Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

The postdoc variant of the secretary problem

Vanderbei Robert J.

Mathematica Applicanda

|

2021

|

Vol. 49, no. 1

3--13

EN

The classical secretary problem involves sequentially interviewing a pool of n applicants with the aim of hiring exactly the best one in the pool-nothing less is good enough. The optimal decision strategy is easy to describe and the probability of success is 1/e. In this paper, we consider a minor variant of this classical problem. We wish to pick not the best, but the second best (the best is going to Harvard). In this case, an explicit solution can be given both for the optimal strategy and the associated optimal success probability. The probability of success is k*0 (n - k*0) / (n (n - 1)) where k*0 = [n/2]. Clearly, as n goes to infinity, the probability of success tends to 1/4. Apparently, it is easier to pick the best than the second best.

PL

Klasyczny problem sekretarki to sekwencyjne analizowanie n zgłoszeń, wśród których nie ma dwóch identycznych, w celu wyboru najlepszego z kandydatów w chwili, gdy zgłosi się na konkurs- wybór kandydata o innego niż najlepszy nie jest satysfakcjonujący. Optymalna strategia w tym problemie jest łatwa do opisania, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi w przybliżeniu exp(-1). W tym artykule rozważamy wariant tego klasycznego problemu, w którym celem jest wybór dokładnie drugiego co do rangi wśród n kandydatów. Podobnie jak w życiu, na zatrudnienie najlepszego nas nie stać lub piszemy opinie zewnętrzne, i wybieramy dla wybranych najlepsze miejsce na studia doktoranckie. Chcemy wybrać nie najlepszych, ale drugich najlepszych (najlepszy jedzie na Harvard). Również w tym problemie można podać optymalne rozwiązanie: zarówno wskazać optymalną strategię, jak i wyliczyć związane z tą strategią prawdopodobieństwa sukcesu. Szansa na sukces w tym problemie wynosi k*0 (n - k*0) / (n (n - 1), gdzie k0 = [n/2]. Gdy n dąży do nieskończoności, to prawdopodobieństwo sukcesu wynosi ma granicę 1/4. Zatem najwyraźniej łatwiej jest wybrać najlepszego niż drugiego najlepszego.

2

Bellman equations for terminal utility maximization with general bid and ask prices

Rogala T., Stettner Ł.

Probability and Mathematical Statistics

|

2018

|

Vol. 38, Fasc. 1

139--155

EN

In the paper we solve a system of Bellman equations for finite horizon continuous time terminal utility maximization problem with general càdlàg bid and ask prices.We assume that we have a restricted number of transactions at time moments we choose. The main result of the paper says that we can find a regular version of solutions to the system of Bellman equations, which enables us to find the form of nearly optimal strategies.

3

The Sum-the-Odds Theorem with Application to a Stopping Game of Sakaguchi

Ferguson T. S.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

45--61

EN

The optimal stopping problem of maximizing the probability of stopping on the last success of a finite sequence of independent Bernoulli trials has been studied by Hill and Krengel (1992), Hsiau and Yang (2000) and Bruss (2000).The optimal stopping rule of Bruss stops when the sum of the odds of future successes is less than one. This Sum-the-Odds Theorem is extended in several ways. First, an infinite number of Bernoulli trials is allowed. Second, the payoff for not stopping is allowed to be different from the payoff of stopping on a success that is not the last success. Third, the Bernoulli variables are allowed to be dependent. Fourth, the model is generalized to allow at each stage other dependent random variables to be observed that may influence the assessment of the probability of success at future stages. Finally, application is made to a game of Sakaguchi (1984) in which two players vie for predicting the last success, but in which one of the players is given priority of acting first.

