Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Optymalizacja odwzorowania wielostożkowego Polski według kryterium Airy'ego

Latuszek K. J.

Roczniki Geomatyki

|

2015

|

T. 13, z. 2(68)

109--123

PL

Jednym z podstawowych zadań kartografii matematycznej jest poszukiwanie odwzorowań o minimalnym całkowitym poziomie zniekształceń. Kryterium Airy'ego postuluje minimalizację kwadratów odchyleń od jedności ekstremalnych skal długości dla całego odwzorowywanego obszaru, co odpowiada minimalizacji zniekształceń długości we wszystkich kierunkach. W artykule przedstawiono zoptymalizowane ze względu na kryterium Airy'ego odwzorowanie wielostożkowe obszaru Polski.Przedstawiono trzy różne modele parametryczne odwzorowania wielostożkowego. Dla ustalonej liczby parametrów, modele te zostały zoptymalizowane z wykorzystaniem zmodyfikowanego algorytmu optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada. Modyfikacja polegała na rozszerzeniu algorytmu Neldera-Meada o operator mutacji rozkładem normalnym, znany z algorytmów ewolucyjnych. Pozwoliło to zapobiec przedwczesnej zbieżności algorytmu. Funkcja celu wyznaczana została jako wynik całkowania numerycznego. Zbadana została regularność zoptymalizowanych odwzorowań oraz zilustrowany został rozkład zniekształceń odwzorowawczych w postaci interpolowanych numerycznie ekwideformat. Przyjmując za kryterium stopu działania algorytmu liczbę obliczeń wartości funkcji celu, wybrane parametryzacje zostały porównane ze względu na osiąganą średnio przeciętną wartość zniekształceń długości w badanym obszarze. Przeciętna wartość zniekształceń długości rozumiana jest tutaj jako podniesione do kwadratu, uśrednione i spierwiastkowane zniekształcenia długości w kierunkach skal ekstremalnych – jest to odpowiednik minimalizowanej miary zniekształceń w kryterium Airy'ego.

EN

One of the fundamental tasks of mathematical cartography is to find projections with minimized total distortion. Airys criterion demands that the sum of the squares of the principal scale errors should be minimized for the mapped area, so that the scale distortion in all directions is minimal. In this article, a polyconic projection for Poland, optimized with respect to Airys criterion will be presented. Three parametric models of the polyconic projection will be discussed. For a given number of parameters, these models will be optimized, using a modified Nelder and Mead nonlinear optimization algorithm. The modification consisted of extending Nelder and Mead algorithm with a mutation operator, known from evolutionary algorithms, which adds normally distributed random values to the projection parameters. This helped to prevent the algorithm from converging to a false minimum. Regularity of the optimized projections has been inspected and the distortion pattern has been illustrated using numerically interpolated lines of constant distortion. For a limited number of the objective function calculations, chosen parametric models have been compared, with respect to the averagely achieved mean scale distortion , for many algorithm evaluations, for the mapped area. The mean distortion of lengths is understood as the squared, averaged and square rooted length distortions in directions of extreme scales it corresponds to the minimized measure of distortion according to Airys criterion.

2

Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych - na przykładzie odwzorowania azymutalnego

