Paper presents comparison of an exact Fourier method and an approximate Galerkin method in analysis of one-dimensional vibrating mechanical systems. Assumptions of the approximate method are presented. The considered systems are beams with different methods of fixing - different boundary conditions. Values of natural frequencies and dynamic flexibilities of considered systems are designated using the approximate method and compared with results obtained using the exact method.
2
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
W pracy przedstawiono przegląd metod modelowania i projektowania ultradźwiękowych układów drgających stosowanych w systemach zgrzewania i wycinania ultradźwiękowego. Omówiono metody modelowania analitycznego i numerycznego elementów układu drgającego, w tym: przetwornika segmentowego, koncentratora i sonotrody.
EN
In the paper authors presents an overview of the ultrasonic stack systems designing and modeling methods used in ultrasonic welding and cutting systems. Analytical and numerical methods have been outlined with reference to ultrasonic stack component elements such as: sandwich type transducer, booster and sonotrode.
W pracy przedstawiono problem wykorzystania narzędzi symulacyjnych do przedstawienia zagadnień związanych z drganiami układów mechanicznych. W prezentowanym rozważaniu pokazano rozwiązania analityczne modeli układów o jednym i dwóch stopniach swobody. Następnie, w oparciu o modele matematyczne zostały zbudowane modele symulacyjne. Skupiono się na wykorzystaniu możliwości programu symulacyjnego Vensim, w analizie wpływu wartości parametrów modelu na wyniki symulacji. Pokazano wpływ wysokości współczynnika tłumienia lepkiego przenoszącego się na pracę układów w zakresie nadkrytycznym, krytycznym i podkrytycznym. Rozważane zagadnienie przedstawiają możliwości wynikające z zastosowania narzędzia symulacyjnego, jakim jest program Vensim w procesie dydaktycznym obejmującym zagadnienia z dziedziny projektowania i eksploatacji maszyn.
EN
The paper describes the problem of using simulation tools to present issues related to the vibration of the mechanical systems with many degrees of freedom. It presents the analytical solutions of systems with one and two degrees of freedom. The simulation models were built based on the mathematical models. The focus was given on the use of the capabilities of Vensim in the analysis of the impact of different parameters on simulation results. The work demonstrates the effect of value of viscous damping coefficient, which is transferred to the operation of the system in the supercritical, critical and subcritical range of work. The issue that is being considered represents opportunities derived from the use of simulation tools, as for instance the Vensim software, in the teaching process, which is covering issues of machines design and operation.
This monograph describes some mathematical methods and numerical procedures for finding solutions to the problems devoted to modeling and control of discontinuous dynamical systems. The desired accuracy of the solution of differential equations modeling the dynamic state of a system with friction, ambiguity of parameters or a time delay requires to use some dedicated methods. Experiments aimed at improving the performance of numerical methods with respect to solution and analysis of discontinuous systems reveal the existing range of difficulty, extracting interesting mathematical estimations and mathematical derivations described in this monograph. This allows for a better understanding and more accurate approximation of the physical processes taking place in the real oscillating systems. Analyzing the basic mechanism of the appearance of discontinuities, that is based on a solution crossing the boundary of regions defined by various differential equations in a state-space, the time of stick-slip transition such as in systems with dry friction could be determined imprecisely due to the omission of specific points in the numerical procedure. It causes escalation of inaccuracies in numerical modeling of important physical features and behavior of the corresponding real object. A method of approximation of differential equations by differential inclusions and a modified Hénon method developed independently in this monograph increase the accuracy of numerical computations in simulation of discontinuous systems determined by dynamics conditioned by existence of state-space boundaries. Modern design methods and optimization techniques coexist with numerical modeling and computer simulations. Using such tools, a relevant information about critical values, dynamics of the state changes and expected wear of the designed or investigated real object is obtained. Based on the mathematical description of human’s chest represented by a simplified mechanical model, the influence of time delays on the amplitude of response of a few degrees-of-freedom