Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Modelowanie przepływu w ośrodku porowatym z nieliniowym prawem filtracji

Sławomirski M. R.

Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN

|

2008

|

Vol. 10, no. 1-4

193--204

PL

Tematem pracy jest analiza przepływu z nieliniowym dynamicznym prawem filtracji wiążącym prędkość filtracji U z jednostkowym spadkiem ciśnienia J w ośrodku porowatym. Rozpatrzono szczegółowo jedynie taką formułę dynamicznego prawa filtracji, która jest niezmiennicza względem odbicia lustrzanego oraz możliwa do bezpośredniego rozszerzenia na przepływy wielowymiarowe. Odrzucając znane z literatury formuły nie spełniające powyższych warunków (tj. traktowane jako niepoprawne fizykalnie) oraz stosując twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji i wykorzystując wyniki uzyskane z teorii homogenizacji rozważono przepływy z dynamicznym prawem filtracji w postaci dwuparametrowego równania trzeciego rzędu (13) lub równoważnie (14). Przeanalizowano prostoliniowy przepływ jednowymiarowy, przepływ osiowo-symetryczny oraz sferyczno-symetryczny. Uzyskano formuły na rozkład ciśnienia w strefie drenażu oraz nieliniową zależność między produkcją studni (odwiertu) a wielkością depresji w strefie drenażu. Podobnie, uzyskano rozkład ciśnienia w przepływie sferyczno-symetrycznym, a także formuły na zależność między natężeniem przepływu a występującym w takim przepływie spadkiem ciśnienia. Sformułowano równanie różniczkowe transportu opisujące dwuwymiarowy nieliniowy przepływ w ośrodku porowatym. Ze względu na istniejące nieliniowości równanie to może być rozwiązane jedynie metodami numerycznymi.

EN

The paper concerns the analysis of the incompressible fluid motion through porous media described by a nonlinear dynamic relationship between the superficial flow velocity U and pressure drop per unit of distance J. It has been assumed that the dynamic relationship describing fluid motion must be valid for one- and multidimensional fluid motions, and moreover, it must be invariant with respect to the refl ection of the co-ordinate system. U vs. J relationships encountered in the literature and violating the requirements mentioned above have been rejected. On the other hand, applying the Weierstrass approximation theorem with respect to U vs. J relationsip, and taking into account the results obtined from the homogenisation theory the author has assumed the third order relationsip between U and J represented by Eqs. (13) and (14). One-dimensional staighforward, cylindrical and spherical flows have been analysed. For the well neighbouring zone the pressure distribution and the relationship between well production and and pressure difference have been determined. In a similar way, the pressure distribution and the relationship between pressure drop and flow rate have been determined for spherical flow. Moreover, the transport equation for non-linear two-dimensional flow in a porous layer has been obtained. Owing to non-linearities the transport eqution may only be solved by means of the numerical methods.

2

Modelowanie numeryczne transportu substancji aktywnych z uwzględnieniem sorpcji i reakcji chemicznych w oparciu o równania różniczkowe adwekcji i kinetyki procesów

Sławomirski M. R.

Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN

|

2004

|

Vol. 6, no. 3-4

243--248

EN

The problem of transfer of active substances dissolved from underground depository of industrial waste materials by subsurface water has been considered. It is assumed that the advection of dissolved active substance is modified by diffusion, sorption, and chemical reactions occurring in the solution. The problem has been described by the system of non-linear partial differential equations. The system of equations has been solved applying the finite difference technique. The original semi-implicite finite difference algorithm has been implemented within the computer program for the Digital AlphaStation RISC type computer. The solution of the problem is represented by the single concentration wave which moves from the boundary of depository with the advection velocity (cf. Fig. 1). The magnitude of the concentration wave is progressively decreased in distance from the boundary of the depository owing to sorption, ion exchange, and chemical disintegration of the active substance. The sharp edge of the wave is gradually `flattened’ as the result of diffusion and dispersion effects.

3

One-dimensional migration of an active substance involving subsurface advection, diffusion and sorption phenomena

Sławomirski M.

Archives of Mining Sciences

|

2002

|

Vol. 47, nr 4

521-537

EN

In this paper one-dimensional migration ofthe chemically active substance in the porous rock mass has been considered. It has been assumed that the active substance dissolved in water flowing through rocks is subjected simultaneously to the advection, diffusion, dispersion, sorption, ion exchange, and chemical disintegration processes. For the description of the problem the differential equations of balance and kinetics have been applied. The considerations are restricted to the initial phase of the migration process. Consequently, it has been assumed that at the initial time t = O the concentration of dissolved active substance C and the concentration of active substance sorbed in the rock are equal to zero. Moreover, the general non-linear kinetics equation may then be approximated by means of the linear relation. The differential equation describing the migration process has been solved applying the Carson-Laplace integral transform method. The solution for the case when the diffusion-dispersion process may be neglected has been compared to the solution for a the situation in which the diffusion and dispersion influence the pattern of the migration phenomenon.

