Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Some remarks on a mathematical model of COVID-19 pandemic with health care capacity

Krawczyk Joanna, Kowalewska Agnieszka, Bodnar Marek

Mathematica Applicanda

|

2022

|

Vol. 50, no. 1

23--42

EN

In this paper, a SEIR model proposed in an article “Dynamic analysis of mathematical model with health care capacity for COVID-19 pandemic” by S. Çakan (2020) is analysed. The model describes COVID-19 pandemic spread affected by healthcare capacity and is expressed by a system of delay differential equations. To prove the local stability of stationary states, S. Çakan uses linearization technique, though she does this as if the equations did not depend on the delay. Additionally, it is shown that the crucial argument used by S. Çakan to prove boundedness of the solutions is not correct, which implies that the proofs of global stability in the original article are not correct either. In this paper, improved proofs of local and global stability of the stationary states are provided. For local stability of the stationary states a standard linearization technique is used. Global stability of the stationary states is proved based on Lyapunov’s functionals. Although the functionals are the same as those proposed by S. Çakan, additional properties of the solutions (in the case of disease–free stationary state) and the functional (in the case of the endemic stationary state) are proved.

PL

W artykule rozważono model epidemiologiczny typu SEIR opisujący dynamikę rozprzestrzeniania się pandemii COVID-19 z uwzględnieniem wydolności służby zdrowia, zaproponowany przez S. Çakan w “Dynamic analysis of mathematical model with health care capacity for COVID-19 pandemic” (2020). Model jest opisany za pomocą układu równań różniczkowych z opóźnieniem. Nieznacznie zmodyfikowaliśmy układ zaproponowany przez S. Çakan i przeprowadziliśmy jego pogłębioną analizę. Dowody lokalnej stabilności przedstawione w oryginalnym artykule były oparte na linearyzacji, jednak pomijały zależność układu równań od opóźnienia. Dodatkowo wykazaliśmy, że kluczowy argument używany przez S. Çakan w dowodzie ograniczoności rozwiązań jest niepoprawny, co oznacza, że przedstawione przez nią powodu przedstawiamy tutaj poprawione dowody lokalnej i globalnej stabilności stanów stacjonarnych. W dowodzie lokalnej stabilności skorzystaliśmy z twierdzenia o linearyzacji dla układów równań różniczkowych z opóźnieniem, natomiast globalną stabilność wykazaliśmy korzystając z funkcjonałów Lapunowa. Przyjęliśmy funkcjonały Lapunowa zaproponowane przez S. Çakan, jednak po wcześniejszym udowodnieniu dodatkowych własności rozwiązań (dla stanu stacjonarnego wolnego od infekcji) oraz funkcjonału (w przypadku endemicznego stanu stacjonarnego). Dzięki temu uzyskaliśmy poprawne dowody globalnej i lokalnej stabilności stanów stacjonarnych.

2

Metody wyznaczania stanów stacjonarnych bioreaktora airlift dla wybranych struktur hydrodynamicznych fazy ciekłej

Grzywacz R.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

|

2003

|

T. 24, z. 4

567-587

PL

Przedstawiono sposób modelowania matematycznego reaktora airlift w zależności od założonej struktury strumieni fazy ciekłej. Zaproponowano utworzenie czterech modeli matematycznych opartych na analizie hydrodynamicznej. Dla każdego modelu przedstawiono algorytm wyznaczania pętli histerezy stanów stacjonarnych. Obliczenia testowe przeprowadzono dla procesu biodegradacji fenolu. Uzyskane wyniki przedstawiono w postaci wykresów bifurkacyjnych.

EN

A method for the mathematical modelling of an airlift reactor in dependence on established structure of liquid phase stream has been presented. On the basis of the hydrodynamic analysis, four mathematical models were proposed. The algorithms of determining the steady-states hysteresis loops for every model have been presented. The test calculations were carried out for the process of phenol biodegradation. The results obtained were presented in the form of bifurcation diagrams.

3

Złożona struktura stanów stacjonarnych układu równolegle połączonych reaktorów zbiornikowych

Berezowski M.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

|

2002

|

T. 23, z. 4

PL

Dokonano analizy teoretycznej statyki układu złożonego z dwóch równolegle połączonych adiabatycznych reaktorów zbiornikowych, pracujących w systemie dynamicznie otwartym lub zamkniętym recyrkulacją masy. Wykazano, iż mimo swej prostoty, system może generować bardzo skomplikowane rozwiązania stacjonarne. Stwierdzono, że struktura tych rozwiązań jest bardziej złożona, gdy nie ma recyrkulacji. Wykazano istnienie dziewięciu stanów stacjonarnych i izoli.

EN

Theoretical analysis of static behaviour of a set of two parallel adiabatic tank reactors with mass recycle was performed. It was proved that in spite of its simplicity, the system can generate complicated steady state solutions. It was found that the steady state solution structure is the most complicated one when there is no circulation at all. Nine steady states and isola were found in this case.

4

Statyczna i dynamiczna struktura stanów stacjonarnych kaskady bioreaktorów dla procesu mikrobiologicznego z podwójnym poziomem troficznym

Grzywacz R., Tabiś B.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

|

2002

|

T. 23, z. 3

325-339

PL

Dokonano systematycznej, ilościowej analizy właściwości kaskady bioreaktorów z częściową recyrkulacją i zagęszczaniem biomasy. Szczegółowo omówiono zjawisko wielokrotności wtórnej stanów stacjonarnych, które wykryto w bioreaktorach zbiornikowych dla procesów mikrobiologicznych z dwoma poziomami troficznymi typu drapieżca-ofiara, przebiegających w obecności tzw. kryjówek mikrobiologicznych. Określono wpływ stopnia niedostępności ofiar, zagęszczania biomasy oraz rozłożenia objętości reakcyjnych w obiekcie na strukturę i stabilność liniową stanów stacjonarnych. Podjęto próbę wyjaśnienia wpływu mikroorganizmów eukariotycznych i kryjówek mikrobiologicznych na stacjonarne cechy bioreaktorów.

EN

A comprehensive quantitative analysis on the non-linear stationary properties for a cascade of stirred tank bioreactors with partial recirculation and thickening of biomass has been carried out. The phenomenon of secondary multiplicities of the steady states discovered in such bioreactors for processes with two trophic levels was discussed in detail. The process analysed occurs according to the predator-prey scheme at the presence of so-called hiding places for prey. An influence of a degree of inaccessibility of the prey, thickening of biomass and distribution of operative volumes in the object on the structure and linear stability of the steady states has been evaluated. An attempt of explanation of the role of protozoa and hiding places for the prey on stationary properties of the bioreactors was undertaken.