Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Moments of the weighted Cantor measures

Harding Steven N., Riasanovsky Alexander W. N.

Demonstratio Mathematica

|

2019

|

Vol. 52, nr 1

256--273

EN

Based on the seminal work of Hutchinson, we investigate properties of α-weighted Cantor measures whose support is a fractal contained in the unit interval. Here, α is a vector of nonnegative weights summing to 1, and the corresponding weighted Cantor measure μα is the unique Borel probability measure on [0, 1] satisfying [wzór] where φn : x ↦ (x+n)/N. In Sections 1 and 2 we examine several general properties of the measure μα and the associated Legendre polynomials in L2μα[0,1]. In Section 3, we (1) compute the Laplacian and moment generating function of μα, (2) characterize precisely when the moments Im = ∫[0,1]xmdμα exhibit either polynomial or exponential decay, and (3) describe an algorithm which estimates the firstmmoments within uniform error ε in O((loglog(1/ε))·m log m). We also state analogous results in the natural case where α is palindromic for the measure να attained by shifting μα to [−1/2,1/2].

2

Examples of fractal objects generated as the union of terms of a sequence of sets using the ifs method

Furmanek P.

Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics

|

2015

|

Vol. 27

53--61

EN

The Iterated Function System is a commonly used method of generating fractals. Iterating Hutchinson’s operator, which is a set (union) of contraction mappings, leads to the construction of an attractor which is most commonly a fractal. Fractals obtained in this way have the property that their area or volume decreases as the iteration proceeds. Using the analogy of a geometric series, a modification of this method of fractal generation is proposed, based on the union of a sequence of sets, which enables the construction of geometric objects with an increasing volume, while preserving the fundamental fractal nature of the object.

PL

Podstawową metodą generowania fraktali jest System Funkcji Iterowanych, w którym iterowanie operatora Hutchinsona będącego zbiorem (sumą) kontrakcji prowadzi do konstrukcji atraktora będącego najczęściej fraktalem. Fraktale uzyskiwane tą metodą wykazują cechy zmniejszania powierzchni lub objętości w miarę wzrostu liczby kroków iteracji. W analogii do szeregu geometrycznego proponowana modyfikacja sposobu generowania polegająca na sumowaniu wyrazów ciągu zbiorów pozwala na konstruowanie obiektów geometrycznych o rosnącym parametrze objętości przy zachowaniu podstawowych właściwości obiektów fraktalnych.

3

Branched iterated function system (IFS) models with positioners for biological visualizations

Stępień C., Prolejko M.

Bio-Algorithms and Med-Systems

|

2015

|

Vol. 11, no. 4

237--241

EN

While researching new algorithms for computer graphics, we focused on the ones that are useful in modeling biological formations. Iterated function systems (IFS) are commonly used to visualize fractals or 3D selfsimilar objects. Their main advantage is the brevity. In the simplest cases, it is enough to define the shape of the base module and the set of transformations to create a multimodular object. In the literature, models of shells, horns, and beaks are described. To model more complex formations, the modified method was introduced in which parameters of the transformation depend on the number of iteration. Methods: The presented method combines IFS with a new approach to modeling compound objects, which uses positioners. The positioner itself and its possible applications were described in papers that do not refer to IFS models. Results: We show here how to use positioners with IFS models, including branched ones (as models of the bronchial tree). The achieved models can be simplified or more accurate depending on the variant of the algorithm. Thanks to the positioners, these models have a continuous lateral surface regardless of used shape of cross-section. The algorithm is described along with the requirements for a base module. Conclusions: It is indicated that positioners simplify the work of a graphic designer. Obtained models of bronchial trees can be used (e.g. in 3D interactive visualizations for medicine students).

4

Dimension results related to the St. Petersburg game

Kern P., Wedrich L.

Probability and Mathematical Statistics

|

2014

|

Vol. 34, Fasc. 1

97--117

EN

Let Sn be the total gain in n repeated St. Petersburg games. It is known that n−1(Sn − n log2 n) converges in distribution along certain geometrically increasing subsequences and its possible limiting random variables can be parametrized as Y (t) with t ∈ [1/2, 1]. We determine the Hausdorff and box-counting dimension of the range and the graph for almost all sample paths of the stochastic process {Y(t)}t∈[1/2, 1]. The results are compared to the fractal dimension of the corresponding limiting objects when gains are given by a deterministic sequence initiated by Hugo Steinhaus.