dynamical system subjected to an elastic impact has been proved. An extended representation of linear differential equations with time delays, describing five interconnected subsystems with time-varying parameters has been proposed and then successfully used in numerical simulation. In the case of modeling of parameter changes of N-linked subsystems there has been solved a problem of discontinuities’ modeling expressed using the switching characteristics. Referring to the case of discontinuities caused by dry friction, there is even shown that the step change of parameters determined by rheological properties takes the qualitatively different form of disturbance (next to the external excitation), which directly affects the internal system state. Modeling of state discontinuity of parameters of the selected dynamical system has been based on a matrix notation defining a set of gain matrices covering all the time-dependent parameters. In the scope of dynamical analysis presented in this monograph, the numerical estimate of the nature of time trajectories by means of Lyapunov exponents is described. Moreover, bifurcation theory that is the strongly developing branch of dynamics of a wide range of analytical derivations and numerical optimization schemes has been used. This part of the work presents some analytical and numerical methods allowing to know bifurcation schemes, and even to determine discrete bifurcation diagrams of the separation boundary and numerical solutions of discontinuous dynamical system with dry friction. The Filippov’s theory applied in the analysis of the considered system with a modified Henon’s method of numerical integration have allowed to perform a numerical estimation of bifurcations of the stick-slip solutions, that are observed in motion of a piecewise-continuous dynamical system with one degree-of-freedom and harmonic excitation. For the purpose of a numerical solution, an oscillating boundary of discontinuity has been described by a function of velocity of the moving base and one has made it dependent on the form of an external forcing. In a part of the monograph devoted to the control of a nonlinear dynamical system, there are presented methods for the numerical modeling and speed control of a DC motor. The analyzed direct current engine was used as an exemplary object subjected to the forces of resistance occurring in the sliding bearings of its rotor and coming from the following phenomena: Coulomb friction, the friction associated with the exponential curve of kinetic friction characteristics appearing due to the Stribeck effect, viscous friction and the friction dependent on the angular position of the rotor. The problem of controlling the plant has been defined, namely, to design a compensation technique allowing to change the engine’s rotational velocity along with the desired time trajectory. In the next step, the problem was solved by introducing a sliding surface function used in modern control theory of discontinuous systems. Performance of the proposed, two-stage follow-up control measured by precision of mapping of the desired function of changes of rotational velocity has been tested on the basis of exemplary parameters of a selected DC motor. There have been shown some time trajectories of the angular velocity, that follow the desired trajectory confirming robustness of the follow-up control realized in the numerical procedure. Active control strategies are applied to optimize the mechanical or biomechanical systems of many degrees-of-freedom. With this in mind, a methodology based on the use of one control force decreasing the relative deformation of a mechanical model of a human thorax caused by an elastic impact has been developed and described. Visible reduction in the relative displacement inside of the thorax was obtained by solving the problem of linear-quadratic optimization of a performance index. In addition, control parameters influencing the characteristics of the optimal response of the test plant have been adjusted. Based on a proportional gain vector’s estimation, a technique of computation of the objective function in the controlled discontinuous system have been proposed. The monograph has been supported with the numerical procedures verifying carried out numerical experiments of which results are drawn in the time and parametric histories.
PL
