Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Dynamic displacement tracking in viscoelastic solids by actuation stresses: a one-dimensional analytic example involving shock waves

Irschik Hans, Krommer Michael

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences

|

2023

|

Vol. 71, nr 3

art. no. e144616

EN

A one-dimensional (1D) analytic example for dynamic displacement tracking in linear viscoelastic solids is presented. Displacement tracking is achieved by actuation stresses that are produced by eigenstrains. Our 1D example deals with a viscoelastic half-space under the action of a suddenly applied tensile surface traction. The surface traction induces a uni-axial shock wave that travels into the half-space. Our tracking goal is to add to the applied surface traction a transient spatial distribution of actuation stresses such that the total displacement of the viscoelastic half-space coincides with the shock wave produced by the surface traction in a purely elastic half-space. We particularly consider a half-space made of a viscoelastic Maxwell-type material. Analytic solutions to this tracking problem are derived by means of the symbolic computer code MAPLE. The 1D solution presented below exemplifies a formal 3D solution derived earlier by the present authors for linear viscoelastic solids that are described by Boltzmann hereditary laws. In the latter formal solution, no reference was made to shock waves. Our present solution demonstrates its validity also in the presence of singular wave fronts. Moreover, in our example, we show that, as was also indicated in our earlier work, the actuation stress can be split into two parts, one of them producing no stresses, and the other no displacements in two properly enlarged problems.

2

Learning reduplication with a neural network that lacks explicit variables

Prickett Brandon, Traylor Aaron, Pater Joe

Journal of Language Modelling

|

2022

|

Vol. 10, No.1

1--38

EN

Reduplicative linguistic patterns have been used as evidence for explicit algebraic variables in models of cognition.1 Here, we show that a variable-free neural network can model these patterns in a way that predicts observed human behavior. Specifically, we successfully simulate the three experiments presented by Marcus et al. (1999), as well as Endress et al.’s (2007) partial replication of one of those experiments. We then explore the model’s ability to generalize reduplicative mappings to different kinds of novel inputs. Using Berent’s (2013) scopes of generalization as a metric, we claim that the model matches the scope of generalization that has been observed in humans. We argue that these results challenge past claims about the necessity of symbolic variables in models of cognition.

3

Adaptive robust simultaneous stabilization controller with tuning parameters design for two dissipative Hamiltonian systems

Cao Z., Hou X., Zhao W.

Archives of Control Sciences

|

2017

|

Vol. 27, no. 4

505--525

EN

This paper investigates the problem of adaptive robust simultaneous stabilization (ARSS) of two dissipative Hamiltonian systems (DHSs), and proposes a number of results on the controller parameterization design. Firstly, an adaptive H∞ control design approach is presented by using the dissipative Hamiltonian structural for the case that there are both external disturbances and parametric uncertainties in two DHSs. Secondly, an algorithm for solving tuning parameters of the controller is proposed using symbolic computation. The proposed controller parameterization method avoids solving Hamilton-Jacobi-Issacs (HJI) equations and the obtained controller is easier as compared to some existing ones. Finally, an illustrative example is presented to show that the ARSS controller obtained in this paper works very well.

4

Simple C# classes for fast multivariate polynomial symbolic computation – Part III: Polynomial multiplication algorithm and its efficiency

Sowa M.

Prace Naukowe Politechniki Śląskiej. Elektryka

|

2016

|

z. 1

93--103

EN

Part I of the paper represented the implementation details of a lightweight C# implementation of symbolic computation of multivariate polynomials. Part II represented the results of an analysis of the numerical efficiency. The current part discusses the multiplication and exponentiation operations. An original algorithm for sparse multivariate polynomial multiplication is proposed. An analysis on polynomial exponentiation is also performed.

PL

Część I niniejszego artykułu zawierała szczegóły prostej implementacji obliczeń symbolicznych wielomianów wielu zmiennych. W części II przedstawiono wyniki analizy efektywności numerycznej. Niniejsza część omawia operacje mnożenia i potęgowania. Zaproponowano oryginalny algorytm do mnożenia rzadkich wielomianów wielu zmiennych. Przeprowadzona jest również analiza na temat potęgowania wielomianów.

5

Simple C# classes for fast multivariate polynomial symbolic computation – Part II: Analysis of numerical efficiency

Sowa M.

