Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 1

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: rozkład textsf{postGCA}

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

On derivation of maximal Spearman rho and maximal Kendall tau for bivariate distributions

Kowalczyk T.

Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk

2008

nr 1011

1-39

Grade Correspondence Analysis (\textsf{GCA}) is the basic grade procedure introduced in 1995 and applied to many finite multivariate datasets with $m$ rows (cases) and $k$ columns (variables). There are two kinds of this procedure: one ($\textsf{GCA}_S$) maximizes Spearman $rho$ ($\rho^*$), another ($\textsf{GCA}_K$) maximizes Kendall $tau$ ($\tau$). Indices $\rho^*$ and $\tau$ in the \textsf{postGCA} distributions are denoted $\rho^*_{\max}$ and $\tau_{\max}.$ If $\rho^*=\rho^*_{\max}$ then both grade regression functions are non-decreasing; furthermore, if $\rho^*=\rho^*_{\max}$ and the distribution is totally positive dependent of order 2 (i.e., is said to be $\textsf{TP}_2$) then $\rho^*=\rho^*_{\max}$ holds iff $\tau=\tau_{\max}.$ Any bivariate distribution which is $\textsf{TP}_2$ after $\textsf{GCA}_S$ is called $\textsf{preTP}_2.$ Generally, under suitably defined regularity of positive dependence, $\textsf{GCA}_S$ improves not only strength but also regularity of positive dependence. Two first sections of the present paper remind these facts and concepts for bivariate distributions with finite probability tables; next sections extend them onto continuous distributions for which $\textsf{GCA}_S$ is a sequence of {\em increasing rearrangements} for one grade regression function after another until both are non-decreasing. This technique is illustrated in detail for the Sarmanov family of bivariate distributions, the latter being $\textsf{preTP}_2$ and closed under $\textsf{GCA}_S$: any \textsf{postGCA} Sarmanov distribution is also Sarmanov and possesses property $\textsf{TP}_2.$ Moreover, if only one grade regression function of a Sarmanov distribution is increasingly rearranged, the resulting distribution belongs to the Sarmanov family. Section 3 synthesizes the immense literature on bivariate Sarmanov distributions, Section 4 essentially extends the knowledge of strength and regularity of monotone dependence in this family. Section 5 refers to $\textsf{GCA}_K.$

Gradacyjna Analiza Odpowiedniości (Korespondencji) jest podstawową gradacyjną procedurą wprowadzoną w 1995 roku i zastosowaną do wielu skończonych wielowymiarowych zbiorów danych z $m$ wierszami (obiekty) i $k$ kolumnami (zmienne). Istnieją dwa rodzaje tych procedur: jedna ($\textsf{GCA}_S$) maksymalizuje $rho$ Spearmana ($\rho^*$), druga ($\textsf{GCA}_K$) $tau$ Kendalla ($\tau$). Wskaźniki $\rho^*$ oraz $\tau$ w rozkładach \textsf{postGCA} są oznaczane $\rho^*_{\max}$ i $\tau_{\max}.$ Jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ to obie regresje gradacyjne są niemalejące; co więcej, jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ i rozkład ma własność $\textsf{TP}_2,$ czyli jest całkowicie dodatnio zależny rzędu 2, to równość $\rho^*=\rho^*_{\max}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\tau=\tau_{\max}.$ Dowolny dwuwymiarowy rozkład który nie jest $\textsf{TP}_2$ ale zyskuje tę własność po zastosowaniu procedury $\textsf{GCA}_S,$ jest nazywany $\textsf{preTP}_2.$ Ogólnie, $\textsf{GCA}_S$ poprawia nie tylko siłę ale i regularność dodatniej zależności (przy odpowiednio wybranej procedurze pomiaru regularności). Dwie pierwsze sekcje niniejszej pracy przypominają powyżej wspomniane fakty dla dyskretnych rozkładów dwuwymiarowych, następne sekcje dotyczą rozkładów ciągłych w których $\textsf{GCA}_S$ sprowadza się do kolejnego zastosowania procedury tzw. rosnących przestawień do każdej z gradacyjnych funkcji regresji tak długo, aż obie regresje staną się niemalejące. Procedura rosnących przestawień gradacyjnej funkcji regresji zostanie zilustrowana szczegółowo na przykładzie rodziny dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova, które są $\textsf{preTP}_2$ bądź $\textsf{TP}_2.$ Rodzina rozkładów Sarmanova jest zamknięta: dowolny rozkład Sarmanova nadal należy po $\textsf{GCA}_S$ do rodziny Sarmanova i posiada własność $\textsf{TP}_2.$ Ponadto, jeśli tylko jedna z gradacyjnych regresji zostanie zamieniona na rosnącą, to powstały rozkład będzie także należeć do rodziny Sarmanova. Sekcja 3 syntetyzuje olbrzymie piśmiennictwo na temat dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova; sekcja 4 istotnie rozszerza wiedzę o sile i regularności zależności monotonicznej zmiennych w tej rodzinie. Sekcja 5 odnosi się do $\textsf{GCA}_K.$