Praca przedstawia opis metod matematycznych i procedur numerycznych służących do rozwiązywania zagadnień modelowania i sterowania nieciągłych układów dynamicznych. Uzyskanie pożądanej dokładności rozwiązania równań różniczkowych modelujących stan układu dynamicznego z tarciem, niejednoznacznością parametrów lub opóźnieniem czasowym wymaga stosowania metod dedykowanych. Rozwiązywanie i analiza układów nieciągłych związana z poprawą wydajności metod numerycznych odkrywa istniejący zakres trudności, wyodrębniając interesujące oszacowania i wyprowadzenia matematyczne opisane w tej monografii. Pozwala to na lepsze zrozumienie i dokładniejsze przybliżenie procesów fizycznych zachodzących w rzeczywistych układach drgających. Podstawowy mechanizm pojawiania się nieciągłości jest związany z przejściem rozwiązania przez granicę rozdziału obszarów określonych w przestrzeni stanu przez różniące się równania różniczkowe. Chwila czasowa przejścia, np. od utwierdzenia do poślizgu w układach z tarciem suchym może być wyznaczona nieprecyzyjnie. Jest to wynikiem pominięcia w procedurze numerycznej punktów szczególnych, a w modelowaniu numerycznym skutkuje narastaniem niedokładności odwzorowania ważnych cech fizycznych obiektu rzeczywistego. Metoda aproksymacji równań różniczkowych przez inkluzje różniczkowe i zmodyfikowana metoda Hénona opracowana w tej monografii zwiększają dokładność obliczeń numerycznych podczas symulacji układów nieciągłych o dynamice uwarunkowanej występowaniem granic rozdziału w przestrzeni stanu. Nowoczesne metody projektowania i techniki optymalizacyjne współistnieją z modelowaniem numerycznym i symulacjami komputerowymi. Stosując takie narzędzia, uzyskuje się istotne informacje dotyczące, np. wartości krytycznych, dynamiki zmian stanu, spodziewanego zużycia projektowanego lub badanego obiektu rzeczywistego. Na podstawie opisu matematycznego układu klatki piersiowej człowieka reprezentowanej przez uproszczony model mechaniczny, pokazano wpływ opóźnień czasowych na odpowiedź obiektu wielowymiarowego poddanego uderzeniu sprężystemu. Rozwiązanie numeryczne równań różniczkowych z opóźnieniem przedstawionym w rozszerzonej reprezentacji układu liniowego pięciu połączonych podukładów o parametrach zmiennych w czasie wpływa na dokładność symulacji numerycznych. W przypadku modelowania zmian parametrów N-połączonych podukładów, rozwiązano problem modelowania nieciągłości wyrażonych za pomocą charakterystyk przełączających. Odnosząc się do przypadku nieciągłości wywołanych tarciem suchym, pokazano, że skokowa zmiana parametrów determinowana własnościami reologicznymi jest jakościowo inną, obok wymuszeń zewnętrznych, formą zaburzenia wpływającego bezpośrednio na wewnętrzny stan układu. Modelowanie stanowej nieciągłości parametrów wybranego układu dynamicznego oparto na zapisie macierzowym, definiując zbiór macierzy wzmocnień wyczerpujących wszystkie wartości parametrów zależnych od czasu. W zakresie analizy dynamicznej przedstawionej w tej monografii opisano liczbowe oszacowanie charakteru trajektorii czasowych za pomocą wykładników Lapunowa. Wykorzystano również teorię bifurkacji, będącą silnie rozwijaną gałęzią dynamiki o szerokim spektrum rozważań analitycznych i optymalizacyjnych dotyczących schematów numerycznych. W tej części pracy przedstawiono metody analityczne i numeryczne umożliwiające poznanie schematów bifurkacji oraz wyznaczenie dyskretnych diagramów bifurkacji granicy rozdziału w przestrzeni stanu i rozwiązań numerycznych nieciągłego układu dynamicznego z tarciem suchym. Teoria Filipowa stosowana do analizy układów tego typu wsparta zmodyfikowaną metodą całkowania numerycznego Henona pozwoliła na wykonanie numerycznej estymacji bifurkacji rozwiązań utwierdzenie-poślizg, jakie obserwuje się w kawałkami-ciągłym układzie dynamicznym o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym. Na potrzeby rozwiązania numerycznego wprowadzono oscylującą granicę nieciągłości, opisano ją funkcją zależną od prędkości podstawy i uzależniono od postaci wymuszenia zewnętrznego. W części monografii dotyczącej sterowania nieliniowych układów dynamicznych przedstawiono metody numerycznego modelowania i regulacji prędkości obrotowej silnika prądu stałego. Pewien model silnika posłużył jako przykład obiektu poddanego działaniu sił oporu występujących w łożyskowaniu ślizgowym wirnika i pochodzących od sił tarcia Coulomba, tarcia związanego z krzywą eksponencjalną charakterystyki tarcia kinetycznego pojawiającą się na skutek efektu Stribecka, tarcia wiskotycznego i tarcia zależnego od położenia kątowego wirnika. Poddano rozwiązaniu zadanie sterowania tym obiektem, polegające na zaprojektowaniu kompensatora umożliwiającego zmianę prędkości obrotowej wzdłuż zadanej trajektorii czasowej. Schematy aktywnej kontroli można adoptować do optymalizacji układów mechanicznych lub biomechanicznych o wielu stopniach swobody. Biorąc to pod uwagę, zaprojektowano i opisano metodykę opartą na zastosowaniu siły sterującej zmniejszającej względną deformację modelu mechanicznego klatki piersiowej człowieka wywołaną uderzeniem sprężystym. Widoczną redukcję przemieszczeń względnych wewnątrz klatki piersiowej otrzymano, rozwiązując zagadnienie optymalizacji liniowo-kwadratowej wskaźnika wydajności. Praca została wzbogacona o kod procedur numerycznych, napisanych w języku programowania Python, weryfikujących prowadzone eksperymenty numeryczne, których wyniki przedstawiono na wykresach czasowych i parametrycznych.
