Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

1 Rosińska G.

1 2000

Znaleziono wyników: 1

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: number of pi

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

Kwadratura koła i "liczba π" w nauczaniu matematyki na uniwersytecie Krakowskim w pierwszej połowie XV w. : recepcja Archimedesa De mensura circuli poprzez Tomasza Bradwardina Geometria speculativa

Rosińska G.

Kwartalnik Historii Nauki i Techniki

2000

R. 45, nr 2

49--62

Sprowadzenie powierzchni koła do powierzchni kwadratu zostało postawione jako problem w matematyce i w filozofii przez greckich mędrców ze szkoły Pitagorasa działających w V wieku pne. Odkryta niewspółmierność dwuwielkości, obwodu koła i jego średnicy, już wówczas uświadamiała niemożliwość znalezienia rozwiązania. W terminologii matematyki klasycznej rozwiązanie, gdyby istniało, sprowadzałoby się do skonstruowania, przy pomocy linijki i cyrkla, kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła. Działający równolegle z geometrami greccy arytmetycy „praktyczni“ - logistycy – których wiedza nie cieszyła się statusem „wiedzy naukowej“, bowiem wymykała się rygorystycznym dowodom (geometrycznym), próbowali określić przybliżenia liczbowe, wyrażające stosunek owych dwu niewspółmiernych wielkości. Przybliżenia nie miały statusu „liczby“. Dużo później, w XVIII wieku, określonoje symbolem π. Dzięki tym przybliżeniom, od starożytności do przynajmniejpołowy XIX wieku, omijając problem kwadratury koła i problem naturyliczby π, rozwiązywano zadania praktyczne, poprzez konstrukcje geometryczne oraz wyliczenia kolejnych przybliżeń π. Czynili tak, na długo przed Pitagorejczykami i zapewne nawet nie stawiając „problemu niewspółmierności“, Egipcjanie w XIX wieku pne. Przyjmowali oni dla celów miernictwa powierzchnię koła równą kwadratowi średnicy koła pomniejszonejo 1/9 średnicy, stąd S=(8/9d)². Bok kwadratu zatem, którego pole miało być równe powierzchni koła, wynosiłby 8/9 d, a stąd π ~ 3,1605. Historycy, począwszy od M. Cantora, starają się odtworzyć sposób, w jaki Egipcjaniedoszli do tego przybliżenia. Podobne próby kwadrowania koła podejmowanow starożytnym Babilonie a także w Chinach.Od czasów hellenistycznych specjalne miejsce w pracach teoretycznych nad kwadraturą koła zajmuje traktat Archimedesa (ok. 287 -212 p.n.e), zatytułowany Mensura circuit, Miara koła, rozpoczynający się rozdziałemO kwadraturze kola. Archimedes przedstawia tam konstrukcję geometryczną pozwalającą wyrazić powierzchnię koła poprzez powierzchnię trójkąta prostokątnego o podstawie równej obwodowi koła i wysokości równej jego promieniowi, który nie trudno jest sprowadzić do kwadratu. Dokładna konstrukcja takiego trójkąta byłaby możliwa pod warunkiem dokonania tak zwanej, w późniejszej literaturze matematycznej, rektyfikacji okręgu, wyrażenia obwodu koła przy pomocy odcinka. Dzieło Archimedesa niesie obietnicę możliwości dokonania przybliżonej kwadratury koła w oparciu o logistykę: z konieczności wkracza tu bowiem wyrażenie niewspółmierności obwodu i promienia poprzez liczbowe przybliżenia. Archimedes wyliczył π mieszczące się w przedziale 3 10/71 <π< 3 1/7, stąd wartość średnia 3,1418, obciążona błędem ok. 0,0002. Powszechnie posługiwano się wartością z nadmiarem. W krakowskich rękopisach matematycznychi astronomicznych z XV wieku, w obliczeniach wykonywanych dla potrzeb astronomii, między innymi w Summa super tabulasMarcina Króla z Żurawicy (alias z Przemyśla) odnajdujemy tęże wartość, zapisywaną jako ułamek niewłaściwy 22/7, wraz z uwagą że wyliczył ją „Archemides“ lub nawet „Archiperimenides“. Tymczasem, równolegle do wartości wyliczonej przez Archimedesa, funkcjonowała - implicite - w Krakowie, podobnie jak i w „reszcie uniwersyteckiej Europy“, wartość π równa w przybliżeniu 3,1416, wyliczona przez Ptolemeusza. Historycy w rożny sposób porządkują źródła dotyczące kwadratury koła. Zgodni są w jednym, a mianowicie, że od starożytności do początków oświecenia powstawały prace, konstrukcyjne i obliczeniowe, które pozostając w nurcie geometrycznym, głownie, choć nie wyłącznie archimedejskim, miały na celu wyłącznie zwiększanie dokładności π. W nurcie tym sytuuje się także konstrukcja Adama Kochańskiego ogłoszona w 1685 roku, dająca z dobrym przybliżeniem odcinek równy połowie obwodu danego koła. Szczytowym osiągnięciem fazy pierwszej było wyliczenie π przez Ludolpha van Cuelen do trzydziestu pięciu miejsc po przecinku. W następnej fazie stosowana jest metoda arytmetyczna, kolejne przybliżenia π zostają obliczane przy pomocy ułamków ciągłych bądź przez ciągi nieskończone (Wallis, James Gregory), osiągając do stu miejsc po przecinku. Faza, związana z analizą matematyczną daje nowe warsztatowo możliwości wraz z osiągnięciami Newtona: zamiast metody geometrycznej stosowana jest metoda analityczna (On the method of fluxions and infinite series, 1737). Wreszcie w XIX wieku do proponowanych wciąż nowych wzorów obliczeń π dochodzą rozważania metodologiczne. W związku z refleksją metodologiczną nad podstawami matematyki powstają studia o naturzeliczby π, uwieńczone udowodnieniem przez Liouville’a (1844) istnienia liczb transcendentalnych, obok liczb algebraicznych i wykazaniem, przez Lindemanna (1882), że także π jest liczbą transcendentalną (nie spełnia równania algebraicznegoze współczynnikami wymiernymi). Równa się to stwierdzeniu, że kwadratura koła nie może być zrealizowana ani metodami geometrii elementarnej, ani przy pomocy krzywych algebraicznych. Dzieje kwadratury koła, związane z historią liczby π, są więc dziejami osiągania coraz lepszych przybliżeń w konstrukcjach geometrycznych i w wyliczeniach π (dysponujemy już ponad 50 bilionami miejsc dziesiętnych, a o dalszym rozwoju sytuacji można się przekonać chociażby otwierając w internecie stronę Uniwersytetu Simona Frasera i pracującego tam matematyka J. Borweina) natomiast w uzasadnieniach teoretycznych są potwierdzeniem tego, co przeczuwali- i czego obawiali się - Starożytni.

The paper deals with a short treatise Quadratura circuli preserved in four Cracow manuscripts from ca. 1420 (ms. BJ 552) and ca. 1445 (mss. BJ 1844, BJ 1918, and BJ 1927), related to the teaching of mathematics and astronomy at the faculty of arts at Cracow university. The Quadratura circuli is very close to a fragment of Bradwardinus’ Geometria speculativa devoted to the quadrature of the circle. The comparison was done with Bradwardinus’ text in Marshall Clagett’s edition in Archimedes, vol. I p. 34, lines 40-85. (See above the Annex and annotations 4 and 17).