Latuszek K J

Roczniki Geomatyki

|

2013

|

T. 11, z. 5(62)

75--85

PL

Poszukiwanie odwzorowań o optymalnym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych, według kryteriów integrujących różne miary tych zniekształceń, jest jednym z ważniejszych zadań kartografii matematycznej. W XIX wieku zostały zaproponowane liczne kryteria całkowe, których minimalizacja dla danego odwzorowania utożsamiana jest z uzyskaniem dla niego optymalnego rozkładu zniekształceń. W erze masowej komputeryzacji i wzrostu możliwości obliczeniowej komputerów, popularne stały się obok rozwiązań ścisłych wspomnianych kryteriów, przybliżone rozwiązania numeryczne – oparte na metodach optymalizacji nieliniowej. Bezgradientowa metoda optymalizacji nieliniowej zaproponowana przez Neldera-Meada (Nelder i Mead, 1965), została wykorzystana do optymalizacji rozkładu zniekształceń odwzorowań sfery dla opracowań małoskalowych przez Cantersa (2002). Canters optymalizował odwzorowania całego globu opisane przez szeregi dwuparametrowych wielomianów stopnia piątego, gdzie parametrami były szerokość i długość geograficzna na sferze lub współrzędne płaskie pewnego wyjściowego odwzorowania. Za funkcję celu przyjmowana była wartość zrewidowanej miary Petersa (Canters, 2002) – porównującej dużą liczbę losowo wybranych odległości na powierzchni oryginału z odpowiadającymi im odległościami na powierzchni obrazu. W niniejszej pracy wspomniany algorytm zostanie wykorzystany do optymalizacji rozkładu zniekształceń odwzorowania azymutalnego normalnego sfery według kryterium Airy’ego. Uzyskane rozwiązanie będzie porównane z rozwiązaniem ścisłym dla tego kryterium, podanym przez Gdowskiego (1967). Promień równoleżnika we wzorach na współrzędne płaskie optymalizowanego odwzorowania wyrażony będzie kombinacją liniową promienia w odwzorowaniu początkowym i wyrazów szeregu potęgowego odległości sferycznej od bieguna północnego ∂.

EN

The search for map projections with least possible distortion, satisfying selected criteria which integrate different measures of distortion, is one of the more important tasks of cartography. In the nineteenth century, many integral based criterions have been proposed, minimization of which is considered as achieving an optimal distortion pattern for a given projection. In the present time of mass computerization and constantly rising computation speed, popularity of numerical solutions of the mentioned criteria has risen. These numerical solutions are achieved by application of nonlinear optimization methods. A nonlinear function minimization method proposed by Nelder and Mead (Nelder and Mead, 1965) was used to optimize map projections of the spherical globe for small scale mapping by Frank Canters (2002). Canters optimized projections of the whole globe, for which flat coordinates were given by fifth order polynomials. Parameters of these polynomials were either longitude and latitude on the globe or flat coordinates of a given parent projection. The objective function was the revised Peters measure of distortion (Canters, 2002), which is a finite distortion measure comparing distance between two given points on the globe with their distance on the map, for a large set of randomly chosen points. In the present study, Nelder-Mead algorithm is used to minimize distortion of an azimuthal projection of the sphere in the normal aspect, so that it will satisfy Airy’s criterion. The obtained solution will be then compared with an analytical-strict solution for this criterion, as given by Gdowski (1967). The parallel radius in the formulas describing flat coordinates of the optimized projection is written as a linear combination of the parent projections radius and a power series of ∂ , which denotes spherical distance from the north pole.

3

Pięćsetlecie urodzin Gerarda Merkatora i jego znaczenie dla geoinformacyjnego etapu rozwoju kartografii

Berlant A. M.

Polski Przegląd Kartograficzny

|

2011

|

T. 43, nr 1

27-34

PL

Gerard Merkator (Kremer) (1512-1594), flamandzki kartograf, matematyk i geograf urodził sie w Rupelmonde we Flandrii 5 marca 1512. Podczas studiów w Bois-le-Duc i Lowanium poznał Georgiusa Macropediusa i Gemmę Frisiusa dzięki którym zainteresował się kartografią i naukową geografią. W roku 1534 założył pracownię geograficzną w Lowanium, a w latach 1537-1538 wydał swoją pierwszą mapę Palestyny i małą mapę świata w odwzorowaniu sercowym. W roku 1541 stworzył swój słynny globus ziemi, który otrzymał w prezencie król Karol V. W roku 1551 powstał kolejny globus, tym razem nieba. W 1544 Merkator został na krótko aresztowany i oskarżony o herezję. Wkrótce przyjął zaproszenie Uniwersytetu w Duisburgu, gdzie uczył matematyki w szkole przygotowującej kandydatów na studia. Następnie został kosmografem i osiadł na stałe w Niemczech. W roku 1554 w Duisburgu Merkator zakończył swój projekt nowej mapy Europy. "Odwzorowanie Merkatora" miało taka cechę, że południki, równoleżniki i boki rombów miały na mapie formę linii prostych. W 1569 Merkator przedstawił swoją mapę świata dla celów nawigacji. Była to ostatnia mapa wielkoformatowa w której zastosował odwzorowanie walcowe równokątne znane pod jego imieniem. Jako pierwszy użył słowa "atlas" w odniesieniu do zestawu map. W 1585 Merkator opublikował pierwszy tom swojego atlasu w formie książkowej. Po jego śmierci w 1594 roku jego syn Romuld Merkator i wydawca Henrik Hondius dokończyli Atlas i wydali go w dwóch częściach. Idee Gerarda Merkatora wywierają wielki wpływ na nowoczesną kartografię. Pozostawiły ślad w teorii i wzbogaciły kartografię matematyczną. Odwzorowanie Merkatora jest zawsze używane we wszelkiego rodzaju mapach nawigacyjnych (morskich, lotniczych i drogowych). Merkator przyczynił się także do powstania globusa i wniósł znaczący wkład w kartograficzną metodykę badań - nalegał, aby każdy produkt kartograficzny (mapa, globus) zawierał instrukcję użycia i metodę pomiarów kartometrycznych. Największym osiągnięciem naukowca jest ustalenie zasad tworzenia atlasów i samo słowo "atlas", któremu współczesne znaczenie nadał Merkator.

