Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Pencil of osculary tangent conics P21=2=3, 4

Wojtowicz B.

Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics

|

2007

|

Vol. 17

5--10

EN

In the paper a definition of a special quadratic transformation E has been given. In the transformation conic a2, which is an elation of a circle n2 , corresponds to an optional line a’. Three special cases of the line a’ layout in relation to the circle n2 have been considered. It has been proved that for all straight lines not passing through the center of elation w, are transformed into conics, which are all osculary tangent. There has been formulated a new theorem considering the pencil of straight lines 4’(a’,b’,c’...) and corresponding to this pencil, in transformation E, a pencil of conics P21=2=3,4 (a2,b2,c2...). The theorem focuses on the projective property of the discussed two corresponding pencils.

PL

W pracy podano definicję kwadratowego przekształcenia E, w którym w dowolnej prostej a’ przyporządkowujemy taką stożkową a2, która jest relacyjnym przekształceniem okręgu n2. Rozpatrzono trzy przypadki położenia prostej a’ względem okręgu n2, które wykazały, iż wszystkie proste nie przechodzące przez środek relacji w przekształcają się w stożkowe wzajemnie ściśle styczne. Sformułowano również twierdzenia dotyczące pęku stożkowych prostych 4’(a’,b’,c’...) oraz podporządkowanemu w przekształceniu E pękowi stożkowych P21=2=3,4 (a2,b2,c2...), mówiące o rzutowości tych pęków.

2

Some theorem concerning the conics streaks and pencils and its application to smooth connection of conics arcs

Palej M.