Prace Naukowe Politechniki Śląskiej. Elektryka

|

2016

|

z. 1

79--89

EN

In part I of the paper the implementation details of a lightweight C# implementation of symbolic computation of multivariate polynomials has been presented. The current part presents the results of an analysis of the numerical efficiency. The symbolic addition/subtraction, differentiation and definite integration operations are studied. The multiplication and exponentiation operators are discussed in part III.

PL

W części pierwszej niniejszego artykułu przedstawiono szczegóły dotyczące prostej implementacji (w języku C#) obliczeń symbolicznych na wielomianach wielu zmiennych. W niniejszej części zaprezentowano wyniki analizy efektywności numerycznej. Zbadano operacje symboliczne dodawania/odejmowania, różniczkowania symbolicznego oraz całkowania oznaczonego. Operacje mnożenia i potęgowania omówiono w części III.

6

Simple C# classes for fast multivariate polynomial symbolic computation – Part I: Implementation details

Sowa M.

Prace Naukowe Politechniki Śląskiej. Elektryka

|

2016

|

z. 1

67--77

EN

The paper deals with a lightweight C# implementation that allows to perform symbolic computation on multivariate polynomials in expanded forms. The classes called SPoly and SMono (which represent the expressions) are explained along with their limitations. Furthermore a few remarks are made on the usefulness of methods working as += and –= operators. A further analysis of the implementation is given in parts II and III of the paper.

PL

W artykule opisano prostą implementację (w języku C#) możliwości wykonywania obliczeń symbolicznych na wielomianach wielu zmiennych. Klasy opisujące wyrażenia symboliczne (zwane SPoly i SMono) zostały objaśnione. W publikacji również wymieniono ich ograniczenia. Ponadto wypunktowano kilka korzyści jakie przynosi zastosowanie metod działających jako operatory += i –=. Dalszą analizę implementacji zaprezentowano w częściach II i III niniejszego artykułu.

7

Transformations and Soliton Solutions for a Variable-coefficient Nonlinear Schrödinger Equation in the Dispersion Decreasing Fiber with Symbolic Computation

Zeng Z.-F., Liu J.-G., Jiang Y., Nie B.

Fundamenta Informaticae

|

2016

|

Vol. 145, nr 2

207--219

EN

Describing the dispersion decreasing fiber, a variable-coefficient nonlinear Schrödinger equation is hereby under investigation. Three transformations have been obtained from such a equation to the known standard and cylindrical nonlinear Schrödinger equations with the relevant constraints on the variable coefficients presented, which turn out to be more general than those previously published in the literature. Meanwhile, several families of exact dark-soliton-like and bright-soliton-like solutions are constructed. Also, we obtain some similarity solutions, which can be illustrated in terms of the elliptic and the second Painlevé transcendent equations.

8

Symbolic computing in probabilistic and stochastic analysis

Kamiński M.

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

|

2015

|

Vol. 25, no. 4

961--973

EN

The main aim is to present recent developments in applications of symbolic computing in probabilistic and stochastic analysis, and this is done using the example of the well-known MAPLE system. The key theoretical methods discussed are (i) analytical derivations, (ii) the classical Monte-Carlo simulation approach, (iii) the stochastic perturbation technique, as well as (iv) some semi-analytical approaches. It is demonstrated in particular how to engage the basic symbolic tools implemented in any system to derive the basic equations for the stochastic perturbation technique and how to make an efficient implementation of the semi-analytical methods using an automatic differentiation and integration provided by the computer algebra program itself. The second important illustration is probabilistic extension of the finite element and finite difference methods coded in MAPLE, showing how to solve boundary value problems with random parameters in the environment of symbolic computing. The response function method belongs to the third group, where interference of classical deterministic software with the non-linear fitting numerical techniques available in various symbolic environments is displayed. We recover in this context the probabilistic structural response in engineering systems and show how to solve partial differential equations including Gaussian randomness in their coefficients.

9

Extended Generalized Hyperbolic-function Method and New Exact Solutions of the Generalized Hamiltonian and NNV Equations by the Symbolic Computation

Liu J.-G., Zeng Z.-F.