EN

Gerard Mercator (Kremer) (1512-1594) - was a Flemish cartographer, mathematician and geographer, born at Rupelmonde, in Flanders, on the 5th of March 1512. While studding at Bois-le-Duc and Louvain (where he became licentiate), he met Georgius Macropedius and Gemma Frisius, from them he derived much of his inclination to cartography and scientific geography. In 1534 he founded his geographical establishment at Louvain and in 1537-1538 he published his earliest known map of Palestine and a small map of the world in double hart-shaped projection. In 1541 he issued the famous terrestrial globe which has been presented to King Charles V. In 1551 a celestial globe followed. In 1544 Mercator was arrested for short time and prosecuted for heresy and then he accepted the invitation from University of Duisburg. He taught mathematics in a school designed to prepare students for University. Then he became a cosmographer permanently settled in Germany. In 1554 in Duisburg Mercator completed his project to produce a new map of Europe. The 'Mercator projection' had the property that lines of longitude, latitude and rhomb lines appear as straight lines on the map. In 1569 Mercator presented his world map to be used in navigation. It was Mercator's last map in large format where he used the angle perspective cylindrical projection bearing his name. He was also the first to use the term 'atlas' for a collection of maps. In 1585 Mercator published the first volume of his own world atlas in a book form. After his death in 1594 his son Romuld Mercator together with map publisher Henrik Hondius completed the Atlas and published it in 1589 in 2 parts which included 80 maps. Ideas of Gerard Mercator have a great influence on modern cartography. They left the trace in its theory, enriched mathematical cartography. Mercator's projection is always used for all types of navigation maps (marine, aviation and auto). Mercator made the significant contribution in globes creation as well as in the cartographic method of research since he was the one who insisted that every cartographic product (map, globe) should be accompanied by the instructions for its use and the techniques on how to make cartometric measurements on the maps. The biggest contribution of the great scientist are the principles of atlas mapping and the word 'atlas' itself was started to be used by Mercator.

4

Wybrane aspekty konstruowania odwzorowań kartograficznych o możliwie najmniejszych zniekształceniach odwzorowawczych

Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2008

|

T. 6, z. 4

89-101

EN

The paper deals with map projection minimizing distortion problem. Main criteria of minimizing distortion are presented and some examples of map projection constructed using different criteria are shown. In conformal projection, the problem of minimizing distortions is resolved by Chebyshev theorem. In equal-area projection the problem is still open, because of its possible application to calculation of geodetic polygons. Moreover, a search is going on for the equal-area projection for EU.

5

Badanie nieregularności odwzorowania Cassiniego-Soldnera elipsoidy obrotowej spłaszczonej

Balcerzak J., Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2008

|

T. 6, z. 4

7-18

PL

W artykule przedstawiono pewne osobliwości występujące w układzie współrzędnych Soldera na elipsoidzie oraz wynikające z nich nieregularności obrazu całej elipsoidy w płaszczyźnie odwzorowania Cassiniego-Soldnera. Osobliwości te związane są z przecięciami pewnych linii geodezyjnych elipsoidy z równikiem. Występują one na odcinku równika elipsoidy stanowiącym tzw. biegun układu współrzędnych Soldnera. W odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera odcinek ten, tworzy brzeg siatki kartograficznej, odwzorowujący się nieregularnie. Omówione w artykule osobliwości stanowią także rozwinięcie wiedzy na temat przebiegu linii geodezyjnej na elipsoidzie.

