka porowatego zawiesinę ze zdyspergowanym kolmatantem, przy czym kolmatant ten ma potencjalną zdolność do zmiany objętości w wyniku pęcznienia (namnażania) po dokonaniu odpowiedniej obróbki. Jeżeli podczas takiego przepływu dochodzi do osadzania się cząstek kolmatanta w przestrzeni porowej, to po pewnym okresie przerywamy zatłaczanie tej zawiesiny i przechodzimy do drugiego etapu procesu. Zaczynamy zatłaczać ciecz, w której została rozpuszczona lub zdyspergowana substancja reagująca z wcześniej osadzonym kolmatantem i powodująca zmianę jego objętości. Naszym celem jest określenie rozkładu koncentracji objętościowej kolmatanta w porach ośrodka w tym drugim etapie, wyznaczenie jego porowatości i wyliczenie rozkładu ciśnień w trakcie przepływu jako funkcji położenia i czasu. Opis rozkładu kolmatanta niespęczniałego, dokonany dla etapu pierwszego, został określony na podstawie układu równań bilansu-transportu (1) i kinetyki (2), którą dobieramy w postaci najogólniejszej, zwanej też kinetyką trzecią. Pierwszy etap procesu kolmatacji przerywamy w pewnej chwili t1. Rozkład zatrzymanej masy kolmatanta niespęczniałego wyznacza funkcja dana wzorem (9). Jej graficzny przebieg ilustruje rys. 1. Nowością rozpatrywanego zagadnienia w stosunku do wszystkich poprzednich opisów i identycznych rozkładów jest fakt, że kolmatująca masa nie została poddana spęcznieniu, a nośnik tej masy, ciecz, która ją transportuje nie ma własności powodujących pęcznienie. W efekcie zatrzymana masa posiada tę zdolność i jeżeli aktualnie doprowadzimy ją do spęcznienia lub namnożenia, to w wyniku zmiany objętości po odpowiednim czasie jej koncentracja objętościowa w pewnej chwili t i punkcie x przyjmie nową wartość. Znajomość tej wartości, a tym samym znajomość aktualnego rozkładu porowatości pozwala też na określenie rozkładu ciśnienia wynikającego z powyższych uwarunkowań. Opis tego etapu procesu przedstawionego powyżej w skrócie opieramy na układzie równań różniczkowych cząstkowych. Pierwsze z nich to równanie bilansu-transportu przepływającej substancji powodującej pęcznienie (lub namnażanie) wcześniej osadzonego kolmatanta. Postać tego równania dana jest wzorem (10). Występują w nim dwie niewiadome funkcje. Pierwsza z nich, C{x,t), określa stężenie pożywki uwarunkowującej namnażanie. Przykładem może być cukier jako pożywka dla zatrzymanych w ośrodku drożdży. Druga niewiadoma funkcja U(x,t) opisuje ilość wymienionej substancji pożywki, która przeszła z ośrodka ciekłego do stałego, którym jest osadzony wcześniej kolmatant o stężeniu Po(x) (drożdże, grzyby, bakterie itp.). Sposób tej wymiany, jego mechanizm określa kinetyka procesu dana wzorem (11). Zgodnie z tą kinetyką szybkość wymiany jest wprost proporcjonalna do strumienia transportowanej substancji oraz objętości (ilości) zatrzymanego w poprzednim etapie procesu kolmatanta. Opierając się na układzie równań (10), (11), uzyskujemy potrzebną informację do rozwiązania równania kolejnej kinetyki (14) opisującej proces namnażania (pęcznienia) osadzonego poprzednio kolmatanta. Masa zatrzymanego w pierwszym etapie kolmatanta Po(x) jest w rozważanym opisie warunkiem początkowym, od którego poczynając, opisujemy drugi etap procesu. Rozwiązanie równania (14) z warunkiem (16) daje odpowiedź odnośnie do rozkładu koncentracji objętościowej znajdującego się w przestrzeni porowej kolmatanta w dowolnej chwili t trwającego procesu. Jesteśmy zatem teraz w stanie wyznaczyć, opierając się na otrzymanym wzorze (19) i znanym związku między porowatością a wyłapaną masą, rozkład porowatości w ośrodku porowatym. Rys. 2 jest graficzną ilustracją funkcji danej wzorem (19). Opierając się na uzyskanym rozkładzie porowatości oraz równaniu ruchu (20), wyznaczamy rozkład ciśnienia w przestrzeni i czasie trwającego zjawiska. Rozkłady ciśnień opisaliśmy, zakładając, że przebieg zjawiska zachodzi przy znanym (np. stałym) wydatku przepływu (wzór (23)) oraz przy stałej, znanej różnicy ciśnień w punktach x = 0 i x = L (wzór (32)). W tym drugim przypadku, ponieważ zachodziła taka potrzeba, wyznaczyliśmy również funkcję określającą prędkość filtracji q1(t) daną wzorem (31).

