Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Simulating the propagation of rumours with spreaders of distinct characters

Menció-Padrón Daniel, Bouza-Allende Gemayqzel

Operations Research and Decisions

|

2023

|

Vol. 33, No. 3

75--87

EN

The occurrence of a disaster and the appearance of a new product are items of news that can reach many people rapidly. Decision-makers would like to know how many individuals will obtain such information. In this paper, we study the case in which there are spreaders who think that the news is true and others that claim it is false. We simulate the propagation of a rumour and propose an algorithm for estimating the parameters of the resulting dynamical system. The relation between the parameters defining the simulation and the dynamical system is also studied. We conclude that the simulation describes the phenomenon well, in particular when the method proposed in this paper is used to estimate the parameters.

2

Dynamical study of Lyapunov exponents for Hide's coupled dynamo model

Alresheedi Teflah, Allahem Ali

Demonstratio Mathematica

|

2021

|

Vol. 54, nr 1

189--195

EN

In this paper, we introduced the Lyapunov exponents (LEs)as a significant tool that is used to study the numerical solution behavior of the dynamical systems. Moreover, Hide’s coupled dynamo model presents a valuable dynamical study. We simulate the convergence of the LEs of the model in three cases by means of periodic flow, regular flow, and chaos flow. In addition, we compared these cases in logic connections and proved them in a mathematical way.

3

Regular classes of linear extensions of dynamical systems on a torus

Morawiak M.

Silesian Journal of Pure and Applied Mathematics

|

2018

|

Vol. 8, iss. 1

21--31

EN

The paper presents new methods of construction of the Lyapunov function for some sets of linear extensions of dynamic systems on torus.The paper is divided into two parts. The first part contains a brief theoretical introduction. In the second part are presented results of study and examples.

4

Dynamical quasitilings of amenable groups

Downarowicz T., Huczek D.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2018

|

Vol. 66, no. 1

45--55

EN

We prove that for any compact zero-dimensional metric space X on which an infinite countable amenable group G acts freely by homeomorphisms, there exists a dynamical quasitiling with good covering, continuity, Følner and dynamical properties, i.e. to every x ∈ X we can assign a quasitiling Tx of G (with all the Tx using the same, finite set of shapes) such that the tiles of Tx are disjoint, their union has arbitrarily high lower Banach density, all the shapes of Tx are large subsets of an arbitrarily large Følner set, and if we consider Tx to be an element of a shift space over a certain finite alphabet, then x ↦ Tx is a factor map.

5

Procedural generation of aesthetic patterns from dynamics and iteration processes

Gdawiec K.

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

|

2017

|

Vol. 27, no. 4

827--837

EN

Aesthetic patterns are widely used nowadays, e.g., in jewellery design, carpet design, as textures and patterns on wallpapers, etc. Most of the work during the design stage is carried out by a designer manually. Therefore, it is highly useful to develop methods for aesthetic pattern generation. In this paper, we present methods for generating aesthetic patterns using the dynamics of a discrete dynamical system. The presented methods are based on the use of various iteration processes from fixed point theory (Mann, S, Noor, etc.) and the application of an affine combination of these iterations. Moreover, we propose new convergence tests that enrich the obtained patterns. The proposed methods generate patterns in a procedural way and can be easily implemented on the GPU. The presented examples show that using the proposed methods we are able to obtain a variety of interesting patterns. Moreover, the numerical examples show that the use of the GPU implementation with shaders allows the generation of patterns in real time and the speed-up (compared with a CPU implementation) ranges from about 1000 to 2500 times.

6

Lyapunov function for cosmological dynamical system

Szydłowski M., Krawiec A.

Demonstratio Mathematica

|

2017

|

Vol. 50, nr 1

51--55

EN

We prove the asymptotic global stability of the de Sitter solution in the Friedmann-Robertson-Walker conservative and dissipative cosmology. In the proof we construct a Lyapunov function in an exact form and establish its relationship with the first integral of dynamical system determining evolution of the flat Universe. Our result is that de-Sitter solution is asymptotically stable solution for general form of equation of state p = p(p, H), where dependence on the Hubble function H means that the effect of dissipation are included.

7

General remarks on dynamic projection method

Leble S.

TASK Quarterly : scientific bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk

|

2016

|

Vol. 20, No 2

113--130

EN

A brief history and a mathematical description of the dynamic projection operators technique is presented. An example of the general Cauchy problem for evolution equations in 1+ 1 dimensions is studied in detail. A boundary regime propagation is formulated in terms of operators and illustrated by the simplest one-dimensional diffusion equation. The problem of temperature waves is discussed.

