Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Creeping flows through pseudo-orthogonal systems of thin fractures

Sławomirski M. R.

Archives of Mining Sciences

|

2009

|

Vol. 54, no 3

393-418

EN

In the paper the flows of incompressible fluids through systems of intersecting fractures are discussed. It is assumed that each fracture consists of a sequence of subfractures of various lengths, thicknesses, and depths. In the case when the walls of a subfracture are not parallel its thickness is replaced by the so-called reduced thickness. Creeping flow through the fracture system is assumed. It is slow, laminar flow for which visous effects prevail inertion effects, and linear dependence between the flow rate and pressure drop occurs. It is assumed that all subfractures are thin, i.e. their thicknesses are much less than their lengths. The flow through orthogonal and so-called pseudo-orthogonal grid systems has been considered. The pseudo-orthogonal grid system may be obtained from an orthogonal grid system by means of a homeomorphic transformation. The algorithm applied for the determination of pressure at each of nodes of the system has been presented. Moreover, the determination of flow rate through each of horizontal and verical subfractures has been dicussed. For the approach to the problem presented in the paper the anisotropy of the system, and the existence of so-called preference channels are created "in the natural manner", and they are implied by non-homogeneity of geometric parameters of subfractures.

PL

W artykule rozważono przepływy cieczy nieściśliwych przez układy przecinających się szczelin. Przyjęto, że każda szczelina składa się z ciągu krótszych szczelin zwanych tutaj "podszczelinami" o odmiennych długościach, miąższościach i głębokościach. W przypadku, gdy ścianki "podszczeliny" nie są całkowicie równoległe, jej miąższość jest zastępowana przez miąższość zastępczą. Zakłada się, że ruch płynu ma charakter "przepływu pełzającego". Jest to powolny, laminarny ruch płynu, w którym efekty związane z jego lepkością przeważają zdecydowanie nad efektami inercyjnymi, procesy związane z oderwaniem warstwy granicznej są pomijalnie małe, lub też nie występują wcale, a zarazem zachodzi liniowa zależność między natężeniem przepływu a spadkiem ciśnienia. Zakłada się, że wszystkie "podszczeliny" są cienkie, tj. ich miąższość jest kilka rzędów wielkości mniejsza niż ich długość. Rozważono przepływ przez ortogonalną oraz tzw. pseudo-ortogonalną siatkę szczelin. Przez siatkę pseudo-ortogonalną rozumie się tutaj siatkę, którą otrzymać można z siatki ortogonalnej stosując transformację homeomorficzną. Przedstawiono algorytm wyznaczania ciśnienia w każdym węźle układu szczelinowego. Omówiono sposób określania natężenia przepływu przez każdą poziomą lub pionową "podszczelinę". Sposób podejścia do problemu przedstawiony w artykule powoduje, że anizotropia systemu oraz istnienie tzw. "kanałów preferencyjnych" pojawiają się w sposób naturalny i wynikają one z niejednorodności geometrycznych parametrów szczelin.

2

Modelowanie przepływu w ośrodku porowatym z nieliniowym prawem filtracji

Sławomirski M. R.

Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN

|

2008

|

Vol. 10, no. 1-4

193--204

PL

Tematem pracy jest analiza przepływu z nieliniowym dynamicznym prawem filtracji wiążącym prędkość filtracji U z jednostkowym spadkiem ciśnienia J w ośrodku porowatym. Rozpatrzono szczegółowo jedynie taką formułę dynamicznego prawa filtracji, która jest niezmiennicza względem odbicia lustrzanego oraz możliwa do bezpośredniego rozszerzenia na przepływy wielowymiarowe. Odrzucając znane z literatury formuły nie spełniające powyższych warunków (tj. traktowane jako niepoprawne fizykalnie) oraz stosując twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji i wykorzystując wyniki uzyskane z teorii homogenizacji rozważono przepływy z dynamicznym prawem filtracji w postaci dwuparametrowego równania trzeciego rzędu (13) lub równoważnie (14). Przeanalizowano prostoliniowy przepływ jednowymiarowy, przepływ osiowo-symetryczny oraz sferyczno-symetryczny. Uzyskano formuły na rozkład ciśnienia w strefie drenażu oraz nieliniową zależność między produkcją studni (odwiertu) a wielkością depresji w strefie drenażu. Podobnie, uzyskano rozkład ciśnienia w przepływie sferyczno-symetrycznym, a także formuły na zależność między natężeniem przepływu a występującym w takim przepływie spadkiem ciśnienia. Sformułowano równanie różniczkowe transportu opisujące dwuwymiarowy nieliniowy przepływ w ośrodku porowatym. Ze względu na istniejące nieliniowości równanie to może być rozwiązane jedynie metodami numerycznymi.

