Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

2 Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk

Znaleziono wyników: 2

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: gradacyjna analiza odpowiedniości

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

On derivation of maximal Spearman rho and maximal Kendall tau for bivariate distributions

Kowalczyk T.

Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk

2008

nr 1011

1-39

Grade Correspondence Analysis (\textsf{GCA}) is the basic grade procedure introduced in 1995 and applied to many finite multivariate datasets with $m$ rows (cases) and $k$ columns (variables). There are two kinds of this procedure: one ($\textsf{GCA}_S$) maximizes Spearman $rho$ ($\rho^*$), another ($\textsf{GCA}_K$) maximizes Kendall $tau$ ($\tau$). Indices $\rho^*$ and $\tau$ in the \textsf{postGCA} distributions are denoted $\rho^*_{\max}$ and $\tau_{\max}.$ If $\rho^*=\rho^*_{\max}$ then both grade regression functions are non-decreasing; furthermore, if $\rho^*=\rho^*_{\max}$ and the distribution is totally positive dependent of order 2 (i.e., is said to be $\textsf{TP}_2$) then $\rho^*=\rho^*_{\max}$ holds iff $\tau=\tau_{\max}.$ Any bivariate distribution which is $\textsf{TP}_2$ after $\textsf{GCA}_S$ is called $\textsf{preTP}_2.$ Generally, under suitably defined regularity of positive dependence, $\textsf{GCA}_S$ improves not only strength but also regularity of positive dependence. Two first sections of the present paper remind these facts and concepts for bivariate distributions with finite probability tables; next sections extend them onto continuous distributions for which $\textsf{GCA}_S$ is a sequence of {\em increasing rearrangements} for one grade regression function after another until both are non-decreasing. This technique is illustrated in detail for the Sarmanov family of bivariate distributions, the latter being $\textsf{preTP}_2$ and closed under $\textsf{GCA}_S$: any \textsf{postGCA} Sarmanov distribution is also Sarmanov and possesses property $\textsf{TP}_2.$ Moreover, if only one grade regression function of a Sarmanov distribution is increasingly rearranged, the resulting distribution belongs to the Sarmanov family. Section 3 synthesizes the immense literature on bivariate Sarmanov distributions, Section 4 essentially extends the knowledge of strength and regularity of monotone dependence in this family. Section 5 refers to $\textsf{GCA}_K.$

Gradacyjna Analiza Odpowiedniości (Korespondencji) jest podstawową gradacyjną procedurą wprowadzoną w 1995 roku i zastosowaną do wielu skończonych wielowymiarowych zbiorów danych z $m$ wierszami (obiekty) i $k$ kolumnami (zmienne). Istnieją dwa rodzaje tych procedur: jedna ($\textsf{GCA}_S$) maksymalizuje $rho$ Spearmana ($\rho^*$), druga ($\textsf{GCA}_K$) $tau$ Kendalla ($\tau$). Wskaźniki $\rho^*$ oraz $\tau$ w rozkładach \textsf{postGCA} są oznaczane $\rho^*_{\max}$ i $\tau_{\max}.$ Jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ to obie regresje gradacyjne są niemalejące; co więcej, jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ i rozkład ma własność $\textsf{TP}_2,$ czyli jest całkowicie dodatnio zależny rzędu 2, to równość $\rho^*=\rho^*_{\max}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\tau=\tau_{\max}.$ Dowolny dwuwymiarowy rozkład który nie jest $\textsf{TP}_2$ ale zyskuje tę własność po zastosowaniu procedury $\textsf{GCA}_S,$ jest nazywany $\textsf{preTP}_2.$ Ogólnie, $\textsf{GCA}_S$ poprawia nie tylko siłę ale i regularność dodatniej zależności (przy odpowiednio wybranej procedurze pomiaru regularności). Dwie pierwsze sekcje niniejszej pracy przypominają powyżej wspomniane fakty dla dyskretnych rozkładów dwuwymiarowych, następne sekcje dotyczą rozkładów ciągłych w których $\textsf{GCA}_S$ sprowadza się do kolejnego zastosowania procedury tzw. rosnących przestawień do każdej z gradacyjnych funkcji regresji tak długo, aż obie regresje staną się niemalejące. Procedura rosnących przestawień gradacyjnej funkcji regresji zostanie zilustrowana szczegółowo na przykładzie rodziny dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova, które są $\textsf{preTP}_2$ bądź $\textsf{TP}_2.$ Rodzina rozkładów Sarmanova jest zamknięta: dowolny rozkład Sarmanova nadal należy po $\textsf{GCA}_S$ do rodziny Sarmanova i posiada własność $\textsf{TP}_2.$ Ponadto, jeśli tylko jedna z gradacyjnych regresji zostanie zamieniona na rosnącą, to powstały rozkład będzie także należeć do rodziny Sarmanova. Sekcja 3 syntetyzuje olbrzymie piśmiennictwo na temat dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova; sekcja 4 istotnie rozszerza wiedzę o sile i regularności zależności monotonicznej zmiennych w tej rodzinie. Sekcja 5 odnosi się do $\textsf{GCA}_K.$

