Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Zastosowanie wybranej metody Trefftza do rozwiązania dwuwymiarowego zagadnienia Poissona z uwzględnieniem własności materiałowych ośrodka

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2018

|

R. 19, nr 6

363--367, CD

PL

Celem pracy jest analiza teoretyczna oraz numeryczna jednej z wersji nieosobliwych metod Trefftza na przykładzie zagadnienia dwuwymiarowego opisanego równaniem Poissona. Przekształcając klasyczne sformułowanie zagadnienia brzegowego za pomocą metody residuów ważonych do sformułowań wariacyjnych otrzymuje się równanie obszarowo-brzegowe opisujące dane zagadnienie. W pracy rozpatruje się silne sformułowanie wariacyjne. Przyjmując rozwiązanie w postaci szeregu funkcji Trefftza spełniających jednorodne równanie Laplace’a oraz zakładając również funkcje Trefftza jako funkcje wagowe uzyskuje się równanie metody Trefftza w wersji Galerkina o symbolicznej nazwie O-S;T-T. Artykuł zawiera teoretyczną analizę metody O-S;T- T na przykładzie zagadnienia spełniającego równanie Poissona z uwzględnieniem parametru materiałowego ośrodka.

EN

The aim of this paper is theoretical and numerical analysis of one of the nonsingular Trefftz method. Two-dimensional boundary value problem governed by Poisson’s equation is taken as the example. Domain boundary equation is obtained by transformation of classical formulation of the boundary problem with the use of weighted residual method. In this paper the original variation formulation is considered. The solution of the problem is assumed as the superposition of Trefftz functions, which satisfy Laplace’s equation. Taking the same functions as the weighting functions one obtains equations of the Galerkin version of the Trefftz method with symbolic name O-S;T-T. The paper contains the theoretical analysis of the O-S;T-T method which is confirmed with numerical example.

2

Analiza teoretyczna oraz numeryczna wybranej hybrydowej metody Trefftza z wykorzystaniem techniki łączenia podobszarów opartej na idei ramek

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2018

|

R. 19, nr 12

323--330

PL

Celem artykułu jest analiza teoretyczna oraz numeryczna metody Trefftza w wersji Galerkina o symbolicznej nazwie O-S;T-T. Analizę dokonano na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia opisanego równaniem Poissona wyprowadzonego z silnego sformułowania wariacyjnego. Rozpatrywany obszar podzielono na podobszary w celu wyodrębnienia podobszarów strefowo jednorodnych. W ten sposób otrzymano metodę hybrydową będącą kombinacją metody brzegowej z koncepcją elementów skończonych znanych z Metody Elementów Skończonych. Do łączenia podobszarów zastosowano metodę opartą na idei ramek. Metodę O-S;T-T zaimplementowano do rozwiązania dwóch przykładowych zagadnień brzegowych, na podstawie których przeanalizowano jej dokładność w zależności od przyjętej liczby współczynników Trefftza.

EN

The aim of this paper is theoretical and numerical analysis of Trefftz method in Galerkin version, which symbol is O-S;T-T. The analysis was conducted on the example of two-dimensional Poisson’s problem. Domain of interest was divided into homogeneous subdomains. In this way hybrid method was obtained, that is a combination of the boundary method with conventional finite element known from the Finite Element Method. The method based on idea of “frames” was used to couple subdomains. Finally, the results of numerical experiments obtained for two boundary value problems were presented. The accuracy of the method was analyzed depending on the number of Trefftz coefficients.

3

The usage of the Trefftz method to determine the Biot number

Maciąg A., Walaszczyk M.

Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

|

2017

|

Vol. 16, nr 4

47--55

EN

The paper presents a method for determining the Biot number and the heat transfer coefficient based on the Trefftz functions. Firstly, the temperature distribution in the entire domain is calculated and then used for obtaining the heat transfer coefficient. The usefulness of the method is shown in the examples. The data for the examples are calculated by means of a known exact solution or they are given as measurements. The sensitivity of the presented method is checked. Test examples are used to check the method. Next, the heat transfer coefficient is determined for the real data for a rocket engine.

