Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Guided circumferential waves in layered poroelastic cylinders

Shah S. A., Apsar G.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2016

|

Vol. 21, no. 4

933--950

EN

The present paper investigates the propagation of time harmonic circumferential waves in a two-dimensional hollow poroelastic cylinder with an inner shaft (shaft-bearing assembly). The hollow poroelastic cylinder and inner shaft are assumed to be infinite in axial direction. The outer surface of the cylinder is stress free and at the interface, between the inner shaft and the outer cylinder, it is assumed to be free sliding and the interfacial shear stresses are zero, also the normal stress and radial displacements are continuous. The frequency equation of guided circumferential waves for a permeable and an impermeable surface is obtained. When the angular wave number vanish the frequency equation of guided circumferential waves for a permeable and an impermeable surface degenerates and the dilatational and shear waves are uncoupled. Shear waves are independent of the nature of surface. The frequency equation of a permeable and an impermeable surface for bore-piston assembly is obtained as a particular case of the model under consideration when the outer radius of the hollow poroelastic cylinder tends to infinity. Results of previous studies are obtained as a particular case of the present study. Nondimensional frequency as a function of wave number is presented graphically for two types of models and discussed. Numerical results show that, in general, the first modes are linear for permeable and impermeable surfaces and the frequency of a permeable surface is more than that of an impermeable surface.

2

Study of three dimensional propagation of waves in hollow poroelastic circular cylinders

Shah S. A.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2015

|

Vol. 20, no. 3

565--587

EN

Employing Biot’s theory of wave propagation in liquid saturated porous media, waves propagating in a hollow poroelastic circular cylinder of infinite extent are investigated. General frequency equations for propagation of waves are obtained each for a pervious and an impervious surface. Degenerate cases of the general frequency equations of pervious and impervious surfaces, when the longitudinal wavenumber k and angular wavenumber n are zero, are considered. When k=0, the plane-strain vibrations and longitudinal shear vibrations are uncoupled and when […] these are coupled. It is seen that the frequency equation of longitudinal shear vibrations is independent of the nature of the surface. When the angular (or circumferential) wavenumber is zero, i.e., n=0, axially symmetric vibrations and torsional vibrations are uncoupled. For n[…] these vibrations are coupled. The frequency equation of torsional vibrations is independent of the nature of the surface. By ignoring liquid effects, the results of a purely elastic solid are obtained as a special case.

3

Effect of variation of temperature field on the process of thermal consolidation of tailings pond “Żelazny Most”

Bartlewska-Urban M., Strzelecki T.

Studia Geotechnica et Mechanica

|

2014

|

Vol. 36, nr 2

57--65

EN

The following study presents numerical calculations for establishing an impact of temperature changes on the process of distortion of bi-phase medium. The Biot consolidation equations with Kelvin–Voigt rheological skeleton were used for that purpose. The process was exemplified by thermal consolidation of post floatation dump “Żelazny Most”. We analyzed the behavior of the landfill under the action of its own weight, forces of floating filtration and temperature gradient. Values of certain effective parameters of model were obtained during laboratory tests on material obtained from the landfill. The remaining data for mediums with similar characteristics were taken from literature. The results obtained from the stress state in the landfill allow the magnitude of plasticity potential to be specified based on known strength criteria. Change in the value sign of the plasticity potential clearly testifies to the emergence of an area of plasticity of material from landfill, however, this does not indicate the loss of stability of this hydrotechnical structure.

4

Dynamics coefficient for two-phase soil model

Wrana B.

Studia Geotechnica et Mechanica

|

2014

|

Vol. 36, nr 2

51--56

EN

The paper investigates a description of energy dissipation within saturated soils-diffusion of pore-water. Soils are assumed to be two-phase poro-elastic materials, the grain skeleton of which exhibits no irreversible behavior or structural hysteretic damping. Description of motion and deformation of soil is introduced as a system of equations consisting of governing dynamic consolidation equations based on Biot theory. Selected constitutive and kinematic relations for small strains and rotation are used. This paper derives a closed form of analytical solution that characterizes the energy dissipation during steady-state vibrations of nearly and fully saturated poro-elastic columns. Moreover, the paper examines the influence of various physical factors on the fundamental period, maximum amplitude and the fraction of critical damping of the Biot column. Also the so-called dynamic coefficient which shows amplification or attenuation of dynamic response is considered.

5

Phase velocity and attenuation of longitudinal shear vibrations of hollow poroelastic cylinders

Ahmed Shah S., Javvad Hussaini S.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2014

|

Vol. 19, no. 2

337--346

EN

The present paper is devoted to the study of phase velocity and attenuation of longitudinal shear vibrations of hollow poroelastic circular cylinders in the presence of dissipation. The explicit expressions for phase velocity and attenuation of longitudinal shear vibrations are derived. The frequency equation of longitudinal shear vibrations and modes obtained in a previous paper are used to compute the phase velocity and attenuation for different dissipations for thin and thick poroelastic cylindrical shells and poroelastic solid cylinder. The physical parameters of sandstone saturated with kerosene and sandstone saturated with water are used for the purpose of computation. It is found that the phase velocity is linear beyond certain frequency. Phase velocity is smaller for a typical anti-symmetric mode compared to the flexural mode. It is greater for the second mode than that of the first mode. Also the phase velocity is larger for a thin poroelastic cylindrical shell than that of a thick poroelastic cylindrical shell. The same is true for attenuation also. Attenuation is very high for the considered dissipations and it increases with the increase in dissipation.