Porównanie wyników wyborów do Sejmu RP w 1993 i 1997

Szczesny W., Ciok A., Kowalczyk T., Pleszczyńska E., Wysocki W.

Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk

1998

nr 851

3-39

Przedmiotem porównania są tabele wyników wyborów do Sejmu RP z lat 1993 i 1997, zawierające liczby głosów oddanych na poszczególne partie w 52 okręgach wyborczych (chodzi więc o pierwotne wyniki wyborów, a nie o późniejsze ich przetworzenie na reprezentację sejmową). Każde oczko takiej tabeli jest opisane przez wskaźnik nadreprezentacji partii w okręgu (w odniesieniu do wyniku proporcjonalnego do całkowitej liczby głosów uzyskanych przez tę partię we wszystkich okręgach i do ogólnej liczby głosujących w okręgu). Wskaxnik ten jest większy niż 1 gdy partia jest w tym okręgu nadreprezentowana, a mniejszy niz 1 w przeciwnym razie. Stosując tzw. gradacyjną analizę odpowiedniości znajduje się takie ustawienia okręgów i partii, że tabela wskaźników nadreprezentacji osiąga maksymalną wartość pewnej miary dodatniej zależności między partiami a okręgami. Oczka tabeli o wysokich wskaźnikach nadreprezentacji mają wtedy tendencję do skupiania się na i wokół pewnej krzywej, która okresla trend tabeli. Trend i związane z nim ustawienia partii i okręgów pozwalaja domyslać się, jakie przesłanki stały za decyzjami wyborców. W artykule wyznaczono i porównano trendy wyborcze występujące w latach 1993 i 1997. Trendy te okazały się do siebie zbliżone; niewielkie zmiany dotyczą natomiast zakresu poparcia dla poszczególnych partii. Chociaż interpretacja trendu należy do polityków, socjologów i ekonomistów, autorzy zauważają, że ustawienie okręgów wydaje się związane przede wszystkim z ich sytuacją gospodarczą, a ustawienie partii z ich deklaracjami dotyczącymi reform gospodarczych. W analizie uwidoczniono także zmiany powstające po uwzględnieniu w tabelach danych o osobach niegłosujących i stwierdzono, że milczący elektorat nie miał wpływu na trend w 1993 roku, natomiast wywarł go w 1997 roku. Autorzy zwrócili szczególną uwagę na wizualizację wyników analizy. Sposób przeprowadzenia obliczeń został zilustrowany w par. 2 przy użyciu tablicy fikcyjnych wyników wyborczych odnoszących się do 4 partii i 5 okręgów.

Results of the election to the Polish Parliament in 1993 and 1997 are taken into consideration. The authors are using their own statistical tools, in particular the grade correspondence analysis, to the tables with votes numbers gained by particular political parties in any election region. Rows and columns of each table were permuted until a maximal value of the grade correlation coefficient was found. The trend in an optimally permuted table forms a non-decreasing relation between parties and regions such that the cells on and near this relation tend to be overrepresented (i.e. tend to be larger than would result from strict proportionality to the total number of votes gained by the party in all regions and to the total number of voters in the region). The analysis relies on seeking and comparing the main trends concerning parties-regions relations in 1993 and 1997. The optimal trends are the optimal orders of parties and regions turned to be very similar for both elections; rather small changes concerned the total votes numbers gained in both occasions by particular parties. Leaving a thorough interpretation of the trends to politicians, sociologists and economists, the authors limit themselves to suggest that the orders of regions are bound with their actual economical situation and orders of parties - with their declarations on required economical reforms. Technical details have been omitted but they could be found in cited sources. However, we hope that the reader would understand the graphically presented results without a deeper insigth into the statistical background. A tentative example with fictitious data (4 parties, 5 regions) is introduced to illustrate the calculations.