Paper presents a computer aided simulation of one-dimensional vibrating system with piezoelectric transducer used as vibration actuators. The algorithm of modelling and analysis of such kind of systems was presented in details in other author’s works [2,3]. Here results obtained using computer aided methods are presented. The work is an introduction to comparison of results obtained analytical methods and computer simulations. The considered system with MFC transducer used as vibration actuator was modelled using a NX 8.0 software.
W pracy sformułowano i sformalizowano metodę syntezy czynnej systemów mechanicznych ze względu na żądane widmo częstości. Dokonano syntezy czynnej systemu regulacji proporcjonalnej zgodnie z sformułowaną metodą oraz przeprowadzono sprawdzenie poprawność otrzymanych wyników.
EN
In this work the method of active synthesis of mechanical systems in accordance with the desired frequency spectrum has been formulated and formalised. Active synthesis of a proportional regulation system has been performed in accordance with the method formulated and a verification of the correctness of the results has been carried out.
W pracy przedstawiono zagadnienia weryfikacji dokładności przybliżonej metody Galerkina i jej przydatności w modelowaniu i badaniu drgających układów mechatronicznych. Weryfikacja metody przybliżonej jest istotna ze względu na brak możliwości stosowania metody dokładnej w odniesieniu do układów mechatronicznych. Dokładność metody przybliżonej określono, zestawiając wyniki badania układu mechanicznego otrzymane tą metodą z wynikami metody dokładnej. W efekcie porównania obu metod wprowadzono współczynniki korekcyjne metody przybliżonej.
EN
This paper presents problem of the verification of accuracy of approximate Galerkin method in the vibrating mechatronic system research works. The considered mechatronic system is one-dimension vibrating bending beam with piezoelectric transducer bonded to the beam surface and external shunting circuit adjoined to the clamps of the transducer. In order to assign dynamic characteristic of the considered system approximate Galerkin method was used, where approximate solution of differential motion equation was defined as a product of time and displacement eigenfunctions which meet defined boundary conditions.
W pracy przedstawiono syntezę układów drgających ze względu na podane wymagania dynamiczne w postaci widm częstości. Zadanie odwrotne rozwiązuje się, korzystając z klasycznych metod syntezy (rozkład na ułamki proste, rozkład na ułamki rozgałęzione, metoda rozszerzona przez Gliwicki Ośrodek Naukowy). Otrzymane, na drodze rozwiązania zadania odwrotnego, układy mechaniczne, transformuje się do układów bezwymiarowych, a następnie retransformuje do struktur mechatronicznych, zbudowanych z dyskretnych układów mechanicznych i elementów piezoelektrycznych. Piezoelektryki połączone są z zewnętrznymi obwodami elektrycznymi LxRxCx. W pracy pokazano problem bezwymiarowych transformacji i re transformacji na przykładzie wybranych układów kaskadowego i rozgałęzionego.
EN
In this paper mechatronic vibrating systems have been synthesized in terms of dynamical properties in the form of frequency spectrum. Inverse task is solved using classical methods of synthesis and extended method, developed by Gliwice Research Centre. Received cascade and branched systems by use of dimensionless transformation have been replaced by non-dimensional model and in the next step retransformed to mechatronic structures built of mechanical discrete systems with piezoelectric material connected to external LxRxCx network.
W artykule przedstawiono metodę ultradźwiękowego zgrzewania rotacyjnego oraz przykładowe rozwiązanie konstrukcji zestawu drgającego. Metoda ta nie jest zbyt rozpowszechniona jednak z uwagi na swoje szczególne własciwości znajduje zastosowanie w niskotemperaturowych procesach zgrzewania metali.
EN
The method of ultrasonic rotational welding, and sample the solution set of oscillatory. This method is not very widespread, however, because of its special characteristics is used in low-temperature metal welding processes.
W pracy projektuje się układy mechatroniczne zbudowane z podukładów mechanicznych dyskretnych o "n" stopniach swobody, połączonych z ograniczonymi ośrodkami piezoelektrycznymi i z zewnętrznymi obwodami elektrycznymi LRC. Syntezy dokonuje się metodą rozszerzoną, opracowaną przez gliwicki ośrodek naukowy. Wobec otrzymanych w wyniku rozwiązania zadania odwrotnego struktur żąda się spełnienia wymaganych własności dynamicznych w postaci ciągu zer i biegunów.