6

Vibrations in a fluid-loaded poroelastic hollow cylinder surrounded by a fluid in plane-strain form

Shanker B., Nath C. N., Shah S. A., Reddy P. M.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2013

|

Vol. 18, no. 1

189--216

EN

Plane-strain vibrations in a fluid-loaded poroelastic hollow cylinder surrounded by a fluid are investigated employing Biot’s theory of wave propagation in poroelastic media. The poroelastic hollow cylinder is homogeneous and isotropic, while the inner and outer fluids are homogeneous, isotropic and inviscid. The frequency equation of the fluid-loaded poroelastic cylinder surrounded by a fluid is obtained along with several particular cases, namely, fluid-loaded poroelastic cylinder, fluid-loaded bore, poroelastic cylinder surrounded by a fluid and poroelastic solid cylinder submerged in a fluid. The frequency equations are obtained for axially symmetric, flexural and anti-symmetric vibrations each for a pervious and an impervious surface. Nondimensional frequency for propagating modes is computed as a function of the ratio of thickness to the inner radius of the core. The results are presented graphically for two types of poroelastic cylinders and then discussed.

7

Dispersion of waves in coated poroelastic circular cylinders

Shah S. A., Tajuddin M.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2012

|

Vol. 17, no. 1

213-231

EN

The phenomenon of crack initiation due to dynamic contact loading is referred to as fretting fatigue. This situation is commonly encountered in mechanical couplings subjected to vibration. Whenever a material has good mechanical properties but poor fretting resistance it is advantageous to provide a layer of material having good fretting resistance instead of changing the entire material. This extra layer of material can be provided by coating or by any other surface treatment methods. Wave propagation in coated poroelastic cylinders of infinite extent is investigated employing Biot's theory. The coated poroelastic cylinder consists of two poroelastic cylinders of different poroelastic materials bonded at the curved surface such that the liquids in the poroelastic materials are immiscible. Frequency equations of coated poroelastic cylinders are derived both for pervious and impervious surfaces. Let the infinite coated poroelastic cylinder be homogeneous and isotropic and the outer boundary is free from stress. At the interface of the core and coating, the stresses and displacements are continuous. For motions having infinite wavelength or when the wavenumber is zero, the axial shear and radial modes of the coated poroelastic cylinder are uncoupled each for a pervious and an impervious surface. The frequency equation of axial shear vibrations is same for pervious and impervious surfaces. Non-dimensional phase velocity for propagating modes is computed as a function of propagation constant in the absence of dissipation. The results are presented graphically for two types of coated poroelastic cylinders and then discussed.

8

The law of effective stress for rocks in light of results of laboratory experiments

Nowakowski A.

Archives of Mining Sciences

|

2012

|

Vol. 57, no. 4

1027--1044

EN

This paper presents the results of laboratory tests carried out in order to formulate effective stress law. The law was sought for two different cases: first - when rock was treated as a porous Biot medium (Biot, 1941; Nur & Byerlee, 1971) and second - when the law was formulated according to definition of Robin (1973) developed by Gustkiewicz (1990) and Nowakowski (2007). In the first case coefficents (4) and (5) of the Biot equation (3) were were determined on the basis of compressibility test, in the second one effective pressure equation (9) and effective pressure value (11) were found on the basis of results of so called individual triaxial compression test (see Kovari et al., 1983) according to the methodology given by Nowakowski (2007). On the basis of Biot coefficients set of values was found that volumetric strain of the pore space described by a coefficient (5) was not dependent on the type of pore fluid and the pore pressure of only, while in case of volumetric strain of total rock described by coefficient (4) both the structure and texture of rock were important. The individual triaxial compression test results showed that for tested rock an effective pressure equation was a linear function of pore pressure as (15). The so called Rebinder effect (Rehbinder & Lichtman, 1957) might cause, that the α coefficient in equation (15) could assume values greater than one. This happened particularly in the case when the porous fluid was non-inert carbon dioxide. In case of inert pore fluid like kerosene the test results suggested that the a coefficient in equation (15) decreased while the differential strength limit was increasing. This might be caused by, so called, dillatancy strengthening (see Zoback & Byerlee, 1975). Another considered important parameter of the equation (15) was the value of the effective press p'. The results showed that the value of this parameter was practically independend on the pore fluid type. This conclusion was contrary to previous research (see, for example, Gustkiewicz et al., 2003 and Gustkiewicz, 1990) so these results should be treated with caution. There are no doubts, however, over p' increasing simultaneously with increase in Rσ1-σ3. Basically, the differential strength limit of the specimen is greater the greater is confining pressure applied to it. Thus, higher Rσ1-σ3 values are accompanied by higher p'.

