Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

It is Undecidable if Two Regular Tree Languages can be Separated by a Deterministic Tree-walking Automaton

Bojańczyk M.

Fundamenta Informaticae

|

2017

|

Vol. 154, nr 1/4

37--46

EN

The following problem is shown undecidable: given regular languages L, K of finite trees, decide if there exists a deterministic tree-walking automaton which accepts all trees in L and rejects all trees in K. The proof uses a technique of Kopczyński from [1].

2

Mathematical induction in proving of theorems about natural numbers divisibility

Żywuszko K., Czajkowski A. A.

Problemy Nauk Stosowanych

|

2013

|

T. 1

101--116

EN

Introduction and aims: This paper presents the concept of the division of mathematical expressions with natural variable related to the problem of divisibility. The paper shows some proofs of selected problem. The main aim of this paper is to show a few proofs of theorems about divisibility of expressions by using the method of mathematical induction. Material and methods: In this paper have been solved examples from different sources. Considered problems contain: only polynomials, the sum of powers of different bases (and constant as a component), the sum of the products of powers with different bases (and constant as a component), the sum of the powers and polynomials, the sum of the products of powers and polynomials, the sum containing the power of (-1), Fibonacci sequence, the expression containing a power of the power and problems containing power in divider. In the paper has been used the method of mathematical induction. Results: It has been shown 16 proofs of problems by using mathematical induction. In some examples have been used the additional lemmas which complete the main proof. Conclusion: Using some properties of divisibility theorems and the theorem about mathematical induction allow to show proofs which refer to the divisibility by natural number of various mathematical expressions with natural variable n.

PL

Wstęp i cele: W pracy przedstawiono koncepcję podziału wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną odnoszących się do problemu podzielności a także przedstawiono dowody wybranych zadań. Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu dowodzenia twierdzeń o podzielności wyrażeń przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej. Materiał i metody: W pracy rozwiązano przykłady z różnych źródeł. Rozważono zadania zawierające: tylko wielomiany, sumy potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy iloczynów potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy potęg i wielomianów, sumy iloczynów potęg i wielomianów, sumy zawierające potęgę (-1), ciąg Fibonacciego, wyrażenia zawierające potęgę potęgi oraz zadania zawierające potęgę w dzielniku. Zastosowano metodę indukcji matematycznej. Wyniki: Przeprowadzono dowody 16 przykładów przy użyciu indukcji matematycznej. W niektórych przykładach zastosowano dodatkowo dowody lematów, które uzupełniają całość dowodu głównego. Wniosek: Korzystanie z pewnych właściwości twierdzeń o podzielności i twierdzenia o indukcji matematycznej pozwala pokazać dowody, które odnoszą się do podzielności przez liczby naturalne różnych wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną.

3

Nowy sposób wyznaczania Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW) liczb naturalnych. Interpretacja graficzna, wizualizacja oraz programy w języku basic i C++

Bocian S.

TTS Technika Transportu Szynowego

|

2012

|

R. 19, nr 9

1721--1730, CD

PL

W artykule omówiony został nowy sposób wyznaczania Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW) liczb naturalnych. Może on być stosowany do wszelkiego rodzaju obliczeń w różnych programach komputerowych. Jest znacznie prostszy od obecnie stosowanych algorytmów NWW liczb naturalnych, co znacznie zmniejsza złożoność czasową i pamięciową obliczeń wykonywanych przez komputer.

EN

A new way of determining the SCM (Smallest Common Multiple) of natural numbers can be used for all kinds of calculation in the different computer programs. It is considerable simpler than the currently used SCM algorithms of natural numbers. The algorithms was applied to study of the characteristic semigroups complexity of the strongly consistent asynchronous automata.

4

On additive and multiplicative magic cubes

Trenkler M.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2008

|

Vol. 13

67-72

EN

An additive magic cube is a cubical array containing different natural numbers such that the sum of the numbers along every row and every diagonal is the same. A multiplicative magic cube is cubical array containing mutually different natural numbers such that the product of the numbers along each row and diagonal is the same. In this paper we give several ways to construct additive and multiplicative magic cubes.

5

About Various Methods of Calculating the Sum [formula]

Bryll G., Rygał G.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2006

|

Vol. 11

7--16

EN

Pupils of secondary school as well as students often have problems with calculating the sums of the mth powers of successive natural numbers. In this paper we present certain methods of finding such sums.

6

Building regular patterns with side diagonal and polygonal numbers

Wałcerz S., Blandzi S.

Kwartalnik Historii Nauki i Techniki

|

1998

|

R. 43, nr 1

43--49

PL

Poszukiwania pochodzenia i natury liczb, prowadzone w antycznej Grecji, spowodowały rozwój metod służących do geometrycznej reprezentacji zarówno samych liczb naturalnych, jak i zjawisk wyrażanych liczbowo: proporcji, współmierności i symetrii.W tradycji platońskiej jedność (monas, hen - metron) odgrywała wyróżnioną rolę jako zasada tworzenia i ontologiczno-epistemologiczne prius. Liczba naturalna była nie tylko identyfikowana z mocą zbioru, to jest liczbą elementów (systemamonadon)', liczba jako taka traktowana była jako rzeczywista siła przyrody. System liczb znany jako liczby brzegowe (boczne) i przekątniowe (diagonalne), którego opis pochodzi od Teona ze Smyrny, był obiektem szerokiego zainteresowania starożytnych matematyków. Jedność (monada), jako początek wszelkich bytów, jest zasadą zarówno brzegu, jak i przekątnej, a więc jedność ma być pierwszą liczbą brzegową (a1) oraz pierwszą liczbą przekątniową (d1). Teon stwierdził, że suma kwadratów wszystkich liczb przekątniowych dnjest równa podwojonej sumie wszystkich liczb brzegowych an. Kolejne ilorazy dn / anprzybliżają coraz lepiej liczbę jednak, jak zauważył Platon, rzeczywista (pitagorejska) przekątna nie jest dokładnie równa odpowiedniej liczbie przekątniowej. Klasyfikacja liczb naturalnych poprzez przypisanie im odpowiednich wielokątów jest pierwszym przykładem badania zjawisk symetrii w sposób sformalizowany. Liczbę klasyfikowano jako n - kątną, jeżeli z n punktów można w odpowiedni sposób skonstruować n-kąt foremny, na przykład liczby trójkątne to: 1,3,6,10,15... (rys. 2), liczby czworokątne to: 1, 4, 9, 16... (rys. 3), liczby pięciokątne to: 1, 5, 12, 22, 35... (rys. 4). Jedność, jako zasada wszystkiego, jest początkową liczbą każdego rodzaju, a każda liczba n-kątna zawiera w sobie wszystkie poprzednie liczby o tej samej symetrii n-krotnej. Grecy zbudowali tablice kolejnych liczb trój-, cztero-, pięcio- itd. kątnych, co umożliwiało im znalezienie dowolnie dużej liczby dowolnego rodzaju. Obecnie można podać wyrażenie ogólne na k-tą liczbę n-kątną (3), przyjmując c0= 0, c1= 1 dla dowolnego n. Ponieważ Grecy nie zapisywali liczby zero, wyrażenie typu (3) było nieznane. Obecnie interesujące jest to, że liczby wielokątne mogą mieć, jak się wydaje, zastosowanie w fizyce ciała stałego. Liczba pięciokątną opisuje strukturę regularną, zbudowaną z idealnie dopasowanych trzech domen o strukturze krystalicznej, jednak jako całość nie jest modelem kryształu, należącego do jednej z klas Bravais. Niemniej, struktury takie jak liczby pięciokątne powodują dyfrakcję przechodzącego promieniowani.