8

A computational scheme for decentralized time-optimal resource allocation in a sequence of projects of activities under constrained resource

Stankiewicz A.

ECONTECHMOD : An International Quarterly Journal on Economics of Technology and Modelling Processes

|

2016

|

Vol. 5, No 3

83--94

EN

We consider a sequence of projects of independent activities; each project composed of activities available for realization at the same time. It is assumed that the activities are continuous dynamical systems whose dynamics depend continuously on the allotted amounts of the resource, and the initial and terminal states are fixed. The problem is to allocate a renewable, continuously divisible resource (e.g., power, fuel flow, money per time unit, approximate manpower) to the activities in order to minimize the performance time of the sequence of projects under the assumption that the allowable level of the total usage of the resource is constant. Although the solution to this problem is known in the literature, nevertheless there is a lack of effective computational algorithms for the time-optimal resource allocation, especially in the case of really large projects. In this paper a decentralized two-level control scheme using the time-decomposition is proposed to find the time-optimal resource allocation in a sequence of projects. The price mechanism is applied to coordinate the lower level tasks of the optimal resource allocation in the successive time intervals determined by the moments at which the successive projects are available for realization. Necessary and sufficient conditions to ensure the determination of the optimal resource allocation according to the method proposed are stated. The problems connected with the numerical realization of the scheme are discussed and the resulting computer algorithm is outlined.

9

On potential kernels associated with random dynamical systems

Hmissi M., Mokchaha F., Hmissi A.

Opuscula Mathematica

|

2015

|

Vol. 35, no. 4

499--515

EN

Let (Θ, φ) be a continuous random dynamical system defined on a probability space (Ω, F, P) and taking values on a locally compact Hausdorff space E. The associated potential kernel V is given by [formula]. In this paper, we prove the equivalence of the following statements: 1. The potential kernel of (Θ, φ) is proper, i.e. V ƒ is x-continuous for each bounded, x-continuous function with uniformly random compact support. 2. (Θ, φ) has a global Lyapunov function, i.e. a function L : Ω x E → (0, ∞) which is x-continuous and L,(Θ tω, φ(t, ω)x) ↓0 as t ↑ ∞. In particular, we provide a constructive method for global Lyapunov functions for gradient-like random dynamical systems. This result generalizes an analogous theorem known for deterministic dynamical systems.

10

Certain methods of complementation of linear extensions of dynamic systems to regular systems

Kulyk V., Pączko D.

Zeszyty Naukowe. Matematyka Stosowana / Politechnika Śląska

|

2014

|

z. 4

41--55

EN

The paper presents a method of transformation of two weakly regular systems into one regular system. The method has been generalised to any number of weakly regular systems.

PL

W artykule przedstawiono metodę doprowadzenia dwóch układów słabo regularnych do jednego układu regularnego. Metoda została uogólniona na dowolną liczbę układów słabo regularnych.

11

The influence of electromagnetic processes on stability of locomotives traction drive in the slipping mode

Koropets P.

Transport Problems

|

2014

|

T. 9, z. 2

41--48

RU

На примере модели тягового привода локомотива в режиме боксования показано, каким образом могут быть учтены электромагнитные переходные процессы в тяговом двигателе при использовании метода энергетического баланса для оценки устойчивости системы по отношению к фрикционным автоколебаниям. Построены области существования фрикционных автоколебанийв пространстве параметров привода. Предлагаемый метод может быть использован для анализа устойчивости широкого класса динамических систем с малой диссипацией, содержащих как колебательные, так иинерционные звенья.

EN

On the model of a locomotive traction drive in a slipping mode, it is demonstrated how the electromagnetic transient processes in the traction motor may be accounted for using the energy balance method for assessing the stability of the system with respect to frictional self-oscillations. The regions of existence of frictional self-oscillations in the parameter space of the drive are built. The proposed method differs from the prior art in that it can be used to analyze the stability of a wide class of dynamical systems with small damping, containing both oscillatory and inertial units.

12

Teaching, modeling and visualisation of ordinary differential equations

Mrozek Z.

Czasopismo Techniczne. Nauki Podstawowe

|

2014

|

R. 111, z. 2-NP

99--111

EN

Advances in computer technology and increased interest in dynamical systems influence the way of teaching ordinary differential equations. The paper presents inquiry oriented teaching, usage of modeling, visualisation and interactive web services. Last chapter describes the ways of using MATLAB or public domain software (e.g. Octave) to solve ordinary differential equations.