PL

W artykule przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych wykonanych w celu sformułowania prawa naprężeń efektywnych, które prowadzono dla dwóch różnych sposobów formułowania tego prawa. W pierwszym przypadku zakładano, że skała jest ośrodkiem porowatym Biota (Biot, 1941; Nur i Byerlee, 1971), a samo prawo naprężeń efektywnych ma postać (3). W drugim przypadku posługiwano się podejściem zaproponowanym przez Robina (1973), które zostało następnie rozwinięte w Pracowni Odkształceń Skał IMG PAN m.in. przez Gustkiewicza (1990) i Nowakowskiego (2007) i wyznaczano prawo naprężeń efektywnych składające się z dwóch elementów: równania ciśnienia efektywnego (9) oraz wartości ciśnienia efektywnego (11). Podstawą wyznaczania współczynników dla równania Biota (3) były testy ściśliwości próbek skał pozostających w stanie powietrznie suchym oraz nasyconych inertnymi (azot, nafta) bądź sorbującymi (dwutlenek węgla, woda destylowana) płynami porowymi. Na podstawie wyników tych testów wyznaczano moduły ściśliwości badanych skał a następnie wyliczano wartości współczynników Biota wg (4) i (5). Przedmiotem badań były próbki z naprężeń dwóch skał oznaczonych jako piaskowiec 8348 i wapień 9166. Równanie ciśnienie efektywnego (9) oraz wartość ciśnienia efektywnego (11) wyznaczano wg metodyki podanej przez Nowakowskiego (2007) na podstawie wyników testu klasycznego trójosiowego ściskania (ang. „individual test” - por. Kovari i in., 1983) uzyskanych dla próbek skał, w których naprężenie różnicowe osiągnęło wartość różnicowej granicy wytrzymałości Rσ1-σ3. Przedmiotem badań były próbki wycięte ze skały oznaczonej jako piaskowiec „Tumlin”, a jako płynów porowych użyto azotu i nafty (płyny inertne) oraz dwutlenku węgla i wody destylowanej (płyny sorbujące). Z przedstawionych wyników badań nad wartościami współczynników Biota wynika, że rodzaj płynu porowego nie wpływa na wartość wyznaczanego według wzoru (5) współczynnika α2 co oznacza, że deformacja objętościowa tej przestrzeni nie zależy od rodzaju płynu porowego, a jedynie od panującego w niej ciśnienia. W przypadku współczynnika α1 (wzór (4)) określającego wpływ ciśnienia porowego na deformację ośrodka jako całości wyniki wykazują pewną sprzeczność. Wartości α1 uzyskane dla piaskowca gdy płynem porowym jest nieściśliwa ciecz są nieco większe niż gdy jest nim ściśliwy gaz. Z kolei wyniki uzyskane dla opoki wskazują na coś wręcz przeciwnego: stosunkowo duża (większa niż dla piaskowca) wartość α1 dla gazu i wyraźnie mniejsze wartości α1 dla cieczy. Ostatecznie wydaje się, że to, czy wartość współczynnika α1 zależy rodzaju medium porowego jest w dużym stopniu uwarunkowane strukturą i teksturą badanej skały. Dla skał okruchowych o dużej porowatości i dużej swobodzie filtracji płynu porowego rodzaj tego płynu będzie miał prawdopodobnie mniejsze znaczenie natomiast dla skał zwartych o małej porowatości mogą zachodzić duże różnice w wartościach tego współczynnika w zależności od tego czy medium porowym jest ciecz, czy gaz. Wyniki wykonanych testów konwencjonalnego trójosiowego ściskania pozwoliły stwierdzić, że dla badanego piaskowca równanie ciśnienia efektywnego na granicy wytrzymałości jest liniową funkcją ciśnienia porowego pp postaci (15). Zgodnie z tym co pokazali Gustkiewicz i in. (2004) oraz Nowakowski (2005, 2007) jeżeli oddziaływanie płynu porowego na skałę nie jest wyłącznie mechaniczne, to może dojść do sytuacji, w której współczynnik α w równaniu (15) ma wartość większą od 1. Zjawiskiem fizykochemicznym odpowiedzialnym za taką sytuację jest najprawdopodobniej tzw. efekt Rebindera (Rehbinder i Lichtman, 1957), który polega na obniżeniu wytrzymałości skały wskutek adsorpcji gazu porowego, przy czym spadek wytrzymałości jest tym większy, im wyższa jest ilość zasorbowanego gazu (por. także Hołda, 1990). Jeżeli płynem porowym jest CO2 to im wyższa wartość Rσ1-σ3 tym wyższa wartość α, czyli tym silniej manifestuje się wpływ ciśnienia porowego (rys. 6). Przyczyn takiego zjawiska należy prawdopodobnie upatrywać w sposobie pękania badanego materiału. Jak wiadomo różnicowa granica wytrzymałości rośnie ze wzrostem ciśnienia okólnego oraz ze wzrostem różnicy p - pp (Gustkiewicz, 1990). Wzrostowi temu towarzyszy stopniowa zmiana sposobu pękania skały od kruchego pękania do ciągliwego płynięcia. W próbce pękającej krucho wytwarza się zazwyczaj jedna płaszczyzna pęknięcia, wzdłuż której następuje zniszczenie próbki. Natomiast w próbce pękającej w sposób ciągliwy powstaje wiele równoległych do siebie płaszczyzn zniszczenia. Oznacza to, że sumaryczna powierzchnia nowych spękań powstających podczas zniszczenia ciągliwego jest prawdopodobnie znacznie większa niż podczas kruchego pęknięcia. Jeśli w trakcie eksperymentu spełnione są warunki (6) to pęknięcia te zostają wypełnione pozostającym pod stałym ciśnieniem gazem porowym, a to z kolei oznacza wzrost powierzchni fizykochemicznie czynnej, na której mogą zachodzić procesy sorpcyjne. A zatem i wpływ efektów sorpcyjnych powinien się okazać dla wyższych wartości Rσ1-σ3 znacząco większy. W przypadku, gdy płynem porowym była inertna ciecz (nafta) pokazane na rys. 6 wyniki badań sugerują, że wartość współczynnika α maleje ze wzrostem Rσ1-σ3. Przyczyną może tu być tzw. Wzmocnienie dylatancyjne (por. Zoback i Byerlee, 1975). W tym przypadku polega ono na tym, że gdy próbka skalna osiąga swoja granicę wytrzymałości zaczynają się w niej rozwijać nowe spękania, czego konsekwencją jest wzrost objętości przestrzeni porowej wywołujący spadek ciśnienia porowego. Jeżeli spadek ten nie zostanie wyrównany przez filtrującą z zewnątrz ciecz to rzeczywista wartość ciśnienia porowego będzie niższa niż zakładana. Z punktu widzenia prawa ciśnienia efektywnego oznacza to, że wpływ ciśnienia porowego na wartość Rσ1-σ3. ulegnie zmniejszeniu, co powinno dać α < 1. Drugim istotnym parametrem równania (15) jest tzw. wartość ciśnienia efektywnego p'. W rozważanych eksperymentach wielkość tę należy traktować jako pewne zastępcze ciśnienie okólne, które - zastosowane do skały dla pp = 0 - da w efekcie taka samą wartość Rσ1-σ3 jak para niezerowych ciśnień p i pp spełniających równanie (15). Pokazane na rys. 7 zależności sugerują, że wartość wielkości p' praktycznie nie zależy od rodzaju płynu porowego. Innymi słowy: jeśli pp = 0 to Rσ1-σ3 = const. dla danej wartości p' niezależnie od tego, czym wypełniona jest przestrzeń porowa skały. Wartości p' rosną natomiast ze wzrostem Rσ1-σ3 gdyż różnicowa granica wytrzymałości próbki jest tym wyższa im wyższe jest obciążające próbkę ciśnienie okólne. Jest zatem naturalne, że wyższym wartościom Rσ1-σ3 towarzyszą wyższe wartości p'.