PL

Problem optymalnego zatrzymania na ostatnim sukcesie w ciągu prób Bernoulli’ego z maksymalnym prawdopodobieństwem badali Hill i Krengel (1992), Hsiau i Yang (2000) oraz Bruss (2000). Optymalna reguła zatrzymania podana przez Brussa mówi, ze należy zatrzymać się, gdy suma ilorazów szans przyszłych sukcesów jest mniejsza niż jeden. Twierdzenie wykorzystujące sumy ilorazów szans zostało uogólnione na wiele sposobów. Przede wszystkim uogólniono na nieskończony ciąg prób Bernoulli’ego. Innym jest dopuszczenie różnych wypłat za brak wyboru (zatrzymania) i zatrzymanie na sukcesie, który nie jest ostatnim. Kolejne, to dopuszczenie prób zależnych. Dalej, dopuszczono, aby na każdym etapie były obserwowane dodatkowe zmienne zależne, których obserwacja może zmienić ocenę prawdopodobieństwa sukcesu w przyszłych etapach. Wreszcie, zastosowano metodę do rozwiązania gry sformułowanej przez Sakaguchi’ego (1984), w którym dwaj gracze współzawodniczą o prognozę ostatniego sukcesu, gdy jeden z graczy ma pierwszy prawo podjęcia decyzji na każdym kroku.

4

One step more in Robbins' problem: Explicit solution for the case n = 4

Dendievel R., Swan Y.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

135--148

EN

Let X1, X2, …., Xn be independent random variables drawn from the uniform distribution on [0, 1]. A decision maker is shown the variables sequentially and, after each observation, must decide whether or not to keep the current one, with payoff being the overall rank of the selected observation. Decisions are final: no recall is allowed. The objective is to minimize the expected payoff. In this note we give the explicit solution to this problem, known as Robbins’ problem of optimal stopping, when n = 4.

PL

Niech X1, X2, …., Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Statystyk obserwuje realizacje tych zmiennych sekwencyjnie i po każdej obserwacji decyduje o jej zatrzymaniu lub odrzuceniu. Zaakceptowanej obserwacji nie można w przyszłości zmieniać ani wracać do odrzuconych obserwacji. Celem jest minimalizacja oczekiwanej rangi zaakceptowanej obserwacji. Ten artykuł podaje rozwiązanie tego zadania dla n = 4. Problem w literaturze jest znany jako problem Robinsa.

5

Duration problem: basic concept and some extensions

Porosiński Z., Skarupski M., Szajowski K.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

87--112

EN

We consider a sequence of independent random variables with the known distribution observed sequentially. The observation n is assumed to be a value of one order statistics such as s : n-th, where 1 ≤ s ≤ n. It the instances following the nth observation it may remain of the s : m or it will be the value of the order statistics r : m (of m > n observations). Changing the rank of the observation, along with expanding a set of observations there is a random phenomenon that is difficult to predict. From practical reasons it is of great interest. Among others, we pose the question of the moment in which the observation appears and whose rank will not change significantly until the end of sampling of a certain size. We also attempt to answer which observation should be kept to have the “good quality observation” as long as possible. This last question was analysed by Ferguson, Hardwick and Tamaki (1991) in the abstract form which they called the problem of duration. This article gives a systematical presentation of the known duration models and a new modifications. We collect results from different papers on the duration of the extremal observation in the no-information (denoted as rank based) case and the full-information case. In the case of non-extremal observation duration models the most appealing are various settings related to the two extremal order statistics. In the no-information case it will be the maximizing duration of owning the relatively best or the second best object. The idea was formulated and the problem was solved by Szajowski and Tamaki (2006). The full-information duration problem with special requirement was presented by Kurushima and Ano (2010).