EN

In the paper, some peculiarities occurring in the Soldner coordinate system and irregularities in the image of an ellipsoid in the Cassini-Soldner projection are presented. The peculiarities relate from intersections of geodetic lines with equator. They appear on some section of equator, so called a pole of the Soldner coordinate system. In the Cassini-Soldner projection that section is projected in the irregular way and creates the edge of graticule.

6

Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawiania obszaru Polski w wąskich lub szerokich pasach południkowych

Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2007

|

T. 5, z. 3

147-158

EN

In the paper, properties of the Cassini-Soldner projection of the area of Poland in narrow and wide zones are presented. Two methods of coordinates calculation in that projection are described: the first one is based on power series and it enables to determine flat rectangular coordinates and projection distortions in narrow . 3.40 projection zones and the second method uses elliptic integrals, which enables to project the area of Poland in one wide zone and even the whole ellipsoid. Moreover, results of calculation of linear, angular and area distortions in the Cassini-Soldner projection are presented. A comparison between Cassini-Soldner and generally used in Poland in geodetic works Gauss- Krüger projection are made. In the area of Poland linear distortions are similar in these two projections; area distortions in Cassini-Soldner projection are much smaller than in Gauss-Krüger projection but there are considerable angular distortions.

7

Własności odwzorownania Cassiniego-Soldnera całej elipsoidy

Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2007

|

T. 5, z. 2

73-84

EN

Up till present times Cassini-Soldner projection has been used in geodesy and cartography in narrow (2-3°) zones. In this paper, a new approach to construction of Cassiniego-Soldner projection is presented based on elliptic integrals and Jacoby elliptic functions which allows to project the whole ellipsoid. In the paper, development of formulas for coordinates and for distortion are presented. Properties of Cassini-Soldner projection of the whole ellipsoid are also shown. Especially, some peculiarities which occurs in graticule construction are presented, as well as the graticule in Cassini-Soldner projection of the whole ellipsoid. Moreover, maps presenting distortion by ellipses of distortion and isolines are also shown in the paper.

8

Własności metryczne wybranych odwzorowań anamorficznych

Garbarczyk-Walus S.

Roczniki Geomatyki

|

2007

|

T. 5, z. 3

57-67

EN

The lack of uniform distribution of geographical, economic or social phenomena on the Earth surface is natural. The concentration of objects or phenomena typical for some areas is inconsistent with theoretical assumptions in cartographical study that their distribution should be uniform. The problem with presentation of areas with diversified distribution of information occurs quite often. Good examples provide city centers and their historical districts. Responding to the need of presentation of that kind of geographical space maps of wide range scales (so called anamorphical maps) were introduced. This paper concentrates on some important anamorphical projections, which can be used in practice in the future, for example for typical surveying works. For analytical examination of the nature of that kind of projection, the discussion about the distribution of distortions for selected anamorphical projections was carried out. Test calculations were performed and numerical and graphic results let us better know specific features of that kind of projections and realize what are their application possibilities not only in graphic presentation, where efficient visualization is most important, but also in engineering works.

9

Opracowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera całej elipsoidy oraz obszaru Polski w szerokiej strefie odwzorowawczej z zastosowaniem funkcji i całek eliptycznych Jacobiego

Pędzich P.

Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Geodezja

|

2007

|

z. 42

3-58

PL

Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera było dotychczas stosowane w geodezji i kartografii w wąskich (2-3°) strefach odwzorowawczych. Używano uproszczonych formuł odwzorowawczych w postaci rozwinięć w szeregi potęgowe ograniczone do kilku początkowych wyrazów. W niniejszej pracy przedstawiono podstawy teoretyczne tworzenia odwzorowania Cassiniego-Soldnera całej elipsoidy. Opisano nowe podejście do konstrukcji tego odwzorowania, wykorzystujące całki i funkcje eliptyczne Jacobiego. Praca zawiera kompleksowe opracowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera. Przedstawiono w niej rozwiązanie zagadnienia prostego - odwzorowania powierzchni Ziemi w płaszczyznę mapy oraz zadania odwrotnego - znajdowania przeciwobrazu mapy na powierzchni elipsoidy ziemskiej. Zaprezentowano również formuły opisujące zniekształcenia odwzorowawcze kierunków, kątów, długości i pól. Przeprowadzono także badanie własności odwzorowania Cassiniego-Soldnera całej elipsoidy z uwzględnieniem osobliwości występujących na brzegu siatki kartograficznej w odwzorowaniu. Ponadto przebadano własności tego odwzorowania w odniesieniu do obszaru Polski w szerokiej i wąskiej strefie odwzorowawczej. W pracy przedstawiono także pewne koncepcje dotyczące wyznaczania redukcji odwzorowawczych w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera. Zaprezentowano algorytmy i programy komputerowe pozwalające na obliczanie współrzędnych i zniekształceń odwzorowawczych w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera zarówno całego globu, jak również ograniczonego obszaru. Pokazano także, że opracowane algorytmy mogą mieć zastosowanie np. do obliczania długości łuku południka na elipsoidzie lub realizacji zadania przenoszenia współrzędnych na elipsoidzie na duże odległości.

EN

To the present day the Cassini-Soldner projection has been used in geodesy and cartography in narrow (2-3°) zones. Formulas have had the simple form of power series limited to a few starting expressions. In this thesis the theoretical bases for the creation of the Cassini-Soldner projection of a whole ellipsoid are presented. A new approach to the construction of the Cassini-Soldner projection, based on elliptic integrals and Jacoby elliptic functions, are presented. The thesis consists of a complete explanation of the Cassini-Soldner projection. A solution to the specific problem (i.e. the coordinate transformation between ellipsoid and image plane) and the solution of the indirect problem, which allows for the transformation of coordinates from plane to ellipsoid, is presented. The formulas of angular, area and linear distortion are also presented. The properties of the projection of the whole ellipsoid, with its peculiarities occurring on the edge of the graticule, are also shown. Furthermore, the properties of the projection of the area of Poland in wide and narrow zones are considered. In the thesis some ideas concerning projection reductions and corrections are presented. The algorithms and computer programs which enable the calculation of coordinates and distortion in the Cassini-Soldner projection of the whole ellipsoid and limited areas are also presented. Moreover, the possibilities of the application of the elaborated algorithms in the calculation of the length of geodesic lines, the length of meridians and the achievement of a long distance coordinate transformation, along the geodesic line and upon the ellipsoid, are shown.

10

Zastosowanie wielomianów ortogonalnych do aproksymacji odwzorowań kartograficznych

Balcerzak J., Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2006

|

T. 4, z. 3

33-40

EN

In the paper, an approximation method is presented, which uses orthogonal polynomials. Coefficients of polynomials are determined by recurrence formulas on discrete sets of points. Utilization of orthogonal polynomials allows to avoid creation and solving of normal equation systems. In the paper application of the method to map projection approximation function in .1992. system is also presented. The method may be used in geodesy and cartography for obtaining map projection approximation functions, and calculating elementary scale, convergence and geodetic reductions.

11

Wybrane metody obliczania pól powierzchni wieloboków geodezyjnych na elipsoidzie

Balcerzak J., Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2006

|

T. 4, z. 3

41-49

EN

In the paper theoretical bases of area calculation of geodetic polygons on an ellipsoid are presented. Several methods are described. The first one is based on approximation of a polygon by elementary trapezoids delineated by parallels and meridians. The second method uses approximation of an ellipsoidal polygon by elementary spherical triangles. In the third method an equal-area projection of ellipsoid onto sphere is employed. The forth method uses an equal-area projection of ellipsoid onto plane. In the fifth method reduction of area located between curved image of geodetic line and its chord is presented. The methods described provide competitive and more general solutions than those presented in literature which are applicable only to small ellipsoidal areas.

12

Gauss-Kruger projection - considerations concerning projection functions

Gajderowicz I.

Reports on Geodesy

|

2000

|

z. 8/54

171-178

EN

The paper deals with 3 forms of Gauss-Kruger projection functions. Computation of x, y coordinates of a number of points proved that series based on b=B-Bo and I=L-Lo are the most effective projection functions.