Fundamenta Informaticae

|

2014

|

Vol. 132, nr 4

501--517

EN

In this paper, with the aid of the computerized symbolic computation, we present an extended generalized hyperbolic-function method. Being concise and straightforward, it can be applicable to seek more types of solutions for certain nonlinear evolution equations (NLEES). In illustration, we choose the generalized Hamiltonian equations and the (2 + 1)-dimensional Nizhnik- Novikov-Veselov (NNV) equations to demonstrate the validity and advantages of the method. As a result, abundant new exact solutions are obtained including soliton-like solutions, traveling wave solutions etc. Themethod can be also applied to other nonlinear partial differential equations (NPDEs).

10

Application of the maxima in the teaching of science subjects at different levels of knowledge

Makarewicz A.

Advances in Science and Technology. Research Journal

|

2014

|

Vol. 8, nr 24

44--50

EN

In this paper I present a program Maxima, which is one of the best computer algebra system (CAS). The program is easy to use and offers many possibilities. In the text the interface, basic commands, and various examples to facilitate complex calculations in almost every field of mathematics are preented. I prove that the program can be used in secondary schools, upper secondary schools and college. Program’s capabilities are presented, including, among others, differentiation and symbolic integration, symbolic solving equations (including differential), simplifying algebraic expressions, matrix operations, the possibility of drawing graphs of 2D / 3D and others.

11

Specialized symbolic computation for steady state problems

Sowa M.

Informatyka, Automatyka, Pomiary w Gospodarce i Ochronie Środowiska

|

2013

|

nr 1

5--8

EN

An implementation of symbolic computation for steady state problems is proposed in the paper. A mathematical basis is derived in order to specify the quantities that the implementation will concern. An analysis is performed so that an optimal algorithm can be chosen in terms of the two chosen criteria – the operation time and memory needed to store symbolic expressions. The implementation scheme of the specialized class for symbolic computation is presented with the use of a general figure and by an example. The implementation is made in C++ but the presented idea can also be applied in other programming languages that share similar properties. A program using the proposed algorithm was studied for its efficiency in terms of calculation time and memory used by symbolic expressions. This is made by comparing the calculations made by the author’s program with those made by a script written in Mathematica.

PL

W artykule zaproponowano implementację obliczeń symbolicznych dla problemów w stanach ustalonych. Wyprowadzono podstawę matematyczną aby sprecyzować wielkości, dla których dokonana jest implementacja. Przeprowadzono analizę dzięki której dobrano optymalny algorytm pod względem wybranych kryteriów użyteczności tj. czasu wykonywania operacji oraz pamięci wymaganej do zapisu wyrażeń symbolicznych. Schemat implementacji specjalistycznej klasy do obliczeń symbolicznych przedstawiono za pomocą ogólnego schematu oraz z wykorzystaniem przykładu. Implementacji dokonano w języku C++ lecz ogólna idea przedstawiona jest w ten sposób, aby można ją było wykorzystać również w innych językach programowania o podobnych cechach. Wydajność programu wykorzystującego proponowany algorytm sprawdzono pod względem czasu wykonywania obliczeń i zajmowanej pamięci przez wyrażenia symboliczne. Dokonano tego poprzez porównanie obliczeń z autorskiego programu z wykonanymi przez skrypt napisany w programie Mathematica.

12

Zagadnienie brzegowe pola elektromagnetycznego struktury cylindrycznej z nieliniowym obszarem - rozwiązanie otrzymane metodą analityczno-numeryczną

Sowa M., Spałek D.

Prace Naukowe Politechniki Śląskiej. Elektryka

|

2012

|

z. 1

7--31

PL

W artykule jest rozważane nieliniowe zagadnienie z teorii pola elektromagnetycznego: struktura cylindryczna z powłoką o nieliniowej konduktywności umiejscowiona w polu sinusoidalnie zmiennym w czasie. Podjęto próbę określenia rozkładu wektorowego potencjału magnetycznego dla zadanych warunków brzegowych pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta) i drugiego rodzaju (warunek brzegowy Neumanna). W tym celu zastosowano metodę wykorzystującą rozwinięcie w szereg względem "małego parametru". Cechą charakterystyczną wybranej metody są obliczenia symboliczne. W dalszej kolejności, w celu sprawdzenia dokładności rozwiązania, zdefiniowano błędy równania różniczkowego (błąd całkowy i błąd maksymalny) i określono ich wartości oraz sprawdzono bilans mocy. Celem artykułu jest przedstawienie metody pozwalającej otrzymać rozwiązanie wzorcowe dla wybranych zagadnień teorii pola elektromagnetycznego, uwzględniających nieliniową konduktywność.