PL

Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych o znanym rozkładzie. N-ta obserwacja jest wartością pewnej statystyki pozycyjnej, powiedzmy s : n, gdzie 1 ≤ s ≤ n. W chwilach następujących po n-tej obserwacji może ona pozostać s : m lub zmieni swoją pozycję tak, iż stanie się statystyką pozycyjną r : m (gdzie m > n jest liczbą obserwacji). Zmiana rangi naszej obserwacji pośród wciąż powiększającego się zbioru wszystkich obserwacji jest zjawiskiem, które nie jest łatwo przewidzieć. Z pewnych względów jest to interesujący problem. Stawiamy zatem pytanie o moment pojawienia się obserwacji, której ranga się nie zmieni znacząco aż do czasu, gdy skończymy obserwować zjawisko. Można również postawić problem w następujący sposób: ”Który obserwowalny obiekt powinniśmy zatrzymać tak, aby posiadać obiekt dobrej jakości najdłużej jak to tylko możliwe?” Pytanie to było rozważane przez Fergusona, Hardwicka and Tamaki’ego (1991) w problemie, który został nazwany ‘problem of duration’, a który został tu nazwamy problemem okresu trwania. Niniejsza praca ma na celu uporządkowanie znanych do tej pory modeli problemu okresu trwania oraz prezentację kilku nowych rozszerzeń. Zebrane zostały wyniki z różnych prac na temat okresu trwania dla ekstremalnej obserwacji w przypadku bezinformacyjnym (nazywanym również modelem rangowym, no-information case) oraz w przypadku pełno-informacyjnym (full-information case). W przypadkach obserwacji nieekstremalnych najczęściej pojawiającym się modelem jest model dla pierwszej i/lub drugiej statystyki pozycyjnej. Model bez-informacyjny mówi o maksymalizacji okresu trwania dla pierwszego lub drugiego najlepszego obiektu. Idea ta została sformułowana przez Szajowskiego i Tamaki’ego (2006). Przypadek pełno-informacyjny z pewnymi ograniczeniami został zaprezentowany przez Kurushima i Ano(2010).

6

Biography of the Guest Editor

Szajowski K. J.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

221--222

EN

F. Thomas Bruss studied Mathematics in Saarbrücken (Germany), and, with a delegation grant from Saarbrücken, in Cambridge(UK) and in Sheffield(UK). He holds the Diplom-Mathematiker as well as his doctorate Dr. rer. nat. in Mathematics of the University of Saarbrücken. His scientific career began in 1977 at the University of Namur. In 1978 he received the docteur légal Dr. en sc. and obtained tenure as First assistant a year later. His time in Namur also included visiting positions at the University of Zaire (1981) and at Strathclyde University Glasgow (1984). He then moved to the United States, first as Visiting Associate Professor at UC Santa Barbara, then as Adjunct Professor (Feodor-Lynen) fellow at the University of Arizona, and then as Visiting Associate Professor at UCLA. In 1990 Thomas returned to Europe as Professor of the Vesalius College of the Vrije Universiteit Brussel. Independently, he obtained the inscription sur liste des professeurs of France. In 1993 he was appointed chair of Mathématiques Générales and Probabilités of the Université Libre de Bruxelles (ULB) where he has stayed ever since. Since then he also held visiting positions at the University of Antwerpen, the University of Namur and the Université Catholique de Louvain. Now, retired from the chair of Mathématiques Générales, Thomas continues as Professeur de l’université of ULB, and as Invited Professor of the Université Catholique de Louvain. Prof. Bruss has made several important contributions to optimal stopping, including the 1/e-law of best choice (1984), Pascal processes (with LCG Rogers 1991), the odds algorithm (2000), or the solution of the last-arrival problem (with Marc Yor 2012). He also has strong interests in the theory of branching processes, as e.g. in bisexual Branching Processes and Resource-dependent Branching Processes (with Duerinckx 2015) as well as in various questions related with the theory of stochastic processes, as for instance the monotone subsequence problem (with Freddy Delbaen 2001, 2004). Thomas has served twice as head of the ULB Mathematics Department. He is also active in the national science foundations of Belgium, in the Belgian Statistical Society, the Belgian Mathematical Society, and the Collége Belgique. He is an elected member of the Tȕnissteiner Kreis (Germany), a fellow of the von-Humboldt Foundation (Germany) and a fellow of the Institute of Mathematical Statistics (USA). Thomas is also renowned for his outreach activity, with articles published in journals such as Spektrum der Wissenschaft, Pour la Science, Le Soir and Die Welt, as well as for his appearances on radio and television for expertise in probability. He has received several national and international distinctions and awards. In 2011 F. Thomas Bruss was honoured Commandeur de l’ordre de Léopold of Belgium.

7

Approximative solutions of optimal stopping and selection problems

Rüschendorf L.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

17--44

EN

In this paper we review a series of developments over the last 15 years in which a general method for the approximative solution of finite discrete time optimal stopping and choice problems has been developed. This method also allows to deal with multiple stopping and choice problems and to deal with stopping or choice problems for some classes of dependent sequences. The basic assumption of this approach is that the sequence of normalized observations when embedded in the plane converges in distribution to a Poisson or to a cluster process. For various classes of examples the method leads to explicit or numerically accessible solutions.