PL

W artykule rozważono jednowymiarową migrację chemicznie aktywnej substancji w porowatym górotworze. Zagadnienie migracji substancji aktywnych posiada zasadnicze znaczenie dla problematyki podziemnego składowania szkodliwych odpadów przemysłowych. Zawarte w składowisku substancje toksyczne, rozpuszczone następnie w postaci jonów i unoszone przez przepływąjace wody podziemne, mogą być rozpraszane na znacznym obszarze, prowadząc do zatrucia podziemnych zasobów wodnych. Z punktu widzenia ochrony zasobów wodnych informacja dotycząca migracji skażeń ma zasadnicze znaczenie. W artykule przyjęto, że substancja rozpuszczona w wodzie przepływającej w skałach (zwana dalej substancją aktywną) podlega równocześnie procesom adwekcji, dyfuzji, dyspersji, sorpcji, wymiany jonowej i rozpadu chemicznego. Do opisu problemu zastosowane zostały równania różniczkowe bilansu i kinetyki. Jako podstawowe równania opisujące ruch płynu unoszącego substancje aktywne przyjęto równanie ciągłości przepływu w ośrodku porowatym (2) oraz formułę Darcy'ego (1). Jednowymiarowa propagacja substancji aktywnej opisana jest równaniem transportu (7) uwzględniającyej procesy wymienione uprzednio. W równaniu tym stężenie substancji w przepływającym płynie C oraz stężenie substancji zasorbowanej w skałach górotworu są podstawowymi zmiennymi zależnymi od położenia i czasu. Założono liniową kinetykę rozpadu substancji aktywnej daną wzorem (6), co z chemicznego punktu widzenia odpowiada reakcji I rzędu. Przyjęto, że procesy dyfuzji i dyspersji opisane są w wystarczającym przybliżeniu prawem Ficka (4). Rozważania ograniczono do początkowego stadium zjawiska migracji. Umożliwiło to przyjęcie założcnia, że w chwili początkowej koncentracja rozpuszczonej w wodzie substancji aktywnej C oraz koncentracja substancji aktywnej zasorbowanej w skałach są równe zeru. Ponadto nieliniowe równanie kinetyki procesu sorpcji i wymiany jonowej (5) może być wówczas aproksymowane relacją linową (8). W rezultacie ogólne równanie transportu (7) upraszcza się do postaci (9). Rozważono przypadek transportu jednowymiarowego, lecz uogólnienie równań na przypadki dwu- i trójwymiarowy nie stanonowi żadnego problemu. Przyjęto warunek początkowy, zgodnie z którym w chwili t = O konccntracja substancji aktywnej w przepływajacym płynie równa jest zeru, a dopływ tej substancji następuje poprzez brzeg x = O. Odpowiada to warunkom początkowo-brzegowym (10)-(12). W celu uniknięcia ewentualnych niejasności, w rozdziale 5 artykułu uściślono pojęcie początkowego stadium procesu migracji. Przyjmuje się, że proces migracji jest w stadium początkowym, jeśli nieliniowe równanie kinetyki procesu sorpcji i wymiany jonowej (5) może być aproksymowane relacją linową (8). Odpowiada to warunkowi (28), pokazanemu graficznie na rysunku l. Otrzymane równanie różniczkowe opisujące proces jednowymiarowej migracji (9) rozwiązano metodą transformacji Carsona-Laplace'a. Rozwiązanie fianlne w postaci całkowej (24) jest jednak niedogodne do przeprowadzania obliczeń i dlatego też skorzystano z numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Równanie transportu (9) rozwiązano metodą różnic skończonych. Zastosowano aproksymację typu semi-implicitc (29), dzięki której problem sprowadzono do rozwiązania równania macierzowego (32) z macierzą współczynników L typu trójdiagonalnego. Analiza stabilności przyjętego schematu różnicowego (29), przeprowadzona szczegółowo w innej pracy autora (Sławomirski 2001) w oparciu o metodę analizy harmonicznej, prowadzi do warunku (30), który w obliczeniach efektywnych musi zawsze być spełniony. Przykładowe obliczenia przeprowadzono na komputerze Digital AlphaStation typu RISC, wykorzystując specjalnie do tego celu napisany przez autora program obliczeniowy oparty na przyjętym schemacie różnicowym. Ze względu na duże możliwości obliczeniowe maszyny zastosowano siatkę obliczeniową zawierającą 6000 węzłów. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunkach 2-5. Rozwązanie (34), (35) dla przypadku, gdy dyfuzja i dyspersja mogą być pominięte porównano z rozwiązaniem odpowiadającym sytuacji, gdy procesy dyfuzyjno-dyspersyjne mają istotny wpływ na finalny obraz zjawiska migracji. W przypadku gdy procesy dyfuzji i dyspersji są pominięte, rozwiązanie ma postać przesuwającej się w czasie fali eksponencjalnej "obciętej" przez wyraźny front falowy. Matematycznie jest on reprezentowany przez funkcję Heaviside'a (rys. 6). Obceność procesów dyfuzji i dyspersji "wygładza" front falowy, powodując nawet przy odpowiednio dużych wartościach współczynnika dyfuzji-dyspersji jego zaniknięcie. Z matematycznego punktu widzenia odpowiada to zmianie typu równania z hiperbolicznego na paraboliczne, w którym żadne nieciągłości pierwszej pochodnej rozwiązania nie powinny mieć miejsca.