EN

A nonlinear problem in the electromagnetic field theory is considered: a cylindrical structure with a nonlinear conductive layer placed in a uniform sinusoidal field. An attempt was made to determine the magnetic vector potential distribution for imposed boundary conditions of the first (Dirichlet boundary condition) and second (Neumann condition) kind. For this purpose, a method that bases on the "small parameter" expansion is used. A characteristic feature of the chosen method is that it includes the need for symbolic calculation. Furthermore, in order to verify the solution, differential equation errors were defined and evaluated (integral error and maximum error). Additionally, the power balance was verified. The aim of this paper is to present a method allowing obtainment of a model solution for chosen problems in the electromagnetic field theory which involve nonlinear conductivity.

13

Symbolic computations in modern education of applied sciences and engineering

Kamiński M.

Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences

|

2008

|

Vol. 15, No. 2

143-163

EN

A presentation of the modern issues related to the symbolic computing is contained here together with the detailed discussion of its application to the education of various scientific and engineering academic disciplines. The future expansion of the symbolic environment is described here on the basis of their historical and modern developments presentation. As it is shown on the example of the MAPLE system, symbolic computational environments play the very important role in supporting the lectures and the classes in the computer labs. Those environments may be also very useful in teaching basic natural sciences in all those cases, when some algebraic or differential equations appear, must be solved and their results should be precisely discussed. The application of the MAPLE and similar computer systems in the engineering education seems to be unquestionable now and some examples are contained here to show how to improve the lectures and make them very interesting and exciting. The key feature offered by the symbolic computing is the opportunity to discover the knowledge that the students may do by themselves, when they are specifically leaded by the instructors.

14

Computational Methods with Symbolic Computation Systems

Krowiak A., Palej R., Struk R.

Vibrations in Physical Systems

|

2004

|

Vol. 21

223--226

15

Method of mathematical modelling of switched reluctance motors

Prokop Jan

Archives of Electrical Engineering

|

2004

|

Vol. 53, nr 3

309--335

EN

The paper describes a method of formulation of equations for switched reluctance motors (SRM) mathematical model. Basis of the method is created by equations of machine with not connected windings of stator poles and equations of constraints constant in the function of time and connected with internal structure of windings and equations of variable constraints imposed by electronic converter system as a result of cyclical switching of stator windings. A general structure of equations and method of defining the basic functions of switching system for various SRM control manners are presented. Simulation models for symbolic computation in the Maple system environment and simulation models for numerical computation in the Matlab/Simulink system are presented. In case of current control with harmonic analysis of currents and torque, results of example symbolic computations and results of simulation of stationary state of SRM are presented.

PL

W pracy przedstawiono metodę formułowania równań modelu matematycznego silników reluktancyjnych przełączalnych (SRM). Podstawę metody stanowią równania maszyny o niepołączonych uzwojeniach biegunów stojana oraz równania więzów stałych w czasie związane z budową wewnętrzną uzwojeń oraz równania więzów zmiennych narzucanych przez układ przekształtnika elektronicznego w wyniku cyklicznego przełączania uzwojeń stojana. Przedstawiono ogólną strukturę równań silników reluktancyjnych przełączalnych oraz metodę definiowania podstawowych funkcji układu przełączającego dla różnych sposobów sterowania SRM. Omówiono modele symulacyjne dla obliczeń symbolicznych w środowisku systemu Maple oraz numerycznych w systemie Matlab/Simulink. Przedstawiono wyniki przykładowych obliczeń symbolicznych oraz wyniki symulacji stanu ustalonego SRM przy sterowaniu prądowym z analizą harmoniczną prądów i momentu.

16

Application of computer algebra in symbolic computations and boundary-value problems of the theory of shells

Walentyński R.

