Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 1

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: nieliniowy przepływ w ośrodku porowatym

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

One-dimensional, third power type non-darcy flows through porous media

Sławomirski M. R.

Archives of Mining Sciences

2006

Vol. 51, no 3

291-310

In the paper one-dimensional confined non-Darcy's flow through porous media has been considered. Basing on rational considerations and empirical investigations presented in the literature the author has assumed the third power type relationship between the seepage velocity u and pressure gradient grad P. The considered relationship represented by Eq. (9) involves two parameters K and B typical of a given porous material. The first of them is a homologue of permeability coefficient whereas the second one expresses the deviation from the Darcy's law. The author analysed the rectilinear flow, the flows through layered porous medium, the radial flow in the vicinity of a single well, and the spherical flow. It has been demonstrated that the third power type equation (9) may efficiently be applied for the description of non-Darcy's flows through porous media, and equations describing various one-dimensional non-Darcy's flows may uniquely be solved applying direct methods. The solutions involve often the Cardano formulae for the roots of cubic equations. For all cases considered in this paper the discriminants of cubic equations are positive. Eeach of equations possesses then three roots: two complex roots, and one real root. Complex roots do not possess a physical sense whereas the real root represents the genuine solution of the problem. Tbe author proved that for the simple rectilinear non-Darcy's flow the seepage velocity depends on pressure drop deltaP in the non-linear mode represented by Eq. (15). Two detailed cases of the rectilinear flow through layered medium were considered: the flow the direction of which is parallel to the strata plane, and the flow the direction of which is normal to the strata plane For the first case the flow rate is the sum of flow rates through successive strata (cf. Eqs. (17), (18)). For the second case the author obtained the non-linear relationship (Eqs. (30), (31)) between the seepage velocity u, overall pressure drop per distance, and harmonic means of Ki parameters for successive strata. The radial flow has been considered in a vicinity of a single well. It has been demonstrated that in a well drainage zone the dependence of pressure P on the distance from the well axis r is represented by the sum of the logarithmic and the negative second power functions (Eq. (49)). Moreover, the dependence the pressure drop in the drainage zone Pe - P won the well flow rate Q is non-linear, and it is represented by the third power type relationship (Eq. (51)). The formula for a single well production has been obtained in the form (55). Finally, the spherical type flow has been considered. The author has demonstrated that for the spherical flow the dependence of pressure P on the distance from the centre of the sphere r is represented by the sum of the negative power terms.

W artykule rozważono jednowymiarowe przepływy w ośrodku porowatym nie podlegające prawu Darcy'ego. Korzystając ze znanego z literatury uzasadnienia teoretycznego opartego na teorii homogenizacji, a także danych empirycznych autor przyjął nieliniową relację między prędkością filtracji u i gradientem ciśnienia grad P. Relacja ta, dana równaniem (9) zawiera dwa parametry K oraz P zależne od rodzaju ośrodka porowatego, przy czym parametr K jest odpowiednikiem przepuszczalności, a parametr j3 wyraża odchylenie od prawa Darcy'ego. Rozważono przepływ prostoliniowy przez ośrodek jednorodny, przepływy prostoliniowe przez ośrodek uwarstwiony, przepływ radialny w sąsiedztwie pojedynczego odwiertu oraz przepływ o symetrii sferycznej. Wykazano, że nieliniowe równanie (9) może być zastosowane w sposób efektywny do opisu nieliniowego przepływu w ośrodku porowatym, a równania opisujące rozmaite przypadki jednowymiarowego przepływu nieliniowego mogą być rozwiązane metodami analitycznymi. Rozwiązania analityczne wykorzystują często wzory Cardana na pierwiastki równania sześciennego. We wszystkich rozważanych przypadkach wyróżnik równania jest dodatni. Równania te mają wówczas trzy pierwiastki, z których dwa są zespolone i nie posiadają sensu fizykalnego, natomiast trzeci, rzeczywisty pierwiastek stanowi właściwe rozwiązanie zagadnienia. Wykazano, że dla nieliniowego przepływu prostoliniowego prędkość filtracji u zależna jest od spadku ciśnienia M> w sposób nieliniowy, podany formułą (15). Przy przepływie przez ośrodek uwarstwiony założono, że każda z warstw posiada właściwą dla siebie miąższość hi oraz parametry ośrodka Ki, P i, a ośrodek może być traktowany jako anizotropowy o symetrii odpowiadającej układowi heksagonalnemu. Rozważono dwa przypadki prostoliniowego przepływu przez ośrodek uwarstwiony: przepływ w kierunku równoległym do płaszczyzny warstw oraz przepływ w kierunku prostopadłym do płaszczyzny warstw. W pierwszym przypadku natężenie przepływu jest sumą wydatków przez poszczególne warstwy (równ. (17), (18)). Dla drugiego przypadku autor uzyskał nieliniową zależność między prędkością filtracji u, całkowitym spadkiem ciśnienia oraz wartościami średnich harmonicznych parametrów Ki dla poszczególnych warstw. Zależność ta ma postać nieliniową i dana jest ona równaniem (34). Wagami w średnich harmonicznych są miąższości poszczególnych warstw hi oraz wartości parametru ośrodka Pi dla poszczególnych warstw. W przepływie nieliniowym przepuszczalność zastępcza pakietu złożonego z warstw porowatych nie jest średnią harmoniczną przepuszczalności poszczególnych warstw jak to ma miejsce w przypadku przepływu Darcy'ego. Rozważono przepływ radialny w otoczeniu pojedynczego odwiertu. Wykazano, że rozkład ciśnienia w strefie drenażu p(r) ma postać sumy funkcji typu logarytmicznego oraz funkcji zawierającej ujemną drugą potęgę odległości od promienia odwiertu r. Rozkład ciśnienia podany jest w postaci wzoru (49). Ponadto zależność między wielkością depresji w strefie drenażu Pe - Pw a wydatkiem odwiertu Q ma postać wielomianu trzeciego stopnia danego formułą (51). Wzór na wydatek pojedynczego odwiertu uzyskano w postaci wyrażenia (55). Jest ono znacznie bardziej skomplikowane od znanego wzoru dla radialnego przepływu Darcy'ego. Rozważono też przepływ o symetrii sferycznej. Wykazano, że rozkład prędkości filtracji u(r) dany jest wówczas równaniami (58), (70), a rozkład ciśnienia ma postać sumy funkcji zawierających wyrażenia z ujemnymi potęgami całkowitymi (równ.. (72)).