Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Midpoints of segments whose endpoints belong to two straight lines

Ochoński S.

Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics

|

2009

|

Vol. 20

3--11

EN

The paper discusses sets of midpoints of segments whose endpoints belong to two given, different and coplanar or skew lines. The endpoints of these segments in the case of intersecting lines are determined by pencils of lines and concentric circles, whereas in the case of two skew lines by pencils of planes and concentric spheres. The paper proves that these sets are nonsingular or singular conic, for example rectangular hyperbola or a pair of perpendicular straight lines. All the results of study were obtained by synthetic methods.

PL

Artykuł przedstawia wyniki badań zbiorów środków odcinków, o końcach należących do dwóch prostych komplanarnych, jak i skośnych. Punkty ograniczające te odcinki, na płaszczyźnie, wyznaczane sąza pomocą: a) pęku prostych, b) pęku koncentrycznych okręgów, zaś w przestrzeni c) pęku płaszczyzn i d) pęku współśrodkowych sfer. Wykazano, że w przypadkach a) i c), środki tak wyznaczonych odcinków należą do prostej bądź hiperboli, która może być hiperbolą prostokątną, a w b) i d) są zawsze punktami hiperboli równobocznej lub pary prostopadłych prostych jako zdegenerowanej stożkowej. Ponadto zwrócono uwagę, iż zakres tej pracy może być znacznie rozszerzony, a badania kontynuowane. Punkty ograniczające rozważane odcinki mogą być bowiem wyznaczane również na płaszczyźnie za pomocą: pęku współosiowych i stycznych okręgów bądź przechodzących przez dwa stałe punkty, a w przestrzeni - pęku współosiowych, stycznych sfer lub zawierających ten sam okrąg. Można wykazać, że w przypadku jednego z pęków okręgów o właściwej osi potęgowej, środki tak wyznaczonych odcinków należą między innymi do paraboli. Reasumując stwierdzono, iż stożkowe mogą być również rozpatrywane, jako środki odcinków o końcach należących odpowiednio do dwóch prostych zarówno komplanarnych, jak i skośnych.

2

Construction of straight line intersecting four given straight lines

Bieliński A., Łapińska C.

Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics

|

2008

|

Vol. 18

5--8

EN

The problem of constructing a straight line inte rsecting four given lines skew to each other is presented in Monge’s projections. The solution consists in choosing an adequate system of projection planes and applying the Steiner’s construction of common lines of two projective pencils of lines.

PL

W pracy rozważa się cztery dowolne proste parami skośne. Zagadnienie wyznaczenia prostej przecinającej cztery dane proste sprowadza się przez odpowiedni dobór rzutni do konstrukcji Steinera prostych zjednoczonych dwóch rzutowych pęków prostych. Podaje się również możliwość zastosowania tej konstrukcji do wyznaczania punktów przebicia prostą powierzchni prostokreślnych.

3

Natural liftings of connections to the r-th order bundle

Mikulski W.

Demonstratio Mathematica

|

2007

|

Vol. 40, nr 2

481-484

EN

We describe all natural operators A lifting a clasiccal linear connection on an m-dimensional manifold M into a classical linear conection A() on the r-th order frame bundle LrM = invJr/0 (Rm,M).

4

Analiza pewnej własności pęku stożkowych ściśle stycznych

Palej M.

Materiały Seminarium Geometrii i Grafiki Inżynierskiej

|

1999

|

z. 7

34--39

EN

The paper considers a pencil of conics, which basis is formed in such a way that three fundamental points coincide. By means of projective connections the following theorem has been proved: “if the basis of a pencil of conics includes three coinciding, fundamental points, e. g., A=B=C, and a different from them point D, then the range of points with a basis q passing through A=B=C has such a property, that all the tangents to the pencil’s conics in points of q pass through a single point W ; the point W lies on the straight line AD”.