9

Torsional vibrations of poroelastic prolate spheroids

Shah S. A., Tajuddin M.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2011

|

Vol. 16, no 2

521-529

EN

In this paper, propagation of torsional vibrations in poroelastic prolate spheroids is investigated employing Biot's theory. Frequency equations of torsional vibrations are obtained for a poroelastic solid prolate spheroid and thick walled prolate spheroidal shells. Frequency equations are the same for pervious and impervious surfaces. Results of previous investigations are shown as a particular case of the present study.

10

Numerical calculations of the consolidation of flotation waste landfill 'Żelazny Most' based on Biots model with the Kelvin-Voight rheological skeleton

Strzelecki T., Bartlewska-Urban M.

Archives of Civil Engineering

|

2011

|

Vol. 57, nr 2

199-213

EN

This paper presents simulation results of the consolidation process of the flotation waste landfill "Zelazny Most". The mathematical model used in presented research is based on Biot's model of consolidation and is extended with rheological skeleton. The load is the mass pressure of the landfill itself. The initial point selected for calculations was based on the ground water level calculated in a landfill. The creeping process in this waste landfill was analyzed along the north-south section. The solution is therefore 2D with the assumption of a plane strain state. Effective model parameters data were obtained in laboratory tests on the material from the waste landfill. Results obtained for a stress state in a storage state can help to determine whether the adopted linear model of visco-elastic medium does not lead to changes in the Coulomb-Mohr potential yield, showing the emergence of plasticity of material storage areas.

PL

W pracy przedstawiono wyniki symulacji procesu konsolidacji składowiska odpadów poflotacyjnych Żelazny Most w oparciu o model matematyczny konsolidacji Biota ze szkieletem reologicznym pod działaniem ciężaru własnego składowiska. Punktem wyjścia do obliczeń było obliczone zwierciadło wód podziemnych w składowisku. Zagadnienie pełzania składowiska wykonano w przekroju północ-południe przez składowisko. Rozwiązanie jest więc typu 2D przy założeniu płaskiego stanu odkształcenia. Dane dotyczące parametrów efektywnych modelu uzyskano w badaniach laboratoryjnych na materiale uzyskanym na składowisku. Uzyskane wyniki stanu naprężenia w składowisku pozwalają określić, czy przyjęty liniowy model ośrodka lepko sprężystego nie prowadzi do pojawienia się zmian znaku wartości potencjału plastyczności Coulomba-Mohra, co świadczyłoby o pojawianiu się obszarów uplastycznienia materiału składowiska.

11

Zagadnienie konsolidacji ośrodka porowatego ze szkieletem reologicznym Kelvina-Voigta.

Bartlewska M., Strzelecki T.

Prace Naukowe Instytutu Górnictwa Politechniki Wrocławskiej. Konferencje

|

2007

|

Vol. 120, nr 49

47-58

PL

W pracy przedstawiono wyniki obliczeń konsolidacji ośrodka porowatego ze szkieletem Teologicznym Kelvina-Voigta uzyskane metodą analityczną, oraz metodą numeryczną za pomocą programu FlexPDE. Rozpatrywane analitycznie zagadnienie jednowymiarowe sprowadza się do rozwiązania zagadnienia porowatego słupa wypełnionego cieczą i poddanego działaniu jednoosiowego ściskania poprzez przyłożenie obciążenia za pośrednictwem porowatej płytki, umożliwiającej swobodny wypływ cieczy z ośrodka, działania gradientu ciśnienia hydrostatycznego po obu stronach słupa i działania ciężaru własnego ośrodka. Rozwiązanie numeryczne zakładało ściskanie próbki osiowo-symetrycznej przy odpowiednio zdefiniowanych warunkach brzegowych. Celem badania było opisanie wpływu obciążenia zewnętrznego na proces filtracji. Uzyskane w taki sposób wyniki, w kontekście dalszych badań, mogą być wykorzystane także do określania efektywnych parametrów modelu porosprężystości Biota.

EN

In this paper, the analytical solution of porous medium consolidation with the rheological Kelvin-Voigt frame is presented. The rheological model is a model which elements are four basic physical features: elasticity, viscosity, plasticity and strength. One-dimensional problem insist on solving equations for porous column filed with liquid and being a subject of one-dimensional compression with load through porous plate (allowing fluid flow), pressure gradient and weight of column itself. Results obtained may be used also for determination of effective parameters of the Biot model.