Zeszyty Naukowe. Budownictwo / Politechnika Śląska

|

2003

|

z. 100

13-198

EN

The contribution consists of two parts. The first part deals with the application of the computer algebra system MATHEMATICS and the package for tensor analysis MathTensor in symbolic computations in the theory of shells. The second part is devoted to finding an approximate solution of shell boundary value problems. The contribution is neither a theory of shells nor does it aspire to be a theory of approximation. The problem related to shells, being an object of interest - the description of bodies in a curved space, is the background of considerations: 1) the possibility of showing various tools of computer assistance in symbolic .computations, 2) a proposal of the application of some approach to the Least Squares Method in search for approximate solutions applying computer algebra. The consideration in the first part is preceded by a presentation of basic relations of the considered theory of shells. One approach to the theory of shells has been explored, but ways of the application of computer algebra tools presented in the contribution may be further developed in other theories. The aim of this part of the contribution is to present an effective application of computer algebra system capabilities of formulating equations and their adaptation for further numerical computations. It has been shown that computer algebra is not "a wizard box" for an automatic derivation of expressions, but an assistant device, which helps a conscious research worker to obtain desired and reliable results. Ways of the application of advanced tools of symbolic computations have been presented, which permit to receive final expressions in the desired and possibly simplest form. Moreover, it was presented that there is no need and that it is not advisable to neglect "ad hoc" any terms in expressions. Thanks to computer algebra applications it has been possible to determine the constitutive relations of shells, which satisfy the last equation of equilibrium (2.51). The reliability of results is an important aspect of this part of the contribution. Thus, special emphasis is put on the scrutiny of the obtained formulas. The computer algebra system is a program and only a program. Although it is an advanced technological product, the entire responsibility for the results is up to the user. The attention of the contribution is focused reasonably on linear problems and shells of simple shapes, as its aim is to present a rational application of the tool, the computer algebra system. However, it has been pointed out how it is possible to extend the range of consideration to nonlinear tasks. Such approaches to the tasks for computer algebra have been shown, that the computations might be completed successfully and as quickly as possible. The results of symbolic computations presented in the contribution are differential equations in terms of displacements and other relations for a cylindrical shell. The approximation of equations derived in the first part is considered in the next part of the contribution. An application of some approach to the Least Squares Method to search an approximate solution of the differential equation system is presented. In this approach to the method the functional, which is an object of minimization, is appended with terms taking into account boundary conditions. This makes it possible to simplify considerably the implementation of the method algorithm within the computer algebra environment and permits to approximate multidimensional tasks with a discontinuous boundary. Approximations of such tasks have been shown in several other contributions of the Author. Within the elements of implementation selected solutions of the application of advanced tools of the system have been presented, which permits to speed up the computational process, in particular the integration of polynomial expressions and the construction of a system matrix of algebraic equations and its decomposition. In boundary-value problems of shells, especially the considered long cylindrical shells the phenomenon of a boundary layer occurs, so that direct a approach to the problem by means of methods of numerical approximation slowly converges with an actual result. The application of the two step approach based on membrane approximation fails, due to the bending flexibility of cylindrical shells in the parallel direction. These difficulties have been overcome applying the proposed approach of the Least Squares Method. By means of computational experiment a boundary-condition phenomenon has been discovered - that is connected not only with the method, but also with the character of the differential equations - which permits to approximate described the problem with a tenth-order operator taking into account only four boundary conditions applied in the membrane approach. The obtained approximation has been called base solution and is feasible in most of the domain, excluding the boundary layer. This discovery becomes the basis of the two-step approach proposal, presented by examples of two tasks related to cylindrical shells. This approximation is as stable as that obtained by means of the method based on membrane approximation and simultaneously free from the already mentioned disadvantages of this approach. In the first step the task is approximated taking into account selected boundary conditions. Neglected boundary conditions are satisfied locally in the second step. Additional methods of global and local error evaluation are shown, They allow, among others, to find a phenomenon of false convergence. An effective parameter of error evaluation is the value of the minimized functional. The Least Squares Method is a global approach. Its results are functions and in this context it is an analytical approach. Therefore, there is no problem with differentiation and integration, the problem of interpolation and extrapolation does not occur, either. The estimation of a global and local error of approximation is straightforward. Thanks to that the approach is free from disadvantages of discrete methods and in times of computer algebra development may become a tool of scrutiny and moreover an alternative to numerical methods. The most important feature is the discovered possibility of a two-step solution of tasks with a boundary layer. Thus, it may be applied in other tasks of mechanics and mathematical physics, where similar phenomena occur. Opposite to asymptotic approaches the method requires neither the setting up of assumptions of small parameter nor to lower the order of the differential operator. Thus, it may be applied to the problems of a wider class. The contribution shows a wide spectrum of computer algebra applications starting with formulating equations of the problem, through numerical computations, to the publication of results . The computer algebra system has been employed in the production of most contribution graphics and formulas. The processing of results is a crucial technical element connected with scientific work. The Author hopes that the presented considerations might become at least an inspiration to apply modern tools of computer assistance in processes of formulating and solving complex problems of mechanics and physics.

