Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Derivation of equations of motion and supplementary natural boundary conditions for a slender single column subjected to Euler’s load using Hamilton’s principle

Kuliński Krzysztof

Zeszyty Naukowe Politechniki Częstochowskiej. Budownictwo

|

2023

|

Z. 29 (179)

61--66

EN

In this paper the derivation process of motion equations and boundary conditions for a slender mechanical system on the basis of Hamilton’s principle is presented. In order to apply the Hamilton’s principle, first of all it is necessary to define appropriate general variables that describe the motion of the considered system. In the case of slender mechanical systems, natural coordinates are usually used, which are well suited to the system geometry and its motional characteristics. Based on Hamilton's principle, an appropriate action functional is constructed, which is the Lagrangian integral covering the appropriate general variables and time. The Lagrangian describes the well-known difference between the kinetic and potential energy of a system. A step by step derivation of a motion equation and supplementary natural boundary conditions in regard to an example of a slender clamped-free column subjected to Euler’s load is discussed. The obtained equation with a set of geometrical and natural boundary conditions gives the possibility to thoroughly analyse both analytically or numerically system dynamics and/or static response. Despite that the discussed method is time consuming and requires advanced mathematical techniques, it makes it possible to obtain exact or approximate motion equations even for complex problems, what can be difficult or even impossible to achieve using other known methods.

PL

Przedstawiono proces wyprowadzania rownań ruchu i naturalnych warunkow brzegowych smukłego układu mechanicznego na podstawie zasady Hamiltona. Aby zastosować zasadę Hamiltona, należy przede wszystkim zdefiniować odpowiednie zmienne ogolne opisujące ruch rozpatrywanego układu. W przypadku smukłych układow mechanicznych stosuje się zwykle tzw. wspołrzędne naturalne, ktore są dobrze dopasowane do geometrii układu i jego charakterystyk ruchu. Wykorzystując zasadę Hamiltona, konstruuje się odpowiedni funkcjonał ruchu, ktorym jest całka Lagrange’a smukłego układu po odpowiednich zmiennych ogolnych i czasie. Lagranżjan opisuje dobrze znaną rożnicę między energią kinetyczną i potencjalną układu. W pracy przedstawiono proces krok po kroku wyprowadzania rownania ruchu i uzupełniających naturalnych warunkow brzegowych w odniesieniu do smukłego słupa o jednym końcu utwierdzonym, a drugim wolnym, ktory to poddany jest obciążeniu Eulera. Otrzymane rownanie wraz ze zbiorem geometrycznych i naturalnych warunków brzegowych daje możliwość dokładnej analizy analitycznej lub numerycznej odpowiedzi dynamicznej i/lub statycznej układu. Pomimo tego, że omawiana metoda jest czasochłonna i wymaga zaawansowanych technik matematycznych, pozwala ona na uzyskanie dokładnych lub przybliżonych rownań ruchu nawet dla złożonych problemow, co przy innych znanych metodach może być trudne lub wręcz niemożliwe do osiągnięcia.

2

The effect of torsional rigidity between elements on free vibrations of a telescopic hydraulic cylinder subjected to Euler’s load

Uzny S., Kutrowski Ł.

Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

|

2017

|

Vol. 16, nr 3

117--122

EN

The boundary problem of free vibrations of a hydraulic telescopic cylinder, subjected to Euler’s load was presented in this work. The task was formulated on the basis of the Hamilton’s principle. The computational model, formulated by Tomski, was taken into account during analysis. Numerical calculations concern free vibrations of multi-stage hydraulic telescopic cylinder. Results were presented in the form of characteristic curves on the plane: external load-natural vibration frequency. Non-dimensional parameters of the structure were defined in reference to the characteristic parameters of the piston rod. During numerical simulations, an influence of a non-dimensional stiffness parameter between following elements on free vibrations of a hydraulic telescopic cylinder was determined for a different number of cylinder stages.

3

Free Vibrations and Stability of Geometrically Non-Linear Column Loaded by a Force Directed Towards a Positive Pole Partially Lying on Winkler Elastic Foundation

Szmidla J., Jurczyńska A.