12

Zagadnienie jednowymiarowe konsolidacji ośrodka porowatego ze szkieletem reologicznym Kelvtna-Voigta

Bartlewska M., Strzelecki T.

Prace Naukowe Instytutu Geotechniki i Hydrotechniki Politechniki Wrocławskiej. Konferencje

|

2007

|

Vol. 76, nr 42

33-43

PL

W pracy przedstawiono wyniki obliczeń konsolidacji ośrodka porowatego z szkieletem reologicznym Kelvina-Voigta, uzyskane metodą analityczną. Po pojęciem modelu reologicznego rozumieć należy modele, których elementami są cztery podstawowe cechy fizyczne: sprężystość, lepkość, plastyczność i wytrzymałość. Zagadnienie jednowymiarowe sprowadza się do rozwiązania zagadnienia porowatego słupa wypełnionego cieczą i poddanego działaniu jednoosiowego ściskania poprzez przyłożenie obciążenia za pośrednictwem porowatej płytki, umożliwiającej swobodny wypływ cieczy z ośrodka oraz działania gradientu ciśnienia hydrostatycznego po obu stronach słupa i działania ciężaru własnego ośrodka. Uzyskane w taki sposób wyniki mogą być wykorzystane także do określania efektywnych parametrów modelu porosprężystości Biota.

EN

In this paper, the analytical solution of porous medium consolidation with the rheological Kelvin-Voigt frame is presented. The rheological model is a model which elements are four basic physical features: elasticity, viscosity, plasticity and strength. One-dimensional problem insist on solving equations for porous column filed with liquid and being a subject of one-dimensional compression with load through porous plate (allowing fluid flow), pressure gradient and weight of column itself. Results obtained may be used also for determination of effective parameters of the Biot model.

13

On certain determinantal method of equation and effective pressure evaluation on the basis of laboratory researches

Nowakowski A.