PL

Postęp w technologii komputerowej oraz wzrost zainteresowania modelowaniem systemów dynamicznych wpływa na sposób nauczania matematyki, w tym równań różniczkowych zwyczajnych. Przedstawiono podejścia: nauczania przez zadawanie pytań, wykorzystanie modelowania, wizualizacji i interaktywnych usług sieci web. Ostatni rozdział opisuje sposoby wykorzystania środowiska MATLAB lub oprogramowania dostępnego jako public domain (np. Octave) do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.

13

Analysis and implementation of dynamical system with periodical discrete jumps

Gotthans T., Petrzela J.

Przegląd Elektrotechniczny

|

2013

|

R. 89, nr 1a

156--163

EN

The novel method for dynamical motion quantification is discussed in this paper. The proposed approach is verified on the cyclically symmetrical vector field with jump functions generating the large state space attractors recently discovered by the authors. The core part of the calculation engine involves continuous Fourier transform and Cartesian to spherical conversion. It turns out that the existing methods give the incorrect results, have huge demands on the computer performance or completely fail to converge in the finite time. The fully analog as well as hybrid circuitry implementation using off-the-shelf components is also presented and validated by means of the network simulator Orcad Pspice.

PL

W artykule opisano nową metodę dynamicznego kwantowania ruchu. Zasadniczą część obliczeń stanowi transformata Fouriera i sferyczna konwersja Kartezjańska. Założenia potwierdzają symulacje Pspice.

14

An unconditionally stable nonstandard finite difference method applied to a mathematical model of HIV infection

Obaid H. A., Ouifki R., Patidar K. C.

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

|

2013

|

Vol. 23, no. 2

357--372

EN

We formulate and analyze an unconditionally stable nonstandard finite difference method for a mathematical model of HIV transmission dynamics. The dynamics of this model are studied using the qualitative theory of dynamical systems. These qualitative features of the continuous model are preserved by the numerical method that we propose in this paper. This method also preserves the positivity of the solution, which is one of the essential requirements when modeling epidemic diseases. Robust numerical results confirming theoretical investigations are provided. Comparisons are also made with the other conventional approaches that are routinely used for such problems.

15

Simulation of the characteristics of the ball movement on a beam by the use of genetic algorithm

Woźniak M., Gabryel M., Nowicki R.

Zeszyty Naukowe. Matematyka Stosowana / Politechnika Śląska

|

2012

|

z. 2

19--33

EN

Article aims to show the possibility of simulating the characteristics of different technical systems in a way of genetic evolution. Genetic algorithms (GA) are widely used in computer science, mathematics and technology and broadly understood engineering that the authors describe in papers. In the literature were shown examples of GA used to solve logistic problems, structural or design in engineering, computer science and even biology or chemistry. In this paper, the authors seek to demonstrate the applicability of GA methods in simulation of the system characteristics of dynamic systems.

PL

Artykuł ma na celu ukazanie możliwości symulowania charakterystyk różnych systemów technicznych w drodze genetycznej ewolucji. Algorytmy genetyczne (GA) są szeroko stosowane w informatyce, matematyce oraz szeroko rozumianej inżynierii, co opisują autorzy w pracach. W literaturze wykazano przykłady GA wykorzystywane do rozwiązywania problemów logistycznych, strukturalnych, projektowania inżynierskiego, informatyki i nawet biologii czy chemii. W tym artykule autorzy starają się wykazać przydatność metod GA w symulacji charakterystyk układów dynamicznych.

16

Some constructions of linear extensions of dynamical systems

Pączko D.

Zeszyty Naukowe. Matematyka Stosowana / Politechnika Śląska

|

2011

|

z. 1

37--49

EN

The paper presents a method to transform two weakly regular systems to one regular system. Additionally, it is proved that there is no linear change of variables reducing the extension of a dynamical system to a conjugate system where the number of normal variables is three.

PL

Wartykule przedstawiono metodę doprowadzenia dwóch układów słabo regularnych do jednego układu regularnego. Dodatkowo pokazano, że niemożliwe jest doprowadzenie liniowego rozszerzenia układu dynamicznego do układu sprzężonego, w przypadku gdy liczba zmiennych normalnych wynosi trzy.

17

Sharply-weak regular linear extensions of dynamical systems leading up to regular systems

Tkocz-Piszczek E.