Machine Dynamics Research

|

2014

|

Vol. 38, No. 2

59-68

EN

The results of theoretical and numerical research on the stability and free vibrations of a geometricaly non-linear column loaded by a force directed towards a positive pole partially lying on Winkler elastic foundation are presented in the paper. Equations of motion and boundary conditions of considered structures were formulated on the basis of the principle of minimum potential energy and the Hamilton’s principle and then solved using the small parameter perturbation method. For non-linear system and linear column respectively, the value of bifurcation and critical load was obtained for various values of geometrical and physical parameters of considered structures. The ranges of local and global instability were determined. Application of Winkler’s elastic base causes an increase in the value of the bifurcation load and this is the method which allows the geometrically non-linear system to exit from the region of the local instability. The courses of natural vibration frequencies in relation to the external load and the influence of the physical and geometrical parameters on its value are determined.

4

Optimization of slender systems by means of genetic algorithms

Sokół K., Kulawik A.

Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

|

2014

|

Vol. 13, nr 1

115--124

EN

In this paper, the results of numerical studies on optimization of a geometrically nonlinear column with an internal crack by means of genetic algorithms are presented. The system is loaded by an axially applied external force P with a constant line of action. The presented problem is formulated on the basis of the principle of stationary total potential energy. The main purpose of this paper is to investigate an influence upon the localization of the crack and flexural rigidity ratio on critical loading of the system and to find an optimum localization of the crack in order to achieve high loading capacity. In order to calculate optimum values of these parameters the genetic algorithms are implemented into computer program. The artificial method of solution of the problem has been used due to the strongly nonlinear nature of the investigated problem.

5

Vibrations and Stability of a Column Subjected to the Specific Load Realized by Circular Elements of Heads

Tomski L., Uzny S.

Mechanics and Mechanical Engineering

|

2013

|

Vol. 17, nr 2

197--206

EN

Research into columns subjected to a specific load considering a constructional solution consisting of circular elements is an aim of the paper. The boundary problem of stability and free vibrations of the considered system for a generalised load by a force directed towards the positive pole was formulated on the basis of Hamilton’s principle. The boundary conditions concerning the load by a follower force directed towards the positive pole were deduced on the basis of the boundary conditions of the column subjected to a generalised load by a force directed towards the positive pole. In this paper, the load by the follower force was treated as a special case of the generalised load by a force directed towards the positive pole. Apart from the formulation of and solution to the boundary problem of the columns subjected to the specific load, the results of numerical computations connected to the static problem and free vibrations of the considered systems were also presented.

6

Nieliniowa składowa częstości drgań własnych kolumny poddanej obciążeniu Eulera (krzywoliniowa postać równowagi statycznej)

Uzny S.

Modelowanie Inżynierskie

|

2011

|

T. 11, nr 42

441-448

PL

W pracy rozważa się drgania smukłego układu geometrycznie nieliniowego wokół krzywoliniowej postaci równowagi statycznej. Układ poddano działaniu ściskającej siły zewnętrznej Eulera. Na podstawie zagadnienia brzegowego przeprowadzono obliczenia numeryczne dotyczące liniowej i nieliniowej składowej częstości drgań własnych, które wykonano przy różnych wartościach parametrów układu.

EN

Boundary value problem concerning to free vibrations of geometrically nonlinear slender system subjected to compressed external Euler force was formulated and solved in this work. On account nonlinearity the small parameter method has been used. In this work curvilinear form of static equilibrium is considered. On the basis of boundary value problem the calculations concerning to linear and nonlinear components of free vibrations frequency have been carried out. Numerical calculations was carried out at different values of system parameters.

7

Nieliniowa składowa częstości drgań własnych kolumny poddanej obciążeniu Eulera (prostoliniowa postać równowagi statycznej)

Uzny S.