Archives of Mining Sciences

|

2007

|

Vol. 52, no 4

587-610

EN

Analysis of rock mechanical properties usually is conducted with the assumption that this is a monophase medium, which means that a rock is being treated as a continuous medium consisting of only solid phase. Such an assumption leads to ignoring widely known fact that a rock is not a continuous medium consisting of not only solid components but also of empty voids of different sizes and shapes. The complexity level is increased when one considers the fact that such voids referred to as pore space may be filled with fluid, which may interact with a rock in various ways. In particular it may be a strictly mechanical interaction based on stress changes resulting from pressure of porous fluid, but it could be also physical-chemical or even chemical interaction that changes properties of rock due to interactions between fluid and rock skeleton (e.g. sorptive processes and chemical reactions). In the most complex model one deals with a mixture of all above factors. Intuition suggests that mathematical description of processes going on in stressed porous medium would require mathematical description of pore space itself. Such description should contain information on the size of such space, sizes and shapes of pores, their distribution in analyzed space but it also should take into consideration the fact that they may form a network or may be isolated voids. Determination of pore space properties is such complex that the problem of phenomena occurring in stressed porous medium turned out to be of vital significance and researchers started to look for methods of avoidance of this problem. Approach which is discussed herein was worked out on the basis of laboratory investigations of rocks in a classical triaxial state of stress ("individual test" - cf. Kovari et al., 1983). In such a test a cylindrical rock sample is placed in a Karman type chamber and is stressed with axially symmetric stresses which comply with the condition [...]. Confining pressure [...] is placed with fluid on a side surface of a sample whereas axial stress [...] is placed with press piston that loads the front section of a sample. A sample is divided from confining pressure exerting medium with deformable shield. Moreover, porous space of assessed sample is filled with porous fluid (Iiquid or gas) under constant pressure of Pp. In fig. 1 stresses affecting the sample during the experiment were presented. In case of a such stressed sample we may consider any characterizing rock quantity Q being the function of p and Pp pressures. This function creates a certain surface in a space of variabIes Q, p and Pp (Fig. 2). On such surface we may distinguish a curve that complies with equation (10) i.e. the curve along which interesting forus Q quantity is constant. This curve resulting tTom equation (10) shall be then projected on the [...] plane. As a result of such operation we achieve relation (11). Such relation defines the pairs of p and Pp points, for which the analyzed Q quantity is constant and shall be referred to herein as the effective pressure law (Robin, 1973). If we substitute in equation (11) with (12), we shall receive relation (13). At present in such relation we shall refer to p' pressure as the value or effective pressure for the effective pressure law (11) and Q quantity complying with the condition (10). . The value of effective pressure p' defined with equation (13) may be treated as some substitute confining pressure, which when applied to the rock for Pp = O exerts on the investigated Q quantity the same influence as a pair ofnon-zero p and Pp pressures complying with the conditions of(IO) and (II). Whereas function (II) which binds confining and porous pressure together shows what pairs of p and Pp pressures may represent a specific Q quantity or if necessary to draw reverse conclusion on what Q quantity for specific p and Pp pressure values one may expect. The above formalism of the description of effective pressure was coined by Robin (1973), who based his conclusions on Nura and Byerlee (1971) and Brace'a (1972). The way to apply such formnalism in a laboratory results analysis was described by Gustkiewicz (1990) and further developed by Gustkiewicz et al. (2003, 2004) and Nowakowski (2005). The last papers are devoted to phenomena occurring in rock sampies where stress reached differential strength limit in particular. From the above considerations it may be derived that effective pressure (11) shall depend on e.g.: - analyzed quantity Q of a rock, - level of stress in a rock sample, - properties of pore space in a rock. The subject of our investigations shall be sandstone from lower Triassic period from Tumlin (referred hereto as Tumlin rock) that can be found in the northern part of Świętokrzyskie Mountains in the region of Suchedniów. It will be shown on an example how to deterrnine the effective pressure law in practice and its relation to the type of used porous fluid. The authors will analyze an example of porous fluid that is neutrai physically and chemically for rocks (kerosene) and an example of strongly sorptive gas (carbon dioxide). The analysis consisted of series of "individual tests" and deterrnination on such basis the differential strength limit [...] as the function of(Pp) porous fluid and (P) confining pressure and looking for effective pressure laws and effective pressure values accordingly to methodology described in chapter 2 of this paper. The present authors started their investigations with "Tumlin" sandstone saturated with kerosene. The results of this experiment in respect [...] values are shown in table 2. On the basis of shown in this table results the authors made charts showing relations between differential strenght limit [...] and porous pressure (Pp) at confining pressure (P) as a parameter shown in fig. 9. The effective pressure law and value of effective pressure for two values of differential strength limit was sought for: 60 MPa and 263 MPa as shown in fig. 9. According to the procedure described in chapter 2 parameters of intersection of straight lines were found with equations and bell-shaped curves of the type (15). Those points were indicated Pp - p coordinate system and necessary approximations were made. Results were shown in fig. 10. Finally for selected values of differential strength limit the authors achieved equations and effective pressure values (P ) given with relations (25). Next step consisted of using the same procedure for the Tumlin sandstone whose porous space was filled with carbon dioxide. In table 3 [...] values achieved in the experiments and in fig. 11 respective curves are shown. Effective pressure laws and values of effective pressure were obtained for [...] equal to 195 MPa and 277 MPa. In case of selected values of differential strength limit the fuli procedure of deterrnination of effective pressure laws and values of effective pressure was achieved and showed as a relation (28). Their geometrical interpretation is shown in fig. 12. Described considerations showed certain method of deterrnination of effective pressure law and effective pressure value for rocks which is based on alaboratory triaxial compression test. This method allows for deterrnination of relation between analyzed property of a rock and confining and porous pressures values. Examples presented in chapter 4 show the application of this method in reference to the so called differential strength limit. The achieved results show that if a relation (3) is used as the effective pressure law then a coefficient serves the role of a certain "balance" which deterrnines the influence of porous pressure on the final value of effective pressure. Such coefficient may be equal to a value from three different ranges: 1) a < 1; equation (3) is the effective pressure law in the form proposed by Biot and those who further developed this concept (e.g.: Nur & Byerlee, 1971; Rice & Cleary, 1976; Zienkiewicz & Shiomi, 1984; Detournay & Cheng, 1993). The range ofapplicability of the equation (3) is in this form automatically limited to the range of applicability of Biot's consolidation theory and as follows the range of Hooke's lawapplicability. 2) a = 1; the equation (3) has classical form coined by von Terzaghi (Terzaghi, 1923) shown in (I). The possibility of its application in case of rocks is limited by - mentioned in the introductory part - Handin 's conditions (cf. Handin et al., 1963). An importarit summary of the application of Terzaghi's formula may be found in Bluhm and de Boer work (1996). 3) Equation [...]; in which the value of a> 1 coefficient is allowed. At present there is no possibility to check real maximum values of this coefficient. Given value of "upper" limit is derived only from the conditions of the experiment (porous pressure cannot be higher that confining pressure - cf. chapter I). The fact that this coefficient may be higher than unit was demonstrated experimentally for the first time by Gustkiewicz et al. (2004) in reference to differential strength limit. The reasons for increased significance of porous pressure for evaluated material property must be sought for in the appearance of not only mechanical interactions but also physical and chemical processes - sorption in particular between rock and porous fluid. For more refer to e.g. Gustkiewicz et al. (2004), Gustkiewicz and Nowakowski (2005) and Nowakowski (2005). It must be noted also that - in contrast to Biot's theory considerations - the procedure demonstrated in chapters 1 i 2 of this paper that determines effective pressure laws and effective pressure values is not conclusive in respect of a mathematical form of such equation. In particular there are no reasons not to consider Q(P, pp) surface in chapter 1 as the straight-drawn surface. In such case a curve (10) marked on Q(P, pp) surface does not have to be a straight line and as a consequence its projection on the (p, pp) piane does not have to be a straight line either in the equation (11). It means that the equation of effective pressure (11) may be non-linear because of porous Pp pressure.