EN

The paper concerns the analysis of the incompressible fluid motion through porous media described by a nonlinear dynamic relationship between the superficial flow velocity U and pressure drop per unit of distance J. It has been assumed that the dynamic relationship describing fluid motion must be valid for one- and multidimensional fluid motions, and moreover, it must be invariant with respect to the refl ection of the co-ordinate system. U vs. J relationships encountered in the literature and violating the requirements mentioned above have been rejected. On the other hand, applying the Weierstrass approximation theorem with respect to U vs. J relationsip, and taking into account the results obtined from the homogenisation theory the author has assumed the third order relationsip between U and J represented by Eqs. (13) and (14). One-dimensional staighforward, cylindrical and spherical flows have been analysed. For the well neighbouring zone the pressure distribution and the relationship between well production and and pressure difference have been determined. In a similar way, the pressure distribution and the relationship between pressure drop and flow rate have been determined for spherical flow. Moreover, the transport equation for non-linear two-dimensional flow in a porous layer has been obtained. Owing to non-linearities the transport eqution may only be solved by means of the numerical methods.

3

One-dimensional, third power type non-darcy flows through porous media

Sławomirski M. R.

Archives of Mining Sciences

|

2006

|

Vol. 51, no 3

291-310

EN

In the paper one-dimensional confined non-Darcy's flow through porous media has been considered. Basing on rational considerations and empirical investigations presented in the literature the author has assumed the third power type relationship between the seepage velocity u and pressure gradient grad P. The considered relationship represented by Eq. (9) involves two parameters K and B typical of a given porous material. The first of them is a homologue of permeability coefficient whereas the second one expresses the deviation from the Darcy's law. The author analysed the rectilinear flow, the flows through layered porous medium, the radial flow in the vicinity of a single well, and the spherical flow. It has been demonstrated that the third power type equation (9) may efficiently be applied for the description of non-Darcy's flows through porous media, and equations describing various one-dimensional non-Darcy's flows may uniquely be solved applying direct methods. The solutions involve often the Cardano formulae for the roots of cubic equations. For all cases considered in this paper the discriminants of cubic equations are positive. Eeach of equations possesses then three roots: two complex roots, and one real root. Complex roots do not possess a physical sense whereas the real root represents the genuine solution of the problem. Tbe author proved that for the simple rectilinear non-Darcy's flow the seepage velocity depends on pressure drop deltaP in the non-linear mode represented by Eq. (15). Two detailed cases of the rectilinear flow through layered medium were considered: the flow the direction of which is parallel to the strata plane, and the flow the direction of which is normal to the strata plane For the first case the flow rate is the sum of flow rates through successive strata (cf. Eqs. (17), (18)). For the second case the author obtained the non-linear relationship (Eqs. (30), (31)) between the seepage velocity u, overall pressure drop per distance, and harmonic means of Ki parameters for successive strata. The radial flow has been considered in a vicinity of a single well. It has been demonstrated that in a well drainage zone the dependence of pressure P on the distance from the well axis r is represented by the sum of the logarithmic and the negative second power functions (Eq. (49)). Moreover, the dependence the pressure drop in the drainage zone Pe - P won the well flow rate Q is non-linear, and it is represented by the third power type relationship (Eq. (51)). The formula for a single well production has been obtained in the form (55). Finally, the spherical type flow has been considered. The author has demonstrated that for the spherical flow the dependence of pressure P on the distance from the centre of the sphere r is represented by the sum of the negative power terms.