EN
In this paper reverse task as a designing of mechatronic vibrating systems is highlighted. Mechatronic systems can be achieved from mechanical discrete subsystems with "n" degree of freedom connected with piezo element and external LRC Network. Dynamical characteristics has been distributed with widened method of synthesis. Systems must comply with the dynamical properties in the form of frequency spectrum: resonant and anti-resonant frequencies.
The paper deals with an approach to the Solution of the eigenvalue problem of the linear continuous vibrating system described by some parameters having random character. Our attention will be payed to continua whose behaviour can be characterized by seif adjoint Operators. Result of the calculation will be expected value and dispersion of eigenvalues. Knowing the Statistical characteristics of the input random parameters and applying the six sigma criterion we can determine maximal and minimal values of eigenvalues in the probability sense.
12
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
The paper discusses the analysis of a three-degree-of-freedom non-linear model which describes the vibrations of a rotor. The model takes into account the impacts between the rotating element and a limiter of motion. Using the methods of numerical integration and spectrum analysis, the influence of the excitation frequency and static loads on the type of vibrations, number of impacts and quality index of the system has been studied.
13
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
In the paper vibrations of mechanical systems torsionally deformed and having a local nonlinearity with a characteristic of a soft type are discussed. The nonlinearity is described by irrational functions and in the study the discrete-continuous models are applied. The numerical calculations are focused on the effect of the local nonlinearity on displacements and dynamic forces in the considered models.
14
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
In this paper the concideration relating to selecion of optimal control for discrete-continuous absorbing system described with system of ordinary and partial differential equations was presented. Selection of optimal control aimed at minimalization of vibrations of the object placed on platform fixed on flexible connector.
15
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
This paper presents the application of Artificial Neural Networks [1,2] for solution of an inverse problem. Based on the dynamic characteristics of a plate, the neural identification of parameters of additional mass have been performed. Emphasis was placed on the effective preparation of learning data, which were obtained by experiment.
16
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
In this work, the theoretical longitudinal vibration analysis of an elastically connected double-rod system is presented. The double-rod system is the model of a complex continuous system, which is composed of two straight, uniform elastic rods attached together by a Winkler elastic layer. The motion of the system is described by a coupled set of two non-homogeneous partial differential equations, which can be solved by using the classical mathematical methods. Solutions of undamped free vibrations are formulated by applying the modal expansion method. Two infinite sequences of the natural frequencies and corresponding mode shape functions expressing synchronous and asynchronous vibrations of the system are determined. The initial-value problem is considered to find the final form of free vibrations.
17
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
In the paper the analysis of vibrations of the cables connected by the elastic circular rings was considered. In order to obtain the natural frequencies the method of sewing of solutions was applied.
18
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
The free vibration problem of the truck crane chassis frame with attached rotating frame and telescopic boom is considered. The formulation and solution of the problem have been done by the use of finite element method and the system COSMOS/M. On the basis of the formulated model the investigations of the influence of the rotating frame position on the system's free vibration frequencies and mode shapes have been done.
Zagadnienia poszukiwania struktury układu, spełniającego określone wymagania, dotyczące realizowania żądanych własności dynamicznych, jest zadaniem odwrotnym do problemu analizy, czyli jest to synteza. Należy w tym miejscu podkreślić, iż rozpatrywane zadanie jest inne od spotykanych w mechanice klasycznej czy teorii sterowania. Praca dotyczy sformułowania i rozwiązania problemu syntezy dyskretnych i ciągłych układów mechanicznych z uwzględnieniem tłumienia.
EN
A process of researching the structure of a system, meeting certain conditions, is inverse to the process of analyzing it. In other words, it's a synthesis. We should emphasize that the considered problem varies from other issues met in classic mechanics or control theory. This paper concerns formulating and solving the problem of synthesis of discrete and continuous mechanical systems with damping.
W pracy przedstawiono modelowanie i analizę aktywnych układów mechanicznych za pomocą liczb strukturalnych. Celem przeprowadzenia takiego modelowania jest poznanie i udoskonalenie opisu i metod projektowania tak aby formalizm matematyczny w pełni ujmował istotę problemu jaki stanowi wyznaczenie charakterystyki tych układów. Przedstawiony model umożliwia również jednoznaczne rozwiązanie zadania odwrotnego, czyli syntezy.
EN
Modelling and analysis of active material systems by means of structural numbers has been shown in the thesis. The aim of such modelling is studying and improvement of the description and methods of designing so as the mathematical formalism fully explained the essence of the problem which means determination of the systems characteristic. The model shown enables as well the unique solution of the converse task i.e. synthesis.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.