PL

Analiza właściwości mechanicznych skały zazwyczaj prowadzona jest przy założeniu, że jest ona ośrodkiem jednofazowym, co oznacza, że skała traktowana jest jako ośrodek ciągły, składający się wyłącznie z fazy stałej. Założenie to prowadzi do zignorowania powszechnie znanego faktu, iż w rzeczywistości skała jest materiałem nieciągłym, zawierającym oprócz tworzących ją stałych składników także obszary pustek o różnym kształcie i wymiarach. Stopień komplikacji zagadnienia wzrasta jeśli wziąć pod uwagę, że pustki te, objęte wspólną nazwą przestrzeni porowej, mogą być wypełnione płynem, który może oddziaływać na skałę na różne sposoby. W szczególności może to być oddziaływanie czysto mechaniczne, polegające na zmianach naprężenia w skale wskutek zmian ciśnienia płynu porowego, lub też fizykochemiczne a nawet chemiczne, zmieniające właściwości materii skalnej wskutek interakcji zachodzących miedzy płynem a szkieletem skały (np. procesy sorpcyjne, reakcje chemiczne). W sytuacji najbardziej złożonej będziemy mieli do czynienia z oddziaływaniem będącym kombinacją powyższych czynników. Intuicja podpowiada, że matematyczny opis procesów zachodzących obciążonym ośrodku porowatym wymagałby przede wszystkim sporządzenia matematycznego opisu samej przestrzeni porowej, który musiałby zawierać informacje o wielkości opisywanego obszaru, wielkości i kształcie porów, ich rozmieszczeniu wewnątrz analizowanej przestrzeni a także uwzględniać fakt, czy tworzą one sieć połączeń czy też są pustkami izolowanymi. Sporządzenie takiego opisu przestrzeni porowej nastręcza tak ogromnych trudności, że gdy problem zjawisk zachodzących w obciążonym ośrodku porowatym stał się aktualny zaczęto poszukiwać jakiegoś sposobu jego ominięcia. Omawiany w niniejszej pracy sposób podejścia do problemu ciśnienia efektywnego został wypracowany na podstawie badań laboratoryjnych skał w klasycznym trójosiowym stanie naprężenia (ang. "individual test" - por. Kovari i in., 1983). Podczas takiego testu walcowa próbka skalna znajduje się w komorze typu Karrnana i jest obciążona osiowosymetrycznymi naprężeniami ściskającymi spełniającymi warunek [...]. Ciśnienie okólne [...] zadawane jest na pobocznicę próbki cieczą, a naprężenie osiowe [...] tłokiem prasy naciskającym na czoło próbki. Próbka oddzielona jest od medium zadającego ciśnienie okólne odkształcalną osłoną. Ponadto przestrzeń porowa rozważanej próbki wypełniona jest płynem porowym (cieczą lub gazem) pozostającym pod stałym ciśnieniem o wartości Pp Schemat obciążeń działających na próbkę podczas eksperymentu przedstawia rys. l. Dla tak obciążonej próbki rozważamy dowolną, charakteryzującą skałę wielkość Q, która jest funkcją ciśnień p i Pp- Funkcja ta tworzy w przestrzeni zmiennych (Q, p, pp) pewną powierzchnię (rys. 2). Na powierzchni tej wyróżnimy teraz krzywą spełniającą równanie (10), czyli linię, wzdłuż której interesująca nas wielkość Q ma wartość stałą. Następnie dokonamy rzutowania krzywej danej równaniem (10) na płaszczyznę (Pp' p). W wyniku takiej operacji otrzymujemy na tej płaszczyźnie związek (11). Związek ten, definiujące zbiór par punktów p i Pp, dla których analizowana wielkość Q ma wartość stałą, nazywać będziemy równaniem ciśnienia efektywnego (Robin, 1973). Jeżeli teraz dokonamy w równaniu (li) podstawienia (12), to otrzymamy zależność (13). Obecne w tej zależności ciśnienie p' nazywać będziemy wartością ciśnienia efektywnego dla równania ciśnienia efektywnego (li) i wielkości Q spełniającej warunek (10). Zdefiniowana wzorem (13) wartość ciśnienia efektywnego p , może być traktowana jako pewne zastępcze ciśnienie okólne, które - zastosowane do skały dla Pp = O - wywiera na badaną wielkość Q taki sam wpływ jak para niezerowych ciśnień p i Pp spełniających zależności (10) i (11). Z kolei wiążąca ze sobą ciśnienia okólne i porowe funkcja (11) pokazuje, jakie wartości par ciśnień p i Pp mogą odpowiadać konkretnej wartości wielkości Q lub też, jeśli konieczne jest rozumowanie odwrotne, jakiej wartości wielkości Q oczekiwać możemy dla danych wartości ciśnień p i pp. Zaprezentowany powyżej formalizm opisu ciśnienia efektywnego został po raz pierwszy zaproponowany przez Robina (1973), który oparł się w tym przypadku m.in. na rozważaniach Nura i Byerlee (1971) oraz Brace'a (1972). Sposób zastosowania tego formalizmu do analizy wyników badań laboratoryjnych pokazał Gustkiewicz (1990), a rozwinęli Gustkiewicz i in. (2003, 2004) oraz Nowakowski (2005) z tym, że te ostatnie prace poświęcone są w szczególności analizie zjawiska zachodzących w próbkach skalnych, w których naprężenie osiągnęło różnicową granicę wytrzymałości. Z rozważań wymienionych wyżej autorów wynika, że postać równania ciśnienia efektywnego (11) zależeć będzie m.in. od: - analizowanej właściwości skały Q, - stanu naprężenia w skale, - właściwości przestrzeni porowej skały. Przedmiotem badań, których wyniki zostaną omówione w niniejszej pracy był dolnotriasowy piaskowiec z Tumlina (zwany dalej piaskowcem "Tumlin") występujący w północnej partii obrzeża Gór Świętokrzyskich w rejonie Suchedniowa. Na ich przykładzie zostanie praktycznie pokazany sposób wyznaczania równania ciśnienia efektywnego oraz zależność postaci tego równania od rodzaju zastosowanego płynu porowego. Przeanalizowany zostanie przypadek, gdy płynem porowym była obojętna fizykochemicznie dla skały ciecz (nafta), oraz gdy był nią silnie sorbujący gaz (dwutlenek węgla). Badania polegały na wykonaniu serii testów klasycznego trójosiowego ściskania, wyznaczeniu na ich podstawie różnicowej granicy wytrzymałości [...] jako funkcji ciśnień porowego (Pp) i okólnego (P) oraz poszukiwaniu równań i wartości ciśnienia efektywnego zgodnie z metodyką opisaną w rozdz. 