Zeszyty Naukowe. Matematyka Stosowana / Politechnika Śląska

|

2011

|

z. 1

51--68

EN

In this paper we consider some sign–changing Lyapunov function in research on regularity and sharply-week regularity of sets of linear extensions of dynamical systems. By regularity we mean exponential dichotomy of linear differential systems.

PL

Wartykule podjęto tematykę regularności liniowych rozszerzeń układów dynamicznych, która równoważna jest z wykładniczą dychotomią liniowych układów różniczkowych. Przeprowadzono badanie regularności przy użyciu znakozmiennych funkcji Lapunowa. Ponadto, przedstawiono doprowadzenie słabo regularnych układów do regularnych.

18

Metody analizy numerycznej w badaniach zbiorów osiągalnych układów dynamicznych

Respondek J.S.

Studia Informatica

|

2011

|

Vol. 32, nr 4C

3-123

PL

Przedmiotem rozprawy jest wprowadzenie metod numerycznych do zagadnień dotyczących jakościowych własności układów dynamicznych, które dotychczas były przedmiotem rozważań jedynie na drodze czysto analitycznej. W rozprawie wykorzystano zarówno klasyczne metody numeryczne znane z literatury (jak metoda prostych wykorzystana do dyskretyzacji równania różniczkowego cząstkowego w rozdziale 7), jak i wprowadzono zupełnie nowe algorytmy służące numerycznemu rozwiązaniu wybranej klasy równań diofantycznych, obliczaniu wielomianów symetrycznych podstawowych oraz odwracaniu konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Rozdział 1 jest wprowadzeniem do rozprawy. Przedstawiono w nim opracowania Komitetu Informatyki PAN, określające analizę numeryczną jako dyscyplinę w dziedzinie informatyki. Następnie sformułowano cel rozprawy. Rozdział kończy przegląd problemów niniejszej rozprawy. Rozdział 2 jest poświęcony znalezieniu algorytmu rozwiązującego pewną klasę równań diofantycznych. Równanie będące przedmiotem analizy modeluje problem znajdywania n-tek liczb naturalnych, generujących równe sumy kwadratów liczb całkowitych w kombinacji liniowej o dodatnich współczynnikach. Podzbiór liczb naturalnych, w którym poszukujemy rozwiązań równania, jest ograniczony odgórnie przez daną stałą Na początku rozdziału 2 przypomniano najważniejsze z pojęć analizy algorytmów (złożoność obliczeniowa) oraz teorii błędów (błędy zaokrągleń) koniecznych do analizy własności uzyskanego w rozdziale algorytmu, rozwiązującego rozważane równanie diofantyczne. Zasadniczą częścią rozdziału jest poszukiwanie oraz optymalizacja odpowiedniego algorytmu. Ważną częścią rozdziału jest eliminacja rozwiązań symetrycznych równania diofantycznego, tj. takich, w których występuje ta sama para n-tek, ale zamienionych stronami. Rozważania dopełnia treść algorytmu w pseudokodzie, wyznaczenie jego złożoności czasowej oraz analiza błędów obliczeń. Oprócz tego w rozdziale pokazano, jak wprowadzony algorytm wykorzystać do określenia krotności n-tek, generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. Znalazło to zastosowanie w kolejnych rozdziałach rozprawy. Działanie algorytmu pokazano na przykładzie liczbowym, przedstawiając w tabeli wszystkie kolejne wartości zmiennych roboczych algorytmu oraz odpowiadających im rozwiązań. Rozdział kończy praktyczny test efektywności obliczeniowej algorytmu, przedstawiony w postaci wykresu obrazującego czasy jego wykonania w funkcji górnego ograniczenia dziedziny równania. W rozdziale 3 przedstawiono zastosowanie algorytmu rozwiązywania równania diofantycznego do analizy zbiorów osiągalnych układu dynamicznego o parametrach rozłożonych, danego równaniem różniczkowym cząstkowym typu parabolicznego. Rozważono zerowe warunki brzegowe typu Dirichleta oraz dziedzinę równania w postaci n-wymiarowego wielościanu. Jak wykazano, wartości własne operatora różniczkowego Laplace'a, występującego w badanym równaniu, są proporcjonalne do stron rozwiązywanego w rozdziale 2 równania diofantycznego. Dzięki temu jest możliwe wyznaczenie ich krotności na podstawie algorytmu z rozdziału 2. W rozdziale 3 przedstawiono model matematyczny rozważanego układu parabolicznego, zdefiniowano odpowiednie operatory: różniczkowy stanu oraz macierzowy wejścia i wykonano dekompozycję spektralną układu. W ten sposób wyjściowy układ nieskończenie wymiarowy zastąpiono równoważnym nieskończonym ciągiem układów skończenie wymiarowych, który stanowił punkt wyjścia do dalszych badań. Następnie zbudowano algorytm numeryczny, służący badaniu zbiorów osiągalnych