PL

Praca składa się z dwóch części. W części pierwszej przedstawiono zastosowanie systemu algebry komputerowej MATHEMATICA oraz pakietu analizy tensorowej MathTensor do obliczeń symbolicznych w teorii powłok. Część druga dotyczy znajdowania rozwiązania przybliżonego zagadnienia brzegowego powłok. Praca nie jest teorią powłok, ani też nie aspiruje do miana teorii aproksymacji. Zagadnienia związane z powłokami, z uwagi na przedmiot zainteresowali - opis ciał w zakrzywionej przestrzeni, stanowią kanwę rozważań z uwagi na: 1) możliwość pokazania różnorodnych narzędzi wspomagania komputerowego w zakresie obliczeń symbolicznych, 2) propozycję zastosowania pewnego ujęcia Metody Najmniejszych Kwadratów do znajdowania rozwiązań przybliżonych z wykorzystaniem algebry komputerowej. Rozważania części pierwszej poprzedzono zestawieniem podstawowych zależności omawianej teorii powłok. Omówiono jedno z podejść do teorii powłok, jednak przedstawione w pracy sposoby zastosowania narzędzi algebry komputerowej mogą być wykorzystane w innych teoriach. Celem tej części pracy jest przedstawienie możliwości efektywnego wykorzystania systemu algebry komputerowej w formułowaniu równań oraz ich przygotowaniu do dalszych obliczeń numerycznych. Pokazano, że algebra komputerowa nie jest "czarodziejską skrzynką" do automatycznego uzyskiwania wyrażeń ale asystentem pomagającym świadomemu badaczowi na uzyskanie żądanych i wiarygodnych wyników. Przedstawiono tu sposoby wykorzystania szeregu zaawansowanych narzędzi obliczeń symbolicznych, które pozwalają na uzyskanie końcowych wyrażeń w żądanej i możliwie najprostszej postaci. Ponadto pokazano, że nie trzeba, ba nawet nie należy pomijać "ad hoc" jakichkolwiek wyrazów w wyrażeniach. Dzięki wykorzystaniu algebry komputerowej udało się wyznaczyć związki konstytutywne powłok spełniające ostatnie równanie równowagi (2.51). Ważnym aspektem tej części pracy jest problem wiarygodności wyników. Dlatego też, szczególną uwagę poświęca się weryfikacji otrzymanych wzorów. System algebry komputerowej jest programem i tylko programem i mimo swojego zaawansowania technicznego całą odpowiedzialność za wyniki ponosi jego użytkownik. W pracy uwaga została skupiona celowo na zagadnieniach liniowych i powłokach o prostych kształtach, gdyż jej celem jest przedstawienie racjonalnego wykorzystania narzędzia, jakim jest system algebry komputerowej. Wskazano jednakże, w jaki sposób można rozszerzyć zakres rozważań na przypadki zadań nieliniowych. Pokazano sposoby takiego formułowania zadań dla systemu algebry komputerowej, aby obliczenia zakończyły się powodzeniem i przebiegały możliwie jak najszybciej. Wynikiem obliczeń symbolicznych przedstawionych w pracy są przemieszczeniowe równania różniczkowe i inne związki dla powłoki walcowej. Aproksymacja równań otrzymanych w części pierwszej jest przedmiotem rozważań następnej części opracowania. Przedstawiono tu zastosowanie pewnego ujęcia Metody Najmniejszych Kwadratów do znajdowania rozwiązania przybliżonego układu równań różniczkowych. W tym ujęciu metody funkcjonał, będący przedmiotem minimalizowania, uzupełniono o wyrazy uwzględniające warunki brzegowe. Pozwala to na znaczne uproszczenie wdrożenia algorytmu metody w obrębie środowiska algebry komputerowej oraz umożliwia aproksymację zadań wielowymiarowych z nieciągłym brzegiem. Aproksymacje tego typu zadań pokazano w kilku innych pracach Autora. W ramach przedstawionych elementów wdrożenia metody przedstawiono wybrane rozwiązania wykorzystania zaawansowanych narzędzi systemu algebry komputerowej pozwalające na przyśpieszenie procesu