PL

W artykule opracowano przegląd różnych podejść z ostatnich 15 lat do przybliżonego rozwiązywania zadań optymalnego zatrzymania procesów z czasem dyskretnym, w tym także zadań wyboru najlepszego obiektu. Metody te pozwalają także na rozwiązywanie niektórych problemów wielokrotnego zatrzymania, a także radzą sobie z rozwiązaniem zadań dla ciągów zależnych. Podstawą tych analiz jest obserwacja, iż ciąg unormowanych obserwacji odwzorowanych na płaszczyźnie jest zbieżny według rozkładu do pewnego procesu punktowego. Dla różnych klas zadań metoda prowadzi do uzyskania zamkniętych analitycznych formuł lub pozwala na uzyskanie rozwiązań numerycznych.

8

Refined solutions of time inhomogeneous optimal stopping problem and zero-sum game via Dirichlet form

Yang Y.

Probability and Mathematical Statistics

|

2014

|

Vol. 34, Fasc. 2

253--271

EN

The properties of value functions of time inhomogeneous optimal stopping problem and zero-sum game (Dynkin game) are studied through time dependent Dirichlet form. Under the absolute continuity conditio on the transition function of the underlying process and some other assumptions, the refined solutions without exceptional starting points are proved to exist, and the value functions of the optimal stopping problem and zero-sum game, which belong to certain functional spaces, are characterized as the solutions of some variational inequalities, respectively.

9

Optimal timing of partial outsourcing decisions

Helmes K., Templin T.

Mathematica Applicanda

|

2014

|

Vol. 42, No. 1

1--37

EN

This article combines a real options approach to the optimal timing of outsourcing decisions with a linear programming technique for solving one-dimensional optimal stopping problems. We adopt a partial outsourcing model proposed by Y. Moon(2010) which assumes profit flows to follow a geometric Brownian motion and explicitly takes into account the benefits and costs of all efforts which a firm spends on the project prior to the outsourcing date. The problem of deciding when to outsource and how much effort to spend is solved when the underlying profit flows or index processes are modeled by general one-dimensional diffusion. Optimal outsourcing times are proved to be of threshold type, and sensitivity results regarding market volatility and other quantities are derived. The corresponding optimal stopping problems are reformulated in terms of infinite dimensional linear programs and nonlinear optimization problems. These reformulations are exploited to prove sensitivity results in a novel way. Specific management recommendations are provided.

PL

W pracy przedstawiono połączenie metody analizy opcji rzeczywistych do wyznaczania optymalnych momentów zleceń firmom zewnętrznym (ZFZ1) zadań będących częścią realizowanego projektu z techniką programowania liniowego do rozwiązywania jednowymiarowych zadań optymalnego zatrzymania procesów stochastycznych. Przyjęto model częściowego ZFZ zaproponowany przez Y. Mo- ona(2010), w którym zakładamy, że proces zysków jest geometrycznym ruchem Browna i uwzględnia bezpośrednio korzyści i koszty wszystkich działań, które firma doznała przed chwilą decyzji o ZFZ. Problem ustalenia kiedy zastosować ZFZ oraz wielkość tego zadania jest ustalana na podstawie związanych z tą operacją procesów przepływów zysków lub indeksów modelujących które z założenia są jednowymiarowymi procesami dyfuzji. Otrzymane optymalne czasy zleceń są momentami zatrzymania typu progowego. Przeprowadzono analizę wrażliwości na zmienność rynku oraz inne parametry modelu. Odpowiednie problemy optymalnego zatrzymania są przeformułowane na nieskończenie wymiarowe zadania programowania liniowego i nieliniowe zadania optymalizacji. To pozwala na nowe podejście do analizy wrażliwości. Wynikają z tego szczegółowe zalecenia dotyczące zarządzania projektami z wykorzystaniem ZFZ.

10

Optimal stopping model with unknown transition probabilities

Horiguchi M., Piunovskiy A. B.