5

Programowanie flame fraktali oraz flame animacji w systemach apophysis oraz Flam3

Filipowicz Iwona

Studia i Materiały Informatyki Stosowanej

|

2013

|

nr 13

26--32

PL

W pracy przedstawimy metody tworzenia fraktali typu flame w programie Apophysis oraz programowania fraktalnej animacji, bazującej na technice keyframingu, w systemie Flam3. Flame fraktal jest atraktorem iterowanego układu funkcji i powstaje w wyniku realizacji probabilistycznego algorytmu IFS. W pracy prezentujemy oryginalne przykłady flame-fraktalnych obiektów, które z jednej strony obrazują złożoność matematycznych struktur, a z drugiej strony charakteryzują się wysokim samopodobieństwem oraz symetrią i mogą stanowić niepowtarzalny motyw na tkaninach, tworzywach i innych materiałach.

EN

In this paper we present methods for creating a flame fractal and a fractal animation, based on a keyframing, in Apophysis and Flam3. Flame fractal is an attractor of the iterated function system and arises as a result of a probabilistic algorithm of IFS. In this paper we present original examples of flame-fractal objects, which on the one side, illustrate the complexity of the mathematical structures, on the other side, have a high self-similarity and symmetry and can provide a unique motive on fabrics, plastics and other materials.

6

W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej

Furmanek P.

Architectus

|

2013

|

Nr 1(33)

63--70

PL

W roku 2002 Charles Jencks, znany amerykański architekt, historyk i krytyk architektury, do jednego z ważniejszych dzieł w swoim dorobku (Język postmodernistycznej architektury) dodał dwa rozdziały: „The New Paradigm I – Complexity Architecture” (Nowy paradygmat I – Architektura złożo ności) oraz „The New Paradigm II – «Fractal Architecture»” (Nowy paradygmat II – Architektura fraktalna). W rozdziałach tych autor głosi narodziny nowych kierunków, twierdząc, że przyszłość architektury należeć będzie do fraktali, kosmosu i form falujących. Analizując dokładniej postawione tezy, daje się dostrzec pewne nieścisłości w zakresie doboru przykładów ilustrujących postawione tezy. W artykule podjęto polemikę z autorem, sugerując właściwe zasady kształtowania architektury fraktalnej oparte na matematycznej teorii fraktali.

EN

In 2002 Charles Jencks, a famous American architect, historian and architecture critic added two new chapters to one of his most important works The Language of Post-Modern Architecture: “The New Paradigm I – Complexity Architecture” and “The New Paradigm II – ‘Fractal Architecture’ ”. In the newly added chapters, the author proclaims the birth of new trends in contemporary architecture, saying that its future will belong to fractals, universe and waving forms. Analyzing this thesis further one can notice certain inconsistencies in Charles Jencks’ argumentation and so the author of this article writes a polemic, suggesting appropriate principles of fractal architecture based on mathematical theory of fractals.

7

Algorytmy geometryczne w wizualizacji fraktali układów odwzorowań iterowanych

Martyn T.

Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Elektronika

|

2011

|

z. 178

5-280

PL

W pracy przedstawiono i przeanalizowano algorytmy rozwiązywania podstawowych problemów geometrycznych pojawiających się w wizualizacji komputerowej obiektów fraktalnych opisywanych przy użyciu układów odwzorowań iterowanych (IFS) - atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP. Przedstawiono również - wykorzystujące te algorytmy - metody obrazowania wymienionych obiektów. Zagadnienia omawiane w pracy obejmują : aproksymację tych obiektów, w tym ich aproksymowanie na równomiernych siatkach dyskretnych; wyznaczanie wypukłych zbiorów o zadanej geometrii zawierających atraktory IFS, w tym kół i kul oraz wielokątów i wielościanów wypukłych; wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem oraz obliczanie odległości punktu przestrzeni od atraktora; szacowanie wektorów normalnychw punktach atraktora; metody obrazowania rozważanych obiektów zlokalizowanych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej. Większość z omawianych algorytmów zaprezentowano w formie pseudokodu, który powinien być zrozumiały dla każdego czytelnika znającego dowolny język programowania proceduralnego. Efektywne algorytmy rozwiązywania wymienionych problemów umożliwiają m.in. dokonywanie realistycznej wizualizacji atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczywistym przy wykorzystaniu współczesnego sprzętu graficznego. Nadto, po dokonaniu implementacji odpowiednich algorytmów rozwiązujących te problemy, obrazowanie może być dokonywane za pomocą istniejących aplikacji graficznych. Implementacje te mogą również posłużyć jako niezbędny element do wizualizowania omawianych obiektów przy użyciu powszechnie stosowanych API graficznych, takich jak OpenGL lub Direct3D. W szczególności implementacje te mogą zostać zastosowane jako moduły rozszerzające funkcjonalność istniejących silników graficznych i fizycznych o możliwość przetwarzania modeli opartych na specyfikacjach IFS. Potencjalny zakres zastosowań problematyki podjętej w pracy jest bardzo szeroki i rozciąga się od wizualizacji naukowej, poprzez rozrywkę (gry komputerowe i wideo), do sztuki nowoczesnej. Celem pracy jest zebranie i usystematyzowanie rozwiązań do tej pory rozproszonych w literaturze dotyczącej zarówno grafiki komputerowej, jak i stricte fraktali oraz matematycznej, w tym rezultatów wieloletnich badań przedstawianych przez autora w jego indywidualnych publikacjach. Niektóre z rezultatów, zarówno tych uzyskanych poprzednio przez autora, jak i przez innych badaczy, zostały w niniejszej pracy rozszerzone i zaktualizowane, pewne zaś zostały przedstawione w formie zawężonej do kontekstu tematu pracy.

