Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Extremal values of differential equations with application to control systems

Górecki Henryk, Zaczyk Mieczysław

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences

|

2021

|

Vol. 69, nr 1

art. no. e136041

EN

In the paper, maximal values xe(τ) of the solutions x(t) of the linear differential equations excited by the Dirac delta function are determined. The analytical solutions of the equations and also the maximal positive values of these solutions are obtained. The analytical formulae enable the design of the system with prescribed properties. The complementary case to the earlier paper is presented. In an earlier paper it was assumed that the roots si are different, and now we consider the case when s1=s2=...=sn.

2

Extremal properties of linear dynamic systems controlled by Dirac’s impulse

Białas Stanisław, Górecki Henryk, Zaczyk Mieczysław

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

|

2020

|

Vol. 30, no. 1

75--81

EN

The paper concerns the properties of linear dynamical systems described by linear differential equations, excited by the Dirac delta function. A differential equation of the form a_n x⁽ⁿ⁾ (t) + ∙∙∙ a₁ x’(t) + a₀ x(t) = b_m u (t) + ∙∙∙ + b₁ u’(t) + b₀ u(t) is considered with a_i, b_j >0. In the paper we assume that the polynomials M_n(s) = a_nsⁿ + ∙∙∙ + a₁s + a₀ and L_m(s) = b_ms^m + ∙∙∙ + b₁s + b₀ partly interlace. The solution of the above equation is denoted by x(t, L_m, M_n). It is proved that the function x(t, L_m, M_n) is nonnegative for t ∊ (0, ∞) , and does not have more than one local extremum in the interval (0, ∞) (Theorems 1, 3 and 4). Besides, certain relationships are proved which occur between local extrema of the function x(t, L_m, M_n), depending on the degree of the polynomial M_n(s) or L_m(s) (Theorems 5 and 6).

3

Wyjaśnienie problemów i teoretycznych niejasności występujących w metodzie analizy nieliniowych układów elektronicznych przy pomocy szeregu Volterry

Borys A.

Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Informatyki

|

2006

|

Vol. 5, Nr 1

71-114

PL

Przedstawiona praca jest poświęcona wyjaśnieniu pewnych problemów i teoretycznych niejasności, jakie występują w literaturze i opiniach dotyczących analizy nieliniowych układów elektronicznych przy pomocy szeregu Volterry. W tym artykule pokazano, między innymi, że modele podstawowych elementów nieliniowych wyprowadzone w dziedzinie częstotliwości dla analizy nieliniowej za pomocą zmodyfikowanej macierzy admitancyjnej są identyczne z modelami, jakie wyprowadza się przy wykorzystaniu metody z tzw. sygnałem próbnym (tj. metody, w której wyprowadzenia są dokonywane w dziedzinie czasu). Ponadto pokazano tutaj, że wzory i równania, które uzyskuje się przy zastosowaniu metody pobudzenia wejścia układu nieliniowego impulsem Diraca i prowadzenia wyprowadzeń konsekwentnie w dziedzinie częstotliwości, otrzymuje się w identycznej postaci przy zastosowaniu metody z tzw. sygnałem próbnym. Powyższe podejście, polegające na pobudzeniu wejścia układu nieliniowego impulsem Diraca prowadzi w wyprowadzeniach do pojawienia się iloczynów impulsów Diraca. Podejście to jest jednak poprawne: ma ono bardzo silne uzasadnienie matematyczne. W tak poważnych pracach jak [10], [16], [22] pokazano, że można używać iloczynów impulsów Diraca. Wykazano, że ww. podejście nie prowadzi do fałszywych wzorów na transmitancje nieliniowe układów (można je uzyskać alternatywnie, np. za pomocą metody z sygnałem próbnym).

EN

This paper is devoted to the explanation of problems occurring in the analysis of nonlinear circuits with the use of Volterra series. Among others, it has been shown here that the models of basic elements of nonlinear circuits, which are derived in the modified admittance matrix method for nonlinear circuits, have the same form as those derived with the use of the admittance matrix and the so-called probing signal. The problem of occurrence of Dirac impulse products in different kinds of analyses performed with the use of Volterra series has been addressed as well. It has been shown that such the analyses can be always put into equivalent forms, avoiding occurrence of Dirac impulse products, what proves their correctness.

4

Products of dirac impulses in nonlinear analysis with the use of volterra series

Borys A.

Zeszyty Naukowe. Telekomunikacja i Elektronika / Akademia Techniczno-Rolnicza w Bydgoszczy

|

2006

|

z. 9

45-52

EN

It is shown in this paper that the products of Dirac impulses can occur in the nonlinear analysis with the use of Volterra series. Then these products must be however treated as the products of Dirac impulses of different arguments. Moreover, they can be assumed to be multi-dimensional Dirac impulses satisfying similar conditions as those regarding the ordinary one-dimensional Dirac impulse, but now in the corresponding multi-dimensional time or frequency domain. The defining relations for these multi-dimensional Dirac impulses are derived. Also the expressions for their Fourier transforms are given.

PL

W tym artykule pokazano, że iloczyny impulsów Diraca mogą występować w ana-lizie nieliniowej, w której wykorzystuje się szereg Volterry. W takiej analizie te iloczyny muszą być jednakże traktowane jako iloczyny impulsów Diraca różnych argumentów. Pokazano, że mogą one wtedy być rozpatrywane jako wielowymiarowe impulsy Diraca, spełniające podobne warunki do tych, jakie dotyczą zwykłego, jednowymiarowego im-pulsu Diraca, ale teraz we właściwej, wielowymiarowej dziedzinie czasu lub częstotliwo-ści. Wyprowadzono zależności definicyjne dla tych wielowymiarowych impulsów Diraca i podano wyrażenia określające ich transformaty Fouriera.