PL

W artykule rozważono jednowymiarowe przepływy w ośrodku porowatym nie podlegające prawu Darcy'ego. Korzystając ze znanego z literatury uzasadnienia teoretycznego opartego na teorii homogenizacji, a także danych empirycznych autor przyjął nieliniową relację między prędkością filtracji u i gradientem ciśnienia grad P. Relacja ta, dana równaniem (9) zawiera dwa parametry K oraz P zależne od rodzaju ośrodka porowatego, przy czym parametr K jest odpowiednikiem przepuszczalności, a parametr j3 wyraża odchylenie od prawa Darcy'ego. Rozważono przepływ prostoliniowy przez ośrodek jednorodny, przepływy prostoliniowe przez ośrodek uwarstwiony, przepływ radialny w sąsiedztwie pojedynczego odwiertu oraz przepływ o symetrii sferycznej. Wykazano, że nieliniowe równanie (9) może być zastosowane w sposób efektywny do opisu nieliniowego przepływu w ośrodku porowatym, a równania opisujące rozmaite przypadki jednowymiarowego przepływu nieliniowego mogą być rozwiązane metodami analitycznymi. Rozwiązania analityczne wykorzystują często wzory Cardana na pierwiastki równania sześciennego. We wszystkich rozważanych przypadkach wyróżnik równania jest dodatni. Równania te mają wówczas trzy pierwiastki, z których dwa są zespolone i nie posiadają sensu fizykalnego, natomiast trzeci, rzeczywisty pierwiastek stanowi właściwe rozwiązanie zagadnienia. Wykazano, że dla nieliniowego przepływu prostoliniowego prędkość filtracji u zależna jest od spadku ciśnienia M> w sposób nieliniowy, podany formułą (15). Przy przepływie przez ośrodek uwarstwiony założono, że każda z warstw posiada właściwą dla siebie miąższość hi oraz parametry ośrodka Ki, P i, a ośrodek może być traktowany jako anizotropowy o symetrii odpowiadającej układowi heksagonalnemu. Rozważono dwa przypadki prostoliniowego przepływu przez ośrodek uwarstwiony: przepływ w kierunku równoległym do płaszczyzny warstw oraz przepływ w kierunku prostopadłym do płaszczyzny warstw. W pierwszym przypadku natężenie przepływu jest sumą wydatków przez poszczególne warstwy (równ. (17), (18)). Dla drugiego przypadku autor uzyskał nieliniową zależność między prędkością filtracji u, całkowitym spadkiem ciśnienia oraz wartościami średnich harmonicznych parametrów Ki dla poszczególnych warstw. Zależność ta ma postać nieliniową i dana jest ona równaniem (34). Wagami w średnich harmonicznych są miąższości poszczególnych warstw hi oraz wartości parametru ośrodka Pi dla poszczególnych warstw. W przepływie nieliniowym przepuszczalność zastępcza pakietu złożonego z warstw porowatych nie jest średnią harmoniczną przepuszczalności poszczególnych warstw jak to ma miejsce w przypadku przepływu Darcy'ego. Rozważono przepływ radialny w otoczeniu pojedynczego odwiertu. Wykazano, że rozkład ciśnienia w strefie drenażu p(r) ma postać sumy funkcji typu logarytmicznego oraz funkcji zawierającej ujemną drugą potęgę odległości od promienia odwiertu r. Rozkład ciśnienia podany jest w postaci wzoru (49). Ponadto zależność między wielkością depresji w strefie drenażu Pe - Pw a wydatkiem odwiertu Q ma postać wielomianu trzeciego stopnia danego formułą (51). Wzór na wydatek pojedynczego odwiertu uzyskano w postaci wyrażenia (55). Jest ono znacznie bardziej skomplikowane od znanego wzoru dla radialnego przepływu Darcy'ego. Rozważono też przepływ o symetrii sferycznej. Wykazano, że rozkład prędkości filtracji u(r) dany jest wówczas równaniami (58), (70), a rozkład ciśnienia ma postać sumy funkcji zawierających wyrażenia z ujemnymi potęgami całkowitymi (równ.. (72)).