EN

The monograph is devoted to the presentation and analysis of the methods and algorithms to solve some fundamental problems which appear in computer visualisation of fractal objects described by iterated function systems (IFS), namely IFS attractors and IFSP invariant measures. The discussed topics cover : the approximation of the mentioned objects, including their approximation on rectangular lattices, the determination of convex sets of a given geometry to bound IFS attractors, including bounding discs and balls, as well as boudning polygons and polyhedrons; the determination of the ray-attractor intersection and the computation of the distance between a given point and the attractor; the estimation of the normal vector at attractor points; visualisation of attractors and invariant measures in 2D and 3D space. The majority of the algorithms are presented in the form of a pseudo-code that should be comprehensible to any reader familiar with a procedural programming lanuage. Providing efficient algorithms to solve the mentioned problems makes it possible to perform, amongst others, realistic visualisation of the IFS attractors and IFSP invariant measures in realtime with a modern graphics adaptor. Moreover, the implementation of adequate algorithms allows visualisation to be done with the aid of existing graphics applications. They can also serve as an indispensable ingredient for visualisation of the considered objects by means of popular graphics APIs, such as OpenGL and Direct3D. In particular, they can be used as modules extending the functionality of existing game and physics engines. The scope of potential applications of the issues we deal with in the monograph is very broad and ranges from scientific visualisation, entertainment (computer and video games) to modern art. The main goal of this work is to collect and systematize the solutions scattered so far in relevant literature focused on computer graphics as well as concerned with fractals and mathematics, includind results obtained by the author and published in his individual papers. Some of the results, obtained previously both by the author and other researches, have been generalized and updated in the monograph, while some of them have been presented in a form restricted to the context of the monograph's theme.

8

Upper estimate of concentration and thin dimensions of measures

Gacki H., Lasota A., Myjak J.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2009

|

Vol. 57, no 2

149-162

EN

We show upper estimates of the concentration and thin dimensions of measures invariant with respect to families of transformations. These estimates are proved under the assumption that the transformations have a squeezing property which is more general than the Lipschitz condition. These results are in the spirit of a paper by A. Lasota and J. Traple [Chaos Solitons Fractals 28 (2006)] and generalize the classical Moran formula.

9

Infinite iterated function systems depending on a parameter

Jaksztas L.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2007

|

Vol. 55, no 2

105-122

EN

This paper is motivated by the problem of dependence of the Hausdorff dimension of the Julia-Lavaurs sets Jo,σ for the map fo(z) = x2 + 1/4 on the parameter σ. Using homographies, we imitate the construction of the iterated function system (IFS) whose limit set is a subset of Jo,σ, given by Urbański and Zinsmeister. The closure of the limit set of our IFS {φ[...]} is the closure of some family of circles, and if the parameter σ varies, then the behavior of the limit set is similar to the behavior of Jo,σ. The parameter a determines the diameter of the largest circle, and therefore the diameters of other circles. We prove that for all parameters a except possibly for a set without accumulation points, for all appropriate t > 1 the sum of the tth powers of the diameters of the images of the largest circle under the maps of the IFS depends on the parameter σ. This is the first step to verifying the conjectured dependence of the pressure and Hausdorff dimension on a for our model and for Jo,σ.

10

Infinite iterated function systems : a multivalued approach

Leśniak K.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2004

|

Vol. 52, nr 1

1-8

EN

We prove that a compact family of bounded condensing multifunctions has bounded condensing set-theoretic union. Compactness is understood in the sense of the Chebyshev uniform semimetric induced by the Hausdorff distance and condensity is taken w.r.t. the Hausdorff measure of noncompactness. As a tool, we present an estimate for the measure of an infinite union. Then we apply our result to infinite iterated function systems.

11

Recognition of English and Polish vowels by using fractal transformation

Rauch Ł., Dzwinel W.

Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej

|

2003

|

T. 15, z. 1

43-58

EN

,The holistic approaches based on fractal transformations are recently considered in various types of pattern recognition problems such as face and speech identification. In this paper we verify critically a new holistic method, which was recently published in Pattern Recognition [1]. The method employs iterated function system (IFS) as the feature generation for identification of the basic phoneme, words and syllables from continuous speech. We find the results the method produces unsatisfactory in correct classification of English and Polish vowels. This cast doubt o the usefulness of this approach in recognition of continuous speech. More promising application of IFS we see in detection of boundaries between separate words and syllables.

PL

,Metody holistyczne oparte na przekształceniach fraktalnych wykorzystywane są obecnie w wielu dziedzinach rozpoznawania obrazów takich jak rozpoznawanie twarzy lub mowy ludzkiej. Niniejszy artykuł pooddaje ocenie nową metodę holistyczną tego typu, która została opublikowana w czasopiśmie Pattern Recognition [1]. Podejście to wykorzystuje iterowany system funkcji (IFS) jako generator cech, które w późniejszych obliczeniach służą do identyfikacji pojedynczych fonemów, słów oraz sylab w procesie rozpoznawania mowy ciągłej. Wyniki zwrócone przez tę metodę nie są jednak satysfakcjonujące zarówno dla angielskich jak i polskich samogłosek, co niestety ostatecznie przesądza o przydatności niniejszego rozwiązania w badanym procesie. Jednak bardziej obiecującym kierunkiem rozwoju tego podejścia okazuje się być ekstrakcja wyrazów i sylab z mowy ciągłej za pomocą odpowiednich wymiarów fraktalnych, czemu poświęcona jest druga część artykułu.

12

Continuous Iterated Function Systems on Polish spaces

Horbacz K., Szarek T.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2001

|

Vol. 49, no 2

191-202

EN

Continuous Iterated Function Systems are studied. We generalize results proved by A. Lasota and RM. C. Mackey to the case when the systems are defined on Polish spaces.

13

The dimension of self-similar measures

Szarek T.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2000

|

Vol. 48, no 3

293-302

EN

We consider Iterated Function Systems on Polish spaces. The Hausdorff dimension of invariant distributions for such systems is estimated.

14

A locally connected continuum which is not an IFS attractor

Kwieciński M.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

1999

|

Vol. 47, no 2

127-132

EN

We construct a locally connected continuum embedded in the plane which is not the attractor of any iterated function system.

15

Chaos i fraktale w opisie struktury i morfologii polimerów

Grzywna Z. J., Krasowska M., Siwy Z.

Polimery

|

1998

|

T. 43, nr 4

225-235

PL

Scharakteryzowano zastosowanie nowego typu analizy opartej na koncepcjach chaosu i fraktali do rozwiązywania problemów strukturalno-morfologicznych materiałów polimerowych. Uogólniony wymiar fraktalny, system odwzorowań zwężających (IFS) oraz quasi-izomorfizrn wykorzystano jako narzędzia służące do różnicowania struktur i badania ich samopodobieństwa. Przedstawiono nowy sposób badania związku między strukturą a właściwościami transportowymi polimerów na podstawie pomiaru natężenia prądu jonowego, na przykładzie prądu potasowego płynącego przez membranę z poli(tereftalanu etylenu). Przedyskutowano pojęcia struktury transportowej i struktury topologicznej polimeru. Wykładnik a w fenomenologicznej zależności Marka-Houwinka wiążącej graniczną liczbę lepkościową z ciężarem cząsteczkowym polimerów został zredefiniowany [równanie (8)] i powiązany z charakterem struktury polimeru w roztworze (polimer liniowy lub dendrytyczny).

EN

A new type of analysis based on the concepts of chaos and fractals is applied to solve the structure and morphology problems in polymeric materials. The generalized fractal dimension, iterated function system (IFS) and the quasi-isomorphism are used to differentiate structures and to study their self-similarity. A new approach is presented to study the relationship between the structure and the transport properties of polymers, based on the measurements of ionic current, exemplified by a potassium ion current flowing through a poly(ethylene terephthalate) membrane. The concepts of transport and the topological structures of a polymer are discussed. The exponent a in the phenomenological Mark-Houwink relationship for polymers, eqn. (8), was redefined and related to the structure of the polymer in the solution (linear or dendritic polymer).

16

Fractal compression using random encoding algorithm

Świdzińska B.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences

|

1998

|

Vol. 46, nr 4

525-532

EN

Fractal image compression is a promising brand new compression method. In the paper several algorithms are compared. A majority of those algorithms accelerate the encoding process by reduction of the size of the domain pool. I show in the paper that unlike assumed in many algorithms, the optimal domain block need not be located in the close neighborhood of the range block. I suggest two techniques of solving this problem: (1) domain blocks are searched in the whole image, but they do not cover it, (2) the positions of domain blocks are random. The other algorithm looks particularly promising: it is fast and the quality of reconstruction is acceptable in most cases. The numerical results for both methods are given.