4

Analiza teoretyczna oraz numeryczna wybranej hybrydowej nieosobliwej metody Trefftza na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia Poissona. Cz. 1

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2017

|

R. 18, nr 12

743--746, CD

PL

Celem pracy jest analiza teoretyczna oraz numeryczna jednej z nieosobliwych metod Trefftza. Analizę przeprowadzono na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia opisanego równaniem Poissona. Równanie obszarowo-brzegowe opisujące dane zagadnienie otrzymuje się wychodząc od jednego ze sformułowań wariacyjnych. W pracy rozpatruje się silne sformułowanie wariacyjne. Odpowiedni dobór funkcji bazowych umożliwia sprowadzenie obliczeń tylko do brzegu analizowanego obszaru. Przewidując rozwiązanie w postaci szeregu funkcji Trefftza, które spełniają jednorodne równanie Laplace’a oraz przyjmując jako wagi te same funkcje otrzymuje się równanie bazowe metody oznaczonej symbolem O-S;T-T (wersja Galerkina). Część pierwsza pracy zawiera analizę teoretyczną metody O-S;T-T oraz pokazuje sposób jej implementacji w celu rozwiązania zagadnienia Poissona. Druga część pracy poświęcona jest zagadnieniu Poissona w obszarze podzielonym na podobszary (metoda hybrydowa). Zaprezentowano tutaj bezpośrednią metodę łączenia podobszarów, którą zaimplementowano do rozwiązania dwóch przykładowych zagadnień brzegowych.

EN

The aim of this paper is theoretical and numerical analysis of one of the nonsingular Trefftz method. Two-dimensional boundary value problem governed by Poisson’s equation is taken as the example. Domain boundary equation is obtained from one of the variational formulation. In this paper the original one is considered. By proper selection of the base functions one can simplify the problem by limiting the calculations to the boundary of the analyzed domain only. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions, which satisfy the differential Laplace’s equation. Taking the same functions as the weighting functions one obtains equations of the O-S;T-T methods (Galerkin version). The first part of the paper contains the theoretical analysis of the O-S;T-T methods and shows how to implement it to solve the Poisson’s problem. The second part of the paper is devoted to Poisson’s problem in the domain divided into subdomains (hybrid method). Direct method of subdomains coupling is presented and implemented for solving two boundary value problems.

5

Analiza teoretyczna oraz numeryczna wybranej hybrydowej nieosobliwej metody Trefftza na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia Poissona. Cz. 2

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2017

|

R. 18, nr 12

747--752, CD

PL

Celem pracy jest analiza teoretyczna oraz numeryczna jednej z nieosobliwych metod Trefftza. Analizę przeprowadzono na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia opisanego równaniem Poissona. Równanie obszarowo-brzegowe opisujące dane zagadnienie otrzymuje się wychodząc od jednego ze sformułowań wariacyjnych. W pracy rozpatruje się silne sformułowanie wariacyjne. Odpowiedni dobór funkcji bazowych umożliwia sprowadzenie obliczeń tylko do brzegu analizowanego obszaru. Przewidując rozwiązanie w postaci szeregu funkcji Trefftza, które spełniają jednorodne równanie Laplace’a oraz przyjmując jako wagi te same funkcje otrzymuje się równanie bazowe metody oznaczonej symbolem O-S;T-T (wersja Galerkina). Część pierwsza pracy zawiera analizę teoretyczną metody O-S;T-T oraz pokazuje sposób jej implementacji w celu rozwiązania zagadnienia Poissona. Druga część pracy poświęcona jest zagadnieniu Poissona w obszarze podzielonym na podobszary (metoda hybrydowa). Zaprezentowano tutaj bezpośrednią metodę łączenia podobszarów, którą zaimplementowano do rozwiązania dwóch przykładowych zagadnień brzegowych.

XX

The aim of this paper is theoretical and numerical analysis of one of the nonsingular Trefftz method. Two-dimensional boundary value problem governed by Poisson’s equation is taken as the example. Domain boundary equation is obtained from one of the variational formulation. In this paper the original one is considered. By proper selection of the base functions one can simplify the problem by limiting the calculations to the boundary of the analyzed domain only. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions, which satisfy the differential Laplace’s equation. Taking the same functions as the weighting functions one obtains equations of the O-S;T-T methods (Galerkin version). The first part of the paper contains the theoretical analysis of the O-S;T-T methods and shows how to implement it to solve the Poisson’s problem. The second part of the paper is devoted to Poisson’s problem in the domain divided into subdomains (hybrid method). Direct method of subdomains coupling is presented and implemented for solving two boundary value problems.