obliczeniowego, w szczególności całkowania wyrażeń wielomianowych i budowy macierzy układu równań algebraicznych i jej dekompozycji. W zagadnieniu brzegowym powłok, a w szczególności rozważanych długich powłok walcowych, występuje zjawisko warstwy brzegowej, które sprawia, że podejście bezpośrednie do problemu z użyciem metod aproksymacji numerycznej wolno zbiega się do poprawnego wyniku. Zastosowanie podejścia dwuetapowego opartego na przybliżeniu błonowym okazuje się zawodne z uwagi na podatność powłok walcowych na zginanie w kierunku równoleżnikowym. Trudności te udało się pokonać z zastosowaniem proponowanego ujęcia Metody Najmniejszych Kwadratów. W wyniku eksperymentu obliczeniowego odkryto zjawisko warunku brzegowego - jak się okazuje związane nie tylko z metodą, ale i charakterem równań różniczkowych - pozwalające na aproksymację problemu opisanego operatorem różniczkowym dziesiątego rzędu z uwzględnieniem jedynie czterech warunków brzegowych - stosowanych w podejściu błonowym. Uzyskana aproksymacja nazwana rozwiązaniem bazowym jest poprawna na większości dziedziny problemu z wyjątkiem warstwy brzegowej. To odkrycie stało się podstawą zaproponowania podejścia dwuetapowego, przedstawionego na przykładach dwóch zadań dotyczących powłok walcowych. Przybliżenie to jest stabilne i szybko zbieżne tak jak to otrzymywane w metodzie opartej na przybliżeniu błonowym i jednocześnie wolne od już wspomnianych wad tego podejścia. W pierwszym etapie zadanie jest przybliżane z wybranymi warunkami brzegowymi. Pominięte warunki brzegowe są spełniane lokalnie w drugim kroku. W pracy przedstawiono interpretację fizyczną zaobserwowanego zjawiska obliczeniowego oraz dokonano próby jego wyjaśnienia od strony matematycznej. Przy okazji wskazano na potencjalnie szerokie pole zastosowań metody. Pokazano dodatkowe metody oceny błędu lokalnego i globalnego aproksymacji pozwalające między innymi wykryć zjawisko pozornej zbieżności. Efektywnym parametrem oceny błędu jest wartość minimalizowanego funkcjonału. Metoda Najmniejszych Kwadratów jest globalnym podejściem do problemu. Wynikiem rozwiązania są funkcje i w tym sensie jest metodą analityczną. Dlatego też nie ma kłopotu z różniczkowaniem lub całkowaniem, nie występuje też problem interpolacji i ekstrapolacji. Łatwo też ocenić lokalny i globalny błąd aproksymacji. Dzięki temu podejście jest wolne od wad metod dyskretnych i w dobie rozwoju systemów algebry komputerowej może stać się narzędziem weryfikacyjnym, a nawet alternatywą dla metod numerycznych. Najistotniejszą cechą jest jednak dostrzeżona możliwość rozwiązywania dwuetapowego zadań z warstwą brzegową. Może zatem znaleźć zastosowanie w innych zagadnieniach mechaniki i fizyki matematycznej, w których występują podobne zjawiska. W przeciwieństwie do podejść asymptotycznych metoda nie wymaga stawiania założeń o małym parametrze oraz obniżania rzędu operatora różniczkowego. W związku z tym może być wykorzystana do aproksymacji szerszej klasy zadań. Praca pokazuje szerokie spektrum wykorzystania systemu algebry komputerowej od formułowania równań problemu, poprzez obliczenia numeryczne, do publikacji wyników. System algebry komputerowej został wykorzystany do przygotowania większości grafiki występującej w pracy oraz wzorów. Opracowanie wyników do publikacji stanowi istotny, techniczny element związany z pracą naukową. Autor żywi nadzieję, że przedstawione w pracy rozważania staną się przynajmniej inspirujące do wykorzystania nowoczesnych narzędzi wspomagania komputerowego w procesie formułowania oraz rozwiązywania złożonych problemów mechaniki i fizyki.