Modelowanie Inżynierskie

|

2011

|

T. 11, nr 42

449-456

PL

W pracy sformułowano i rozwiązano zagadnienie brzegowe dotyczące drgań własnych smukłego układu geometrycznie nieliniowego poddanego działaniu ściskającej siły zewnętrznej Eulera. Ze względu na nieliniowość wykorzystano metodę małego parametru. Rozważaniom poddano prostoliniową postać równowagi statycznej. Na podstawie zagadnienia brzegowego przeprowadzono obliczenia numeryczne dotyczące liniowej i nieliniowej składowej częstości drgań własnych. Obliczenia numeryczne wykonano przy różnych wartościach parametrów układu.

EN

Boundary value problem concerning to free vibrations of geometrically nonlinear slender system subjected to compressed external Euler force was formulated and solved in this work. On account of nonlinearity the small parameter method has been used. In this work rectilinear form of static equilibrium is considered. On the basis of boundary value problem the calculations concerning to linear and nonlinear components of free vibrations frequency have been carried out. Numerical calculations was carried out at different values of system parameters.

8

Chosen constructional solutions of the structures loading the Euler columns in vibration and stability studies

Kasprzycki A., Tomski L.

Archives of Civil and Mechanical Engineering

|

2011

|

Vol. 11, no 2

321-332

EN

The influence of the adapter type (rolling bearing, stiff cylindrical element) between coactive and load taking heads on stability and vibrations of Euler loaded columns has been analysed in this paper. Using a stiff cylindrical element in the load charging heads, in comparison to a rolling element, makes the rotating loop stiff between the two cooperating structure loading elements.

PL

W niniejszej pracy przeanalizowano wpływ rodzaju elementu pośredniczącego (łożysko toczne, sztywny element walcowy) pomiędzy głowicą wymuszającą i przejmującą obciążenie na stateczność i drgania kolumn poddanych obciążeniu Eulera. Zastosowanie elementu sztywnego walcowego, w głowicach realizujących obciążenie w porównaniu z elementem tocznym, powoduje usztywnienie węzła obrotowego pomiędzy dwoma współdziałającymi elementami struktury obciążającej układ.

9

A hydraulic cylinder subjected to Euler's load in aspect of the stability and free vibrations taking into account discrete elastic elements

Tomski L., Uzny S.

Archives of Civil and Mechanical Engineering

|

2011

|

Vol. 11, no 3

769-785

EN

Theoretical and numerical research into the stability and free vibrations of a slender system in the form of a hydraulic cylinder subjected to Euler's load was carried out in this paper. The rigidities in the constructional nods realising the load of the considered system were taken into account in the system. Both rotational and translational springs were applied to the loading nods. Regions of the flexural rigidity asymmetry factor for the piston rod and cylinder, where the system is subject to damage as a result of stability loss, were determined in the frame of numerical research into the hydraulic cylinder. In this paper critical load and characteristic curves were also determined in the plane: load-natural frequency. These two quantities were determined for different parameters of the system: the flexural rigidity asymmetry factor for the piston rod and cylinder, the degree of coverage of cylinder, the rigidities of the rotational and translational springs, and the total rigidity factor of the system.

PL

W niniejszej pracy przeprowadzono badania teoretyczne i numeryczne dotyczące stateczności i drgań własnych smukłego układu w postaci siłownika hydraulicznego, który poddano obciążeniu Eulera. W układzie uwzględniono sztywności w węzłach konstrukcyjnych realizujących obciążenie rozważanego układu. W węzłach obciążających zastosowano sprężyny rotacyjne jak i translacyjne. W ramach badań numerycznych siłownika hydraulicznego określono obszary współczynnika asymetrii sztywności na zginanie tłoczyska i cylindra, przy których układ ulega zniszczeniu w wyniku utraty stateczności. W pracy wyznaczono również obciążenie krytyczne oraz krzywe charakterystyczne na płaszczyźnie obciążenie - częstość drgań własnych. Te dwie wielkości wyznaczono przy różnych wartościach parametrów układu, do których zalicza się współczynnik asymetrii sztywności na zginanie tłoczyska i cylindra, stopień przekrycia siłownika, sztywności sprężyn rotacyjnych i translacyjnej oraz współczynnik całkowitej sztywności układu.