6

Wymiana ciepła podczas wrzenia FC-72 w przepływie przez wymiennik ciepła z minikanałem modelowana funkcjami Trefftza i z wykorzystaniem programu ADINA

Piasecki A., Łabędzki P., Hożejowska S., Piasecka M.

TTS Technika Transportu Szynowego

|

2016

|

R. 23, nr 12

186--190

PL

Praca dotyczy wymiany ciepła podczas wrzenia czynnika chłodniczego FC-72 przepływającego przez wymiennik ciepła z minikanałem prostokątnym o powierzchni rozwiniętej. Akwizycję temperatury na zewnętrznej powierzchni grzejnej umożliwiło zastosowanie kamery termowizyjnej. W pracy zaproponowano dwuwymiarowy matematyczny model opisujący zagadnienie odwrotne wymiany ciepła w module pomiarowym. W oparciu o wyniki eksperymentu wyznaczono rozkłady temperatury powierzchni grzejnej oraz czynnika chłodniczego, co w dalszej kolejności umożliwiło wyznaczenie lokalnych współczynników przejmowania ciepła na styku płyty grzejnej i płynu FC-72. Lokalne współczynniki przejmowania ciepła wyznaczono również z metody jednowymiarowej. Obliczenia numeryczne wykonane metodą Trefftza zweryfikowano z wynikami otrzymanymi w programie ADINA oraz z wynikami z metody jednowymiarowej.

EN

The present paper focuses on flow boiling heat transfer with FC-72 in a heat exchanger containing a rectangular minichannel with structured surfaces. An infrared camera recorded temperatures at the external heated surface. The results of the experiments were used to model heat transfer in the minichannel by Trefftz functions and with the aid of the ADINA program. The heat transfer mathematical model was proposed. The model described the inverse heat transfer problems in the measurement module and allowed determining local heat transfer coefficients at the interface between the heated plate and FC-72 in the minichannel. Numerical calculations performed with the Trefftz functions were verified with the results obtained both from the ADINA program and from one dimensional method.

7

Trefftz method for an inverse geometry problem in steady-state heat conduction

Hożejowski L.

Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

|

2016

|

Vol. 15, nr 2

41--52

EN

The paper addresses a boundary identification problem in two-dimensional steady-state heat conduction. The proposed approach based on the Trefftz method allows one to reconstruct the unknown part of a regular domain boundary from the given temperature measurements on it, provided that both the temperature and heat flux on the remaining part of the boundary are known. The reconstruction of an unknown boundary is done through successive approximations with a polynomial or a truncated Fourier series. The proposed solution method, whose merit lies in the avoidance of large systems of nonlinear equations, is fast converging, accurate and numerically stable, as demonstrated in the included numerical examples.

8

Porównanie dwóch nieosobliwych metod Trefftza na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia Lplace‘a. Cz. 2

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2016

|

R. 17, nr 12

838--842

PL

Celem pracy jest porównanie dwóch wersji metody Trefftza zastosowanych do dwuwymiarowego zagadnienia potencjału opisanego równaniem Laplace’a. Posługując się metodą residuów ważonych, która umożliwia przejście od zagadnienia sformułowanego klasycznie do zagadnień sformułowanych wariacyjnie, otrzymuje się kolejno silne, słabe i odwrotne sformułowanie wariacyjne. W pracy porównano sformułowania silne i odwrotne. Przewidując rozwiązanie w postaci superpozycji funkcji Trefftza spełniających równanie różniczkowe oraz przyjmując jako wagi nieosobliwe funkcje Kupradze otrzymuje się równania bazowe metod oznaczonych symbolami O – S;T–K i I–S;T–K. Część pierwsza artykułu zawiera analizę teoretyczną metod oraz ich porównanie. W drugiej części pracy na przykładzie dwóch zagadnień brzegowych zamieszczono testy numeryczne obydwu metod. Implementację metod wykonano w środowisku Matlab. Jako przykłady wybrano dwuwymiarowe zagadnienia brzegowe opisane równaniem Laplace’a (proste zagadnienie Laplace’a, problem Motza). Przeprowadzone eksperymenty numeryczne umożliwiły ilościowe oszacowaniu dokładności metod oraz podały jakościową miarę błędów.