Control and Cybernetics

|

2013

|

Vol. 42, no. 3

593--612

EN

This article concerns the optimal stopping problem for a discrete-time Markov chain with observable states, but with unknown transition probabilities. A stopping policy is graded via the expected total-cost criterion resulting from the non-negative running and terminal costs. The Dynamic Programming method, combined with the Bayesian approach, is developed. A series of explicitly solved meaningful examples illustrates all the theoretical issues.

11

On optimal stopping of risk processes with regime switching

Ferenstein E., Pasternak Winiarski A.

Demonstratio Mathematica

|

2012

|

Vol. 45, nr 2

435-454

EN

In the paper we solve a problem of optimal stopping of a risk process in two alternative settings. We assume that the main characteristics of the risk process change according to unobservable random variable. In the first model we assume that the post-disorder distributions are not known a'priori and are randomly chosen from a finite set of admissible distributions. The second model concentrates on a situation when more than one disorder is possible. For both models optimal stopping rules with respect to given utility function are constructed using dynamic programming methodology.

12

On a random number of disorders

Szajkowski K.

Probability and Mathematical Statistics

|

2011

|

Vol. 31, Fasc. 1

17--45

EN

We register a random sequence which has three segments being the homogeneous Markov processes. Each segment has its own onestep transition probability law and the length of the segment is unknown and random. It means that at two random moments θ1, θ2, where 0 ≤ θ1 ≤ θ2, the source of observation is changed. In effect, the number of homogeneous segments is random. The transition probabilities of each process are known and the a priori distribution of the disorder moments is given. The former research on such a problem has been devoted to various questions concerning the distribution changes. The random number of distributional segments creates new problems in solutions with relation to analysis of the model with deterministic number of segments. Two cases are presented in detail. In the first one the objective is to stop on or between the disorder moments while in the second one our objective is to find the strategy which immediately detects the distribution changes. Both problems are reformulated to optimal stopping of the observed sequences. The detailed analysis of the problem is presented to show the form of optimal decision function.

13

Simulation approach to optimal stopping in some blackjack type problems

Grzybowski A. Z.

Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej

|

2011

|

Vol. 10, nr 2

75-86

EN

In the paper, an unbounded blackjack type optimal stopping problem is considered. A decision maker (DM) observes sequentially the values of an infinite sequence of nonnegative random variables. After each observation, the DM decides whether to stop or to continue. If the DM decides to stop at a given moment, the obtains a payoff dependent on the sum of already observed values. The greater the sum, the more the DM gains, unless the sum exceeds a given positive number. If so, the decision maker loses all or part of the payoff. It turns out that under some elementary assumptions the optimal stopping rule (OSR) for such a problem has a very simple, so-called threshold form. However, even in very simple cases, the value of the problem has no closed analytical form. Therefore, it is very hard to evaluate the value directly. Thus, in order to find the relationship between the problem design parameters and the value of the problem, is proposed studying the relation via Monte Carlo simulations combined with regression analysis The same approach is adopted to examine the OSR risk characteristics.

14

On optimal stopping of a discrete time risk process

Bobecka K., Danielak K., Ferenstein E. Z.

Demonstratio Mathematica

|

2002

|

Vol. 35, nr 2

423-432

EN

Optimal stopping time problem for a discrete time risk process Un = u + cn - (X1+... + Xn) is analyzed. At a random moment 9, which is unobserved, there is a change in common distribution of subsequent claim sizes X1, X2,.... In the case when | the mean of a new distribution of claim sizes is greater than the premium c there is a need I to stop the process to recalculate the premium. The existence of optimal stopping rule is proved and the way to find it efficiently is described.

15

Optimal stopping of a risk process, an overview

Muciek B.

Prace Naukowe Instytutu Matematyki Politechniki Wrocławskiej. Konferencje

|

2001

|

Vol. 24, nr 3

91-104

EN

A classical problem in risk theory is considered. An insurance company receives premiums and pays out claims which are involved in a risk process. Some approaches to the problem of optimal stopping of the risk process are presented and some generalizations are brought up. Two similar models are solved in two different ways. One of them is by smooth semimartingale decomposition of the net gain, while the other is by solving dynamic programming equations. Both of them are generalized.