Materiały Seminarium Geometrii i Grafiki Inżynierskiej

|

2000

|

z. 9

51--55

PL

W pracach /1/ i /2/ omawiano pewne twierdzenie dotyczące pasma i pęku stożkowych w przypadku kiedy bazą pasma lub pęku są cztery elementy zjednoczone parami, tj. kiedy baza pasma składa się z dwóch stycznych wraz z punktami styczności lub - dwoiście - bazę pęku stanowią dwa punkty stożkowych wraz z stycznymi w tych punktach. Twierdzenie wyprowadzono w /1/ odwołując się do uogólnienia niektórych własności stożkowych pasma ujawnionych przez Prof. S. Szerszenia za pomocą perspektografu de La Fresnaye, a w /2/ - za pomocą szczególnych własności pasma i pęku parabol. Konstrukcja stycznych i punktów styczności hiperboli ukazuje jeszcze jedną drogę, tym razem chyba najprostszą, prowadzącą do sformułowania tego twierdzenia bądź tez stanowiącą jego elementarny dowód. Niech dane będzie pasmo hiperbol, którego bazą są dwie asymptoty, tj. zjednoczone parami styczne a=b i c=d przy czym a ∩ b=A ∞ i c ∩ d=C ∞ /rys.1/. Obierzmy na jednej z asymptot np. c=d dowolny punkt Q i poprowadźmy prostą f równoległą do drugiej asymptoty /a=b /, połowiącą jej odległość od punktu Q, tj. : f // a, Ρa,f = Ρf,Q . Zauważmy, że prosta f jest linią środków odcinków promieni pęku /Q/ ograniczonych asymptotą a=b . Oznacza to, że na prostej f leżą punkty styczności do hiperbol pasma o bazie /a=b, c=d / tych stycznych, które są elementami pęku prostych /Q/ Jeżeli założymy, że rozpatrywane pasmo hiperbol poddamy dowolnemu przekształceniu rzutowemu /np. poprzez rzut środkowy/ wówczas pasmo to przejdzie w pasmo stożkowych określone przez dwie dowolnie położone, zjednoczone proste styczne as = bs i cs= ds tj. dwie dowolne styczne a s , c s wraz z punktami styczności As , Cs /rys.2/. Punkt Q incydentny z asymptotą c=d przejdzie w punkt Qs∈ cs , a pęk stycznych /Q/ do hiperbol - w pęk stycznych /Qs / do stożkowych. Prosta f przechodząca przez niewłaściwy punkt A∞ asymptoty a=b będzie po przekształceniu prostą fs przechodzącą przez punkt As. Wnosimy więc, że w paśmie stożkowych, którego bazą są dwie styczne wraz z punktami styczności: a s ∈ As i c s ∈ Cs proste pęku /Qs/ o środku leżącym na jednej z tych stycznych /np. Qs ∈ as / stykają się z stożkowymi pasma w punktach współliniowych. Relacja powyższa jest przedmiotem twierdzenia /3/ publikowanego w pracy /2/ Z kolei weźmy pod uwagę pęk hiperbol określony dwiema parami zjednoczonych punktów niewłaściwych np. A∞ = B ∞ i C∞ = D∞ tj. dwiema asymptotami /rys.3/. Rozważmy dowolną prostą q równoległą do jednej z asymptot np. q // A∞ = B∞ . W punkcie wspólnym q ∩ s , gdzie s jest symetralną kąta utworzonego przez asymptoty poprowadźmy prostą t prostopadłą do s . Oznaczmy przez T punkt przecięcia t ∩ /C ∞ = D∞ /. Zauważmy, że punkty szeregu o podstawie q są środkami odcinków promieni o wierzchołku T ograniczonych asymptotą A∞ B∞ . Są to więc punkty styczności do hiperbol pęku stycznych przechodzących przez punkt T. Dokonując jak poprzednio dowolnego przekształcenia rzutowego rozpatrywanego pęku hiperbol otrzymamy pęk stożkowych określonych jak na rys.4. Z rysunku tego możemy odczytać, że w pęku stożkowych, którego bazę stanowią dwa punkty wraz z przynależnymi do nich stycznymi /np. As ∈ a s i Cs ∈ c s / , styczne do poszczególnych stożkowych w punktach szeregu o podstawie przechodzącej przez jeden z punktów bazy, są współpunktowe. Relacja taka jest przedmiotem twierdzenia /4/ publikowanego w /2/. Zajmijmy się możliwością wykorzystania omawianych twierdzeń do gładkiego łączenia krzywych stopnia drugiego. Przyjmijmy w tym celu założenia definiujące dwa pasma /pęki/ stożkowych { s12 } i { s22 }, których bazy składają się z jednoczących się parami elementów. Niech na rys.5 będą to styczne a1 = b1 = A1 i c1 = d1 = C1 precyzujące pasmo { s1 2 } oraz styczne a2 = b2 = A2 i c2 = d2 = C2 ustalające pasmo { s2 2 }. Przez punkt a1 ∩ a2 = Q poprowadźmy taką prostą u , która będzie jednocześnie styczna do stożkowej pasma { s12 } oraz do stożkowej pasma { s2 2 }. W tym celu skonstruujmy prostą q1 ∈ C1 zawierającą punkty styczności stycznych pęku /Q/ do stożkowych pasma { s1 2 } oraz prostą q2 ∈ C2 zawierającą punkty styczności stycznych pęku /Q/ do stożkowych pasma { s2 2 }. Prostą q1 wyznaczamy za pomocą punktu T1 = t1 ∩ l1 gdzie t1 ∈ Q i t1 // A1 C1 , a l1 jest średnicą stożkowych zbioru { s1 2 } sprzężoną z kierunkiem A1C1 , natomiast prostą q2 ∈ C2 - za pomocą analogicznie konstruowanego punktu T2 = t2 ∩ l2, t2 // A2 C2 /2/. Punkt wspólny prostych q1 i q2 : U = q1 ∩ q2 jest punktem styczności stycznej u1 do stożkowej pasma { s1 2 } oraz stycznej u2 - do stożkowej zbioru { s2 2 }, przy czym ponieważ obydwie te styczne przechodzą przez punkt Q - są one identyczne. Tak więc u1 = u2 = u jest prostą wspólnie styczną do dwóch stożkowych : s1 2 / a 1 = b 1 , c 1 = d 1 , u / i s2 2 / a 2 = b 2 , c 2 = d 2 , u /. W wspólnym punkcie styczności U krzywa złożona z łuków obydwu stożkowych ma swój punkt przegięcia, a przejście z stożkowej s1 2 do stożkowej s2 2 można uważać za realizację gładkiego połączenia obydwu stożkowych. Rozpatrując kolejne punkty przecięcia pozostałych par stycznych do pasma {s1 2 } i{s2 2 } można znaleźć dalsze wspólne styczne do rozpatrywanych stożkowych. Na rys.5 są to proste v ∈ N=a 1 ∩ c 2 , w ∈ O=a 2 ∩ c 1 i z ∈ P=c 1 ∩ c 2 . Może się zdarzyć, że jedna z stycznych bazy pasma { s1 2 } np. a1 pokrywa się z styczną a2 pasma { s2 2 }. Wówczas punktów Q z rys.5 mamy nieskończenie wiele. Przypadek taki ilustruje rysunek 6. Może wreszcie, przy odpowiednio przyjętych założeniach dochodzić do jednoczenia się prostych q1 i q2 . Sytuację taką przedstawia rys. 7. Pokrywanie się prostych q1 i q2 oznacza, że z punktu Q = a 1 ∩ a 2 można poprowadzić nieskończenie wiele takich prostych, z których każda jest jednocześnie styczna do stożkowych pasma { s 1 2 } i { s 2 2 }.

3

Analiza pewnej własności pęku stożkowych ściśle stycznych

Palej M.

Materiały Seminarium Geometrii i Grafiki Inżynierskiej

|

1999

|

z. 7

34--39

EN

The paper considers a pencil of conics, which basis is formed in such a way that three fundamental points coincide. By means of projective connections the following theorem has been proved: “if the basis of a pencil of conics includes three coinciding, fundamental points, e. g., A=B=C, and a different from them point D, then the range of points with a basis q passing through A=B=C has such a property, that all the tangents to the pencil’s conics in points of q pass through a single point W ; the point W lies on the straight line AD”.