EN

The aim of this paper is the comparison of two versions of Trefftz method to the analysis of the boundary value problems of the two-dimensional Laplace’s equation. Using the weighted residual method, which allows the transformation of the classical formulation into variational ones, one obtains an original, weak and inverse variational formulation of the boundary problem. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions, which satisfy the differential equation. Taking Kupradze functions (K-functions) as the weighting functions (weights) one obtains equations of the O-S;T- and I-S;T-K methods. The first part of the paper contains the theoretical analysis of the methods and their comparison. Part 2 contains numerical tests of O-S;T-K and I-S;T-K methods, implemented in Matlab environment. As the examples, two-dimensional boundary value problems, governed by Laplace equation are chosen (simple problem, Motz problem). Numerical experiments allow for quantitative estimate of the accuracy of both methods and give a qualitative measure of errors.

9

Porównanie dwóch nieosobliwych metod Trefftza na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia Laplace‘a. Cz. 1

Borkowska D.

Autobusy : technika, eksploatacja, systemy transportowe

|

2016

|

R. 17, nr 12

834--837

PL

Celem pracy jest porównanie dwóch wersji metody Trefftza zastosowanych do dwuwymiarowego zagadnienia potencjału opisanego równaniem Laplace’a. Posługując się metodą residuów ważonych, która umożliwia przejście od zagadnienia sformułowanego klasycznie do zagadnień sformułowanych wariacyjnie, otrzymuje się kolejno silne, słabe i odwrotne sformułowanie wariacyjne. W pracy porównano sformułowania silne i odwrotne. Przewidując rozwiązanie w postaci superpozycji funkcji Trefftza spełniających równanie różniczkowe oraz przyjmując jako wagi nieosobliwe funkcje Kupradze otrzymuje się równania bazowe metod oznaczonych symbolami O – S;T–K i I–S;T–K. Część pierwsza artykułu zawiera analizę teoretyczną metod oraz ich porównanie. W drugiej części pracy na przykładzie dwóch zagadnień brzegowych zamieszczono testy numeryczne obydwu metod. Implementację metod wykonano w środowisku Matlab. Jako przykłady wybrano dwuwymiarowe zagadnienia brzegowe opisane równaniem Laplace’a (proste zagadnienie Laplace’a, problem Motza). Przeprowadzone eksperymenty numeryczne umożliwiły ilościowe oszacowaniu dokładności metod oraz podały jakościową miarę błędów.

EN

The aim of this paper is the comparison of two versions of Trefftz method to the analysis of the boundary value problems of the two-dimensional Laplace’s equation. Using the weighted residual method, which allows the transformation of the classical formulation into variational ones, one obtains an original, weak and inverse variational formulation of the boundary problem. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions, which satisfy the differential equation. Taking Kupradze functions (K-functions) as the weighting functions (weights) one obtains equations of the O–S;T–K and I–S;T–K methods. The first part of the paper contains the theoretical analysis of the methods and their comparison. Part 2 contains numerical tests of O–S;T–K and I–S;T–K methods, implemented in Matlab environment. As the examples, two-dimensional boundary value problems, governed by Laplace equation are chosen (simple problem, Motz problem). Numerical experiments allow for quantitative estimate of the accuracy of both methods and give a qualitative measure of errors.

10

Application and analysis of an adaptive wave-based technique based on a boundary error indicator for the sound radiation simulation of a combustion engine model

Mócsai T., Diwoky F., Hepberger A., Priebsch H.-H., Augusztinovicz F.

Computer Assisted Methods in Engineering and Science

|

2015

|

Vol. 22, no. 1

3--30

EN

In recent years, Trefftz methods have received increasing attention, as being alternatives of the already well-established element-based simulation methods (e.g., finite element and boundary element methods). The wave-based technique is based on the indirect Trefftz approach for the solution of steady-state, timeharmonic acoustic problems. The dynamic field variables are expanded in terms of wave functions, which satisfy the governing partial differential equation, but do not necessarily satisfy the imposed boundary conditions. Therefore, the approximation error of the method is exclusively caused by the error on the boundary, since there is no additional error present in the domain. The authors investigate the potentials of a novel boundary error indicator-controlled adaptive local refinement strategy. Practical, industrial-oriented application of the method is presented on the 3D free-field sound radiation model of a simplified combustion engine. Results and efficiency of the approach are compared to a priori, frequency-dependent global refinement strategies.

