Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Application of methods for area calculation of geodesic polygons on Polish administrative units

Pędzich P., Kuźma M.

Geodesy and Cartography

|

2012

|

Vol. 61, no. 2

105--115

EN

The paper presents methods of area calculation, which may be applied for big geodesic polygons on the ellipsoid. Proposal developed by the authors of this paper is discussed. The proposed methods are compared with other, alternative methods of area calculation of such polygons. Test calculations are performed for administrative units in Poland. The obtained results are also compared with areas of those units registered in statistical annals. Utilisation of the equal-area map projections of the ellipsoid onto a plane seems to be the best solution for the discussed task. In the case of small distances between points we may expect accurate results of calculations, since the area size is influenced by the projection reductions only, which are small in such cases. In some cases their influence on results of calculations may be neglected. Then, only re-calculation of co-ordinates from the GRS80 ellipsoid to the cartographic, equal-area projection is required.

PL

Umiejętność obliczania pól wieloboków geodezyjnych, czyli takich, których bokami są odcinki linii geodezyjnych, ma istotne znaczenie w praktyce geodezyjnej i kartograficznej. Jednym z podstawowych zadań wykonywanych przez geodetów i kartografów jest obliczanie pól różnych obiektów powierzchniowych takich jak gmina, województwo, obszary użytków gruntowych itp. Jeżeli zadanie sprowadza się tylko do powierzchni kuli lub płaszczyzny to rozwiązanie jest stosunkowo łatwe. Zadanie komplikuje się, jeżeli za powierzchnię odniesienia fizycznej powierzchni Ziemi przyjmiemy elipsoidę obrotową, ponieważ nie ma ścisłych wzorów, które pozwalałyby na realizację takiego zadania; są jedynie wzory przybliżone mające zastosowanie dla niewielkich obszarów. Trudności pojawiają się szczególnie w przypadku dużych wieloboków zlokalizowanych na elipsoidzie obrotowej spłaszczonej. W artykule przedstawiono metody obliczania pól powierzchni, które mogą być stosowane dla dużych wieloboków geodezyjnych na elipsoidzie. Opisano propozycje autorów niniejszego artykułu. Zaproponowane sposoby skonfrontowano z innymi alternatywnymi metodami obliczania pól powierzchni tych wieloboków. Obliczenia testowe przeprowadzono dla jednostek administracyjnych obszaru Polski. Otrzymane wyniki porównano z powierzchniami tych jednostek zapisanymi w rocznikach statystycznych.

2

Analiza wpływu redukcji odwzorowawczych na wartość wyznaczanych pól powierzchni wieloboków w odwzorowaniach równopolowych

Pędzich P., Kuźma M.

Roczniki Geomatyki

|

2011

|

T. 9, z. 2

89-95

PL

W artykule pt. "Badanie zniekształceń oraz ich wpływu na wartość wyznaczanych pól wieloboków w wybranych odwzorowaniach równopolowych" opublikowanym w Rocznikach Geomatyki w 2010 r. (Pędzich, Kuźma, 2010) wykazano, że stosując różne odwzorowania równopolowe, można uzyskać znaczne różnice pomiędzy polami powierzchni wieloboków, opartych na tych samych wierzchołkach. Różnice wynikają stąd, że odpowiednikiem topologicznym odcinka linii prostej, wyznaczonej w płaszczyźnie danego odwzorowania, jest na ogół pewien łuk krzywej w płaszczyźnie innego odwzorowania kartograficznego. Dlatego też, wykorzystując odwzorowania równopolowe do obliczania pól wieloboków, należy definiować te wieloboki w sposób jednoznaczny na powierzchni oryginału oraz określić w płaszczyźnie obrazu ich odpowiedniki topologiczne. W pracach geodezyjnych i kartograficznych mamy do czynienia z wielobokami, których boki stanowią odcinki linii geodezyjnych. W odwzorowaniach kartograficznych obrazami linii geodezyjnych nie są linie proste, lecz pewne krzywe. Wykorzystując więc odwzorowania równopolowe do obliczania pól tych wieloboków, należy mieć świadomość, że pole powierzchni geodezyjnego wieloboku elipsoidalnego jest zachowane, ale jego odpowiednikiem obrazowym jest pewien wielobok krzywoliniowy. Chcąc uzyskać zgodność obliczonych pól powierzchni pomiędzy oryginałem a obrazem w odwzorowaniach kartograficznych równopolowych, należy obliczać w płaszczyźnie odwzorowania pole powierzchni krzywoliniowych wieloboków. Występuje więc konieczność uwzględniania redukcji pól powierzchni, wynikających z nieprostoliniowości obrazów linii geodezyjnych w odwzorowaniach kartograficznych. W artykule przedstawiono pewne aspekty prowadzonych prac badawczych nad opracowaniem metodyki obliczania pól powierzchni elipsoidalnych wieloboków geodezyjnych, z zastosowaniem odwzorowań kartograficznych równopolowych. Artykuł stanowi kontynuację opublikowanych w 20 lOr. wyników badań z tego zakresu. W artykule zajęto się problemem redukcji pól powierzchni w odwzorowaniach równopolowych. Pokazano, że do uzyskania dużej dokładności wyników niezbędne jest stosowanie redukcji pól powierzchni.