5

The phenomenon of colmatage as a generalization of filtration

Trzaska A., Sobowska K.

Journal of Theoretical and Applied Mechanics

|

1998

|

nr 3

807-817

EN

In this paper various models of the process of colmotage are presented. Three kinds of kinetics are discussed, describing the course of this phenomenon, and the relevant systems of partial differential equations. Examples of the solutions of these equations, are given and the function of porosity of a medium during the colmatage process, is determined from these equations. Besides, by introducing the adequate equation of motion, the way of determining the pressure distribution in a medium when the flow proceeds at the assumed discharge and at the constant difference of pressure, Eq, is presented. In the latter case the discharge of flow as a descreasing function of time Eq is additionally determined. Calculations are made for each kinetics. The diagram enclosed illustrates the distribution of pressure versus time t when the flow proceeds at a constant pressure difference. It should be noticed that the distribution obtained from the theory of colmatage at the moment t = 0 agrees with that obtained when Darcy's law is applied.

PL

W pracy zaprezentowano różne modele przebiegu zjawiska kolmatacji. Omówiono mianowicie trzy kinetyki opisujące przebieg zjawiska oraz odpowiadające im układy równań różniczkowych cząstkowych. Przedstawiono przykłady rozwiązań tych układów i wyznaczono w ich wyniku funkcję porowatości ośrodka w trakcie trwania procesu kolmatacji. Ponadto wprowadzając odpowiednie równanie ruchu przedstawiono sposób określenia rozkładu ciśnienia w ośrodku w przypadku gdy przepływ następuje przy zadanym wydatku oraz przy stałej różnicy ciśnień. W tym drugim przypadku wyznaczono dodatkowo wydatek przepływu jako funkcję malejącą czasu. Obliczenia podano dla wszystkich trzech kinetyk. Zamieszczony wykres ilustruje rozkłady ciśnienia dla różnych chwil t, przy przepływie realizowanym przy stałej różnicy ciśnień. Należy zwrócić uwagę, że w chwili t = 0 uzyskany z teorii kolmatacji rozkład pokrywa się z rozkładem uzyskanym z przwz Darcy'ego.

6

Colmatage accompanying the flow of gasified liquid through porous media

Trzaska A., Sobowska K.

Journal of Theoretical and Applied Mechanics

|

1998

|

nr 3

795-806

EN

The paper deals with a flow of liquid containing dissolved gas though a porous medium. Due to a pressure drop below the saturation pressure along the flow course, bubbles of gas can be emitted in the liquid. They are deposited in the pores of medium, desreasing its porosity and permeability. Thus, the phenomenon of colmatage occurs. This process is described by Henry's equations , the equations of balance transport , motion which initial boundary conditions taken into consideration. Basing on these equations there are obtained: function of the position and time of medium porosity e (x, t), function of the pressure distribution h (x,t), and time-dependent discharge of flow q (t). Diagrams of these functions are shown.

PL

Tematem prac jest przepływ cieczy zawierającej rozpuszczony gaz przez ośrodek porowaty. W wyniku spadku ciśnienia poniżej ciśnienia nasycenia na drodze przepływu może dochodzić do wytrącania się gazu w postaci pęcherzyków. Osadzają się one w przestrzeni porowej ośrodka doprowadzając do zmniejszenia jego porowatości i przepuszczalności. Zachodzi więc zjawisko kolmatacji. Proces ten opisano równaniami Henry'ego, bilansu transportu i ruchu, z uwzględnieniem warunków początkowo-brzegowych. W oparciu o te równania uzyskano funkcję położenia i czasu porowatości ośrodka e (x,t), rozkładu ciśnienia h(x,t), oraz wydatek przepływu w funkcji czasu q (t). Wykresy tych funkcji ilustrują rysunki.