11

Zastosowanie metody Trefftza do rozwiązania dwuwymiarowego zagadnienia Laplace‘a, cz. 2

Borkowska D.

Logistyka

|

2014

|

nr 6

2204--2210

PL

Celem pracy jest zastosowanie jednej z wersji metod Trefftza do analizy dwuwymiarowego zagadnienia potencjału opisywanego równaniem Laplace’a. W tym celu posłużono się równaniem całkowym brzegowym wyprowadzonym z odwrotnego sformułowania wariacyjnego. Przewidując rozwiązanie w postaci superpozycji funkcji Trefftza spełniających równanie różniczkowe oraz przyjmując jako wagi również funkcje Trefftza otrzymuje się równanie bazowe metody oznaczonej symbolem I-S;T-T. Część pierwsza artykułu zawiera analizę teoretyczną metody. Druga część pracy zawiera szczegóły dotyczące techniki programowania metody (której implementację wykonano w środowisku Matlab) oraz numeryczne rozwiązanie wybranego dwuwymiarowego zagadnienia brzegowego Laplace’a. Jako przykład testowy wybrany został problem Motza. Przeprowadzone eksperymenty numeryczne dla różnych danych wejściowych ukazują przydatność metody w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych.

EN

The aim of this paper is the application of one of the versions of Trefftz method for solving 2D Laplace boundary value problem. In order to do that boundary integral equation derived from inverse variational formulation is applied. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions. Similarly the weights are taken also as the set of T-complete functions. In this way the basis equation of I-S;T-T method is obtained. The first part of the paper contains the theoretical analysis of the method. Part 2 presents the details concerning programming technique of I-S;T-T method implemented in Matlab environment and the numerical solution of the 2D Laplace boundary value problem. Motz’s problem is chosen as the benchmark of the method. Numerical experiments, conducted for various input data, show the usefulness of the method.

12

Zastosowanie metody Trefftza do rozwiązania dwuwymiarowego zagadnienia Laplace‘a, cz. 1

Borkowska D.

Logistyka

|

2014

|

nr 6

2198--2203

PL

Celem pracy jest zastosowanie jednej z wersji metod Trefftza do analizy dwuwymiarowego zagadnienia potencjału opisywanego równaniem Laplace’a. W tym celu posłużono się równaniem całkowym brzegowym wyprowadzonym z odwrotnego sformułowania wariacyjnego. Przewidując rozwiązanie w postaci superpozycji funkcji Trefftza spełniających równanie różniczkowe oraz przyjmując jako wagi również funkcje Trefftza otrzymuje się równanie bazowe metody oznaczonej symbolem I-S;T-T. Część pierwsza artykułu zawiera analizę teoretyczną metody. Druga część pracy zawiera szczegóły dotyczące techniki programowania metody (której implementację wykonano w środowisku Matlab) oraz numeryczne rozwiązanie wybranego dwuwymiarowego zagadnienia brzegowego Laplace’a. Jako przykład testowy wybrany został problem Motza. Przeprowadzone eksperymenty numeryczne dla różnych danych wejściowych ukazują przydatność metody w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych.

EN

The aim of this paper is the application of one of the versions of Trefftz method for solving 2D Laplace boundary value problem. In order to do that boundary integral equation derived from inverse variational formulation is applied. The solution of the problem is assumed as the superposition of regular Trefftz functions. Similarly the weights are taken also as the set of T-complete functions. In this way the basis equation of I-S;T-T method is obtained. The first part of the paper contains the theoretical analysis of the method. Part 2 presents the details concerning programming technique of I-S;T-T method implemented in Matlab environment and the numerical solution of the 2D Laplace boundary value problem. Motz’s problem is chosen as the benchmark of the method. Numerical experiments, conducted for various input data, show the usefulness of the method.