EN

The paper deals with the problems of area reduction determination in equal-area map projections. It was demonstrated that in order to obtain high compliances between areas of polygons calculated in various map projections it is necessary to take into account the influence of area reduction,. In the paper, definitions of topology and image equivalents of geodetic line and definition of area reduction are presented. Algorithms of calculation of area reductions for short and long distances of geodetic lines are described. In the case of short distance, the suggested algorithm is based on approximation of the image of a geodetic line by arc of circle and then the area between the arc and chord is calculated. In the case of long distance, the suggested algorithm is based on numerical methods of integration. In both cases, knowledge of methods to transfer geodetic coordinates on ellipsoid are needed. Basing on prepared computer programs, the appropriate tests were made. 6 polygons were selected. 5 of them consisted of points located on the border of Poland and one consisted of points located on boundary of Mazovia region. The areas were calculated in 5 map projections in two ways: taking into consideration the area reductions and without them. After analyzing results obtained before area reduction was taken into consideration it was easy to notice that when distortion were smaller the differences between areas were smaller too. Also, smaller distances between points caused smaller differences. After consideration of area reductions, the differences between calculated areas were generally smaller than before reductions, irrespective of distortions. It is obvious that the higher compliance of results was obtained when the distance between points was decreased. Application of the algorithm for calculation of projection reductions, based on approximation of the image of the geodetic line by the circular arc produced good resultsfor small distances between points; thus, differences between calculated areas were bigger for longer distances. In the case of long distances between points, other methods should be used for calculation of reduction of areas, based on numerical integration.

3

Badanie zniekształceń oraz ich wpływu na wartość wyznaczanych pól wieloboków w wybranych odwzorowaniach równopolowych

Pędzich P., Kuźma M.

Roczniki Geomatyki

|

2010

|

T. 8, z. 5

95-104

PL

Odwzorowania równopolowe posiadają wiele ciekawych własności metrycznych. Podstawową ich własnością jest zachowanie pól powierzchni, tzn. wartości pól powierzchni figur oryginału są równe wartościom pól powierzchni odpowiedników topologicznych (obrazowych) tych figur w płaszczyźnie odwzorowania. W odwzorowaniach równopolowych niebędących odwzorowaniami geodezyjnymi, obrazem figury geodezyjnej w płaszczyźnie odwzorowania jest pewna figura krzywoliniowa. Należy zdawać sobie sprawę, że mimo własności równopolowości takich odwzorowań, pole powierzchni wieloboku utworzonego przez odpowiedniki redukcyjne, tj. odcinki linii prostych na płaszczyźnie obrazu, nie jest równe polu powierzchni odpowiadającego mu wieloboku geodezyjnego na powierzchni oryginału.

EN

Calculation of areas of geodetic polygons is one of the basic tasks undertaken in geodetic and cartographic works. This problem appears in many tasks, for instance connected running real estate cadastre or in calculation of areas of administrative units e.g. in the State Register of Borders. These works become particularly important now, when we use new geocentric ellipsoids WGS84 and GRS80. Calculation of the area of a polygon on an ellipsoid is quite complicated, because there are no precise formulas for realization of such a task. There are only approximate formulas applicable to small areas. Calculation problems appear in the case of large polygons located on rotating oblate ellipsoids which require the use of non-standard algorithms. One possibility is an attempt to use equal-area projections. Transformation of coordinates of the vertices of geodetic polygons from the plane of coordinates used in practice into the plane of equal-area projection allows calculating the area of ellipsoidal polygons directly on that plain. The problem of non-geodetic nature of this projection then emerges which affects accuracy of calculations. This problem may be minimized by seeking projections with as small as possible projection distortions. In the paper, a revue of criteria of equal-area projections is presented as well as their use for projection of selected geodetic polygons. Impact of projection distortions on the value of calculated polygon areas has been also presented.

4

Wybrane metody obliczania pól powierzchni wieloboków geodezyjnych na elipsoidzie

Balcerzak J., Pędzich P.

Roczniki Geomatyki

|

2006

|

T. 4, z. 3

41-49

EN

In the paper theoretical bases of area calculation of geodetic polygons on an ellipsoid are presented. Several methods are described. The first one is based on approximation of a polygon by elementary trapezoids delineated by parallels and meridians. The second method uses approximation of an ellipsoidal polygon by elementary spherical triangles. In the third method an equal-area projection of ellipsoid onto sphere is employed. The forth method uses an equal-area projection of ellipsoid onto plane. In the fifth method reduction of area located between curved image of geodetic line and its chord is presented. The methods described provide competitive and more general solutions than those presented in literature which are applicable only to small ellipsoidal areas.