2 niniejszej pracy. Badania rozpoczęto od próbek piaskowca "Tumlin" nasączonego naftą" Zestawienie uzyskanych w wyniku eksperymentów wartości [...] pokazuje tab. 2. Na podstawie zestawionych w tej tabeli wyników wykonano wykresy zależności między różnicową granicą wytrzymałości [...] a ciśnieniem porowym (Pp), przy ciśnieniu okólnym (P) jako parametrze pokazane na rys. 9. Poszukiwano równania ciśnienia efektywnego i wartości ciśnienia efektywnego dla dwóch wartości różnicowej granicy wytrzymałości: 60 MPa i 263 MPa tak, jak to zaznaczono na rys: 9. Zgodnie z procedurą opisaną w rozdz. 2 znaleziono współrzędne punktów przecięcia prostych o równaniach z krzywymi dzwonowymi typu (15). Punkty te zaznaczono następnie w układzie współrzędnych pp- p i dokonano odpowiednich aproksymacji. Wyniki pokazano na rys. 10. Ostatecznie dla wybranych wartości różnicowej granicy wytrzymałości otrzymano równania i wartości (P ') ciśnienia efektywnego dane związkami (25). Kolejnym krokiem było zastosowanie tej samej procedury do piaskowca "Tumlin" , którego przestrzeń porowa wypełniona była dwutlenkiem węgla. Uzyskane podczas eksperymentów wartości [...] zestawiono w tab. 3, a odpowiednie krzywe pokazano na rys. 11. Równań i wartości ciśnienia efektywnego poszukiwano dla [...] równej 195MPa i 277 MPa. Wykonując dla wybranych wartości różnicowej granicy wytrzymałości pełną procedurę wyznaczania równań i wartości ciśnienia efektywnego otrzymano jako wynik zależności (28). Ich interpretację geometryczną pokazano na rys. 12. Zaprezentowane w niniejszej pracy rozważania pokazały pewną metodę wyznaczania równania i wartości ciśnienia efektywnego dla skał, bazującą na laboratoryjnym teście trójosiowego ściskania. Metoda ta daje możliwość znalezienia zależności między wartością analizowanej właściwości skały a wartościami ciśnień okólnego i porowego. Przykłady zamieszczone w rozdz. 4 pokazują zastosowanie tej metody w odniesieniu do tzw. różnicowej granicy wytrzymałości. Uzyskane wyniki wykazały, że jeżeli związek (3) jest wykorzystywany jako równanie ciśnienia efektywnego, to współczynnik a pełni w tym równaniu funkcję pewnej "wagi", która określa jak duży jest wpływ wartości ciśnienia porowego na ostateczną wartość ciśnienia efektywnego. Współczynnik ten może przyjmować wartości z trzech różnych zakresów: I) a < I; równanie (3) jest równaniem ciśnienia efektywnego w postaci zaproponowanej przez Biota i tych, którzy jego koncepcję rozwijali (np.: Nur & Byerlee, 1971; Rice i Cleary, 1976; Zienkiewicz i Shiomi, 1984; Detoumay i Cheng 1993). Zakres stosowalności równania (3) jest w tej postaci automatycznie ograniczony do zakresu stosowalności teorii konsolidacji Biota a co za tym idzie do zakresu stosowalności prawa Hooke'a. 2) a = I; równanie (3) przyjmuje klasyczną, sformułowaną przez von Terzaghiego (Terzaghi, 1923) postać (l). Możliwości jego zastosowania do skał ograniczają - wspomniane we wstępie do niniejszej pracy - warunki Handina (por. Handin i in., 1963). Wa:l:nym podsumowaniem rozważań teoretycznych na temat granic stosowalności wzoru Terzaghiego jest praca BIuhma i de Boera (1996). 3) [...]; równanie, w którym dopuszcza się wartość współczynnika a > l. Na obecnym etapie badań nie ma możliwości stwierdzenia, jakie są rzeczywiście maksymalne możliwe wartości tego współczynnika. Podana wartość ograniczenia "od góry" wynika jedynie z warunków eksperymentu (ciśnienie porowe nie może być większe od okólnego - por. rozdz. I). To, że współczynnik ten może przyjmować wartości większe od jedności zostało po raz pierwszy pokazane doświadczalnie przez Gustkiewicza i in. (2004) w odniesieniu do różnicowej granicy wytrzymałości. Przyczyn tak znaczącego wzrostu roli ciśnienia porowego dla rozważanej właściwości materiału należy upatrywać w pojawieniu się między skałą a płynem porowym nie tylko oddziaływań czysto mechanicznych, ale także procesów fizykochemicznych - przede wszystkim sorpcji. Szerzej na ten temat m.in. Gustkiewicz i in. (2004), Gustkiewicz i Nowakowski (2005) i Nowakowski (2005). Należy także zauważyć, że - w przeciwieństwie do rozważań wynikających z teorii Biota - przedstawiona w rozdz. I i 2 niniejszej pracy procedura wyznaczania równania i wartości ciśnienia efektywnego nie przesądza o matematycznej postaci tego równania. W szczególności nic nie stoi na przeszkodzie, aby wprowadzona do rozważań w rozdz. I powierzchnia [...] nie była powierzchnią prostokreślną. W takim przypadku wyróżniona na powierzchni Q(p, pp) krzywa (10) nie musi być linią prostą, a w konsekwencji nie musi być prostą również jej rzut na płaszczyznę (P,pp) dany równaniem (I l). Oznacza to, że równanie ciśnienia efektywnego (I l) może być równaniem nieliniowym ze względu na ciśnienie porowe Pp.