13

Wyznaczanie dwuwymiarowego pola temperatury wrzącej cieczy w przepływie przez pionowy minikanał

Hożejowska S.

Inżynieria i Aparatura Chemiczna

|

2013

|

Nr 4

319--320

PL

Celem pracy jest zastosowanie metody Trefftza do wyznaczenia dwuwymiarowego pola temperatury wrzącego czynnika chłodniczego płynącego przez asymetrycznie ogrzewany prostokątny minikanał. Dla równania zachowa¬nia energii przy znanym profilu prędkości wyprowadzono funkcje Trefftza. Obliczenia przeprowadzono dla fazy ciekłej. Wyniki porównano z uproszczonym modelem, gdzie rozwiązanie metodą Trefftza połączono z metodą operacji odwrotnych. W obu podejściach otrzymano zbieżne wyniki.

EN

Application of the Trefftz method in the determination of two-dimensional temperature field of boiling liquid flowing through an asymmetrically heated rectangular minichannel is presented in the paper. The Trefftz functions for a known velocity profile were introduced in the energy balance equation Calculations were performed for liquid phase only. The results were compared with a simplified model where the Trefftz method was combined with inverse operations. Both approaches gave similar results.

14

Simulation of in-plane vibrations of 2D structural solids with singularities using an efficient wave based prediction technique

Vanmaele C., Vergote K., Vandepitte D., Desmet W.

Computer Assisted Methods in Engineering and Science

|

2012

|

Vol. 19, no. 2

135-171

EN

This paper proposes the wave based method for the steady-state dynamic analysis of the in-plane behaviour of 2D structural solids. This novel prediction technique relaxes the frequency limitations of the commonly used finite element method through an improved computational efficiency. This efficiency is obtained by selecting basis functions which satisfy the governing equations a priori, in accordance with the indirect Trefftz approach. Special attention is paid to problems in which singularities appear in the problem solution. For these problems, the conventional set of basis functions is extended with functions which can represent the singularity accurately. The capabilities of this novel method for mid-frequency applications, as compared to the standard finite element method, are demonstrated by means of two numerical examples.

15

Obliczanie sztywności efektywnej kwadratowej płyty perforowanej metodą Trefftza z użyciem specjalnych T-funkcji

Mierzwiczak M.

Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej. Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją

|

2008

|

Nr 9

55-65

16

Rozwiązywanie zadań brzegowych liniowej piezoelektryczności pośrednią metodą Trefftza

Dziatkiewicz G.

Modelowanie Inżynierskie

|

2008

|

T. 4, nr 35

15-22

PL

Analiza sprzężonych pól mechanicznych i elektrycznych w materiałach piezoelektrycznych wymaga rozwiązania układu sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki i elektrodynamiki ośrodków ciągłych. W niniejszej pracy, do rozwiązywania tego typu zadań brzegowych, wykorzystuje się pośrednią metodę Trefftza. W metodzie tej rozwiązanie problemu brzegowego jest aproksymowane za pomocą szeregu tzw. T-funkcji. Do ich wyznaczenia wykorzystano formalizm Stroha. Zaproponowano wersję kollokacyjną metody, co prowadzi do rozwiązań w sensie najmniejszych kwadratów.

EN

The coupled field analysis of piezoelectric materials requires solution of continuum mechanics and continuum electrodynamics equations. In this work, formulation of the indirect Trefftz method is introduced. In the Trefftz method, the solution of the boundary-value problem is approximated by the T-complete functions. The Stroh formalism allows to obtain the T-complete functions. The collocation method assumes that the residuals vanish at the boundary points. The resulting system of algebraic equations is usually solved by using the least square method.

17

The method of solving polynomials in the beam vibration problem

Al-Khatib M. J., Grysa K., Maciąg A.

Journal of Theoretical and Applied Mechanics

|

2008

|

Vol. 46 nr 2

347-366

EN

The paper presents a new method of finding an approximate solution to the beam vibration problem. The problem is described with a partial differential equation of the fourth order. Basically, linear differential equations can be solved by means of various methods. The key idea of the presented approach is to find polynomials (solving functions) that satisfy the considered differential equation identically. In this sense, it is a variant of the Trefftz method. The advantage of the method is that the approximate solution (a linear combination of the solving functions) satisfies the equation identically. The initial and boundary conditions are then satisfied approximately. The formulas for solving functions and their derivatives are obtained. The solving Trefftz functions can be used in the whole domain or can be used as base functions in nodeless FEM. Both cases are considered. A numerical example is included.

