Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

A refined and asymptotic analysis of optimal stopping problems of Bruss and Weber

Louchard G.

Mathematica Applicanda

|

2017

|

Vol. 45, No. 2

95--118

EN

The classical secretary problem has been generalized over the years into several directions. In this paper we confine our interest to those generalizations which have to do with the more general problem of stopping on a last observation of a specific kind. The Bruss-Weber problems we consider center around the following model: Let X1, X2,…,Xn be a sequence of independent and identically distributed random variables which can take three values: {+1,−1, 0}. The goal is to maximize the probability of stopping on a value +1 or −1 appearing for the last time in the sequence. We study related problems both in discrete and continuous time settings, with known or unknown number of observations, and known and unknown probability measure. In particular, so called x-strategy with incomplete information is taken into consideration. Our contribution in the present paper is a refined analysis of several problems in this class and a study of the asymptotic behaviour of solutions. We also present simulations of the corresponding complete selection algorithms.

PL

Klasyczny problem sekretarki został uogólniony na przestrzeni lat w kilku kierunkach. W niniejszym artykule ograniczamy nasze zainteresowanie do tych uogólnień, które mają związek z bardziej ogólnym problemem zatrzymania na ostatniej obserwacji określonego rodzaju. Problemy Brussa-Webera, które rozważamy, koncentrują się wokół następującego modelu: Obserwowany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie przyjmujących trzy wartosci: +1; −1; 0. Celem jest maksymalizacja prawdopodobieństwa zatrzymania na wartości +1 lub −1 pojawiającej się po raz ostatni w sekwencji. Badamy pokrewne problemy zarówno z czasem dyskretnym, jak i ciągłym, ze znaną lub nieznaną liczbą obserwacji oraz znanym i nieznanym rozkładem. W szczególności bierze się pod uwagę tak zwaną strategię z niepełną informacją. Nowością w niniejszej pracy jest udoskonalona analiza kilku problemów w tej klasie oraz badanie asymptotycznego zachowania się rozwiązań. Prezentujemy również symulacje odpowiednich kompletnych algorytmów wyboru.

2

One step more in Robbins' problem: Explicit solution for the case n = 4

Dendievel R., Swan Y.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

135--148

EN

Let X1, X2, …., Xn be independent random variables drawn from the uniform distribution on [0, 1]. A decision maker is shown the variables sequentially and, after each observation, must decide whether or not to keep the current one, with payoff being the overall rank of the selected observation. Decisions are final: no recall is allowed. The objective is to minimize the expected payoff. In this note we give the explicit solution to this problem, known as Robbins’ problem of optimal stopping, when n = 4.

PL

Niech X1, X2, …., Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Statystyk obserwuje realizacje tych zmiennych sekwencyjnie i po każdej obserwacji decyduje o jej zatrzymaniu lub odrzuceniu. Zaakceptowanej obserwacji nie można w przyszłości zmieniać ani wracać do odrzuconych obserwacji. Celem jest minimalizacja oczekiwanej rangi zaakceptowanej obserwacji. Ten artykuł podaje rozwiązanie tego zadania dla n = 4. Problem w literaturze jest znany jako problem Robinsa.

3

Approximative solutions of optimal stopping and selection problems

Rüschendorf L.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

17--44

EN

In this paper we review a series of developments over the last 15 years in which a general method for the approximative solution of finite discrete time optimal stopping and choice problems has been developed. This method also allows to deal with multiple stopping and choice problems and to deal with stopping or choice problems for some classes of dependent sequences. The basic assumption of this approach is that the sequence of normalized observations when embedded in the plane converges in distribution to a Poisson or to a cluster process. For various classes of examples the method leads to explicit or numerically accessible solutions.

PL

W artykule opracowano przegląd różnych podejść z ostatnich 15 lat do przybliżonego rozwiązywania zadań optymalnego zatrzymania procesów z czasem dyskretnym, w tym także zadań wyboru najlepszego obiektu. Metody te pozwalają także na rozwiązywanie niektórych problemów wielokrotnego zatrzymania, a także radzą sobie z rozwiązaniem zadań dla ciągów zależnych. Podstawą tych analiz jest obserwacja, iż ciąg unormowanych obserwacji odwzorowanych na płaszczyźnie jest zbieżny według rozkładu do pewnego procesu punktowego. Dla różnych klas zadań metoda prowadzi do uzyskania zamkniętych analitycznych formuł lub pozwala na uzyskanie rozwiązań numerycznych.