PL

Artykuł przedstawia nową metodę przybliżonego rozwiązywania problemów drgań belki, które opisywane są cząstkowym równaniem różniczkowym czwartego rzędu. Generalnie takie równania mogą być rozwiązywane różnymi metodami. Główna idea prezentowanego tutaj podejścia polega na znalezieniu wielomianów spełniających w sposób ścisły dane równanie różniczkowe (funkcje rozwiązujące). Za rozwiązanie przybliżone przyjmuje się kombinację liniową tych funkcji, która również spełnia równanie. Współczynniki kombinacji liniowej wyznaczane są tak, aby uzyskane rozwiązanie w sposób najlepszy (w sensie średniokwadratowym) było dopasowane do danych warunków początkowych i brzegowych. Jest to zatem wariant metody Trefftza. W pracy wyznaczono efektywne wzory dla funkcji rozwiązujących i ich pochodnych. Uzyskane wielomiany mogą być wykorzystane do wyznaczenia rozwiązania w całym obszarze lub też mogą być użyte jako funkcje bazowe w bezwęzłowej Metodzie Elementów Skończonych. Oba przypadki rozważono w pracy. Załączono również przykłady numeryczne.

18

Trefftz functions and application to 3D elasticity

Lee C. Y., Qin Q. H., Wang H.

Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences

|

2008

|

Vol. 15, No. 3/4

251-263

EN

When solving complex boundary value problems, the primary advantage of the Trefftz method is that Tr-efftz functions a priori satisfy the governing differential equations. For the treatment of three-dimensional isotropic elasticity problems, it is proposed that the bi-harmonic solutions in Boussinesq's method can be expressed as half-space Fourier series to bypass the difficulties of integral ion. A total of 29 Trefftz terms for each component of the displacement vectors are derived from (he general solutions of the elasticity system. Numerical assessments on the proposed formulations arc performed through two examples (a cubic and a cylindrical body). Results arc compared with those from the method of fundamental solutions (MFS) and the commercial finite element method (FEM) software STRAND 7, suggesting that Trefftz functions can provide pseudo-stability, faster convergence and reduced error margins.

19

Coupling techniques of Trefftz methods

Huang H. T., Li Z. C., Cheng A. H. D.

Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences

|

2008

|

Vol. 15, No. 3/4

183-213

EN

The Trefftz method pioneered by Trefftz in 1926 is described as follows: The particular solutions or the fundamental solutions are chosen, a linear combination of those functions is regarded as an approximate solution of partial differential equations (PDEs), and their expansion coefficients are sought by satisfying the interior and exterior boundary conditions. When the solution domain is not rectangular or sectors, the piecewise particular solutions may be chosen in different subdomains, and some coupling techniques must be employed along their interior boundary conditions. In Li et al. [1], the collocation method is used for the Trefftz method, to lead to the collocation Trefftz method (i.e., the indirect Trefftz method). In this paper, we will also discuss other four coupling techniques: (1) the simplified hybrid techniques, (2) the hybrid plus penalty techniques, (3) the Lagrange multiplier techniques for the direct Trefftz method, and (4) the hybrid Trefftz method of Jirousek [2] and Qin [3]. Error bounds are derived in detail for these four couplings, to achieve exponential convergence rates. Numerical experiments are carried out, and comparisons are also made.

20

Application of Trefftz method for temperature rise analysis on human skin exposed to radiation

Kita E., Hirayama Y.

Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences

|

2008

|

Vol. 15, No. 1

45-52

EN

This paper describes the application of the Trefftz method to the temperature rise in human skin exposed to radiation from a cellular phone. A governing equation is given as the Poisson equation. An inhomogeneous term of the equation is approximated with a polynomial function in Cartesian coordinates. The use of the approximated term transforms the original boundary-value problem to that governed with a homogeneous differential equation. The transformed problem can be solved by the traditional Trefftz formulation. Firstly, the present method is applied to a simple numerical example in order to confirm the formulation. The temperature rise in a skin exposed to radiation is considered as a second example.