rozważanego układu dynamicznego. Wykorzystano w nim algorytm rozwiązywania równań diofantycznych z rozdziału 2. Na zakończenie wyznaczono zbiory osiągalne dla konkretnego przykładu układu dynamicznego. Rozdział 4 jest poświęcony zbudowaniu efektywnego algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Wielomiany te pozwalają na obliczenie współczynników występujących przy kolejnych potęgach argumentu wielomianu. Ponadto, znajdują one zastosowanie w konstrukcji algorytmu odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. W rozdziale 5 skonstruowano algorytm odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Ich budowa różni się od klasycznej postaci macierzy Vandermonde'a tym, że w kolumnach konfluentnej macierzy Vandermonde'a, oprócz kolejnych potęg różnych pierwiastków, znajdują się pochodne tychże kolumn. W konstrukcji algorytmu korzysta się z przedstawionego w poprzednim rozdziale algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Sam algorytm znajduje zastosowanie w analizie własności liniowych układów dynamicznych o dowolnym stopniu pochodnych względem czasu, czemu poświęcono kolejny rozdział. W rozdziale 6 zastosowano algorytm obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych oraz algorytm odwracania uogólnionych macierzy Vandermonde'a w analizie wybranych własności układów dynamicznych. Jako badaną własność obrano kilka rodzajów sterowalności. Główną innowacją rozdziału jest przeprowadzenie badań dla dowolnego, n-tego stopnia badanego układu dynamicznego względem czasu. Ponadto, udowodnione kryteria stosuje się do najogólniejszej postaci rozważanego układu, o dowolnej krotności każdej z wartości własnych jego równania charakterystycznego. Uzyskanie tak ogólnych wyników było możliwe dzięki zastosowaniu wyżej wymienionych algorytmów. Na koniec rozdziału zastosowano uzyskane w rozdziale wyniki do analizy własności elastycznej belki. Rozdział 7 zajmuje się numerycznym wyznaczaniem zbiorów osiągalnych układów dynamicznych, modelowanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych typu parabolicznego. Główną innowacją przeprowadzonych badań jest założonie realistycznych, obustronnych (tj. odgórnych i oddolnych) ograniczeń funkcji wymuszającej. Najpierw zdyskretyzowano analizowane równanie różniczkowe cząstkowe za pomocą metody numerycznej prostych. Następnie wyznaczono funkcję podporową układu oraz spektrum macierzy stanu oraz zastosowano do nich odpowiednie kryterium wyznaczania zbiorów osiągalnych przy ograniczonej funkcji wymuszającej. Uzyskany wynik zilustrowano kilkoma wykresami dla dwóch konkretnych postaci funkcji wymuszających. Należy podkreślić, że główna innowacja rozdziału, tj. wykonane badania zbiorów osiągalnych przy realistycznych ograniczeniach na funkcję wymuszającą była możliwa dzięki zastosowaniu odpowiednio dobranej metody numerycznej rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Rozdział stanowi ilustrację połączenia w całość metod numerycznych i klasycznych wyników analitycznych, prowadzących do nowych, bardziej realistycznych wyników w nauce. Rozdział 8 stanowi podsumowanie rezultatów przedstawionych w niniejszej rozprawie.

EN

The objective of this book is introducing numerical methods into issues pertaining the qualitative dynamical systems properties, which so far have been analyzed only by purely analytical methods. In the book we used classical numerical methods known from literature (i.e. the line method used for the discretization of the partial differential equation in chapter 7) and introduced new algorithms, designed for numerical solving of a selected class of the diophantine equations, elementary symmetrical polynomials calculation and the confluent Vandermonde matrices inversion calculating. Chapter 1 contains the introduction to the book. It features the works of the Computer Science Committee of the Polish Academy of Sciences defining the numerical analysis as a part of the computer science discipline. Next, the objective of the book is formulated. The chapter is finalized by the survey of the issues of the book. Chapter 2 is devoted to finding an algorithm for solving a certain class of diophantine equations. The analyzed equation models the problem of finding the n-ths which generate equal sums of the squares of the integer numbers in the linear combination with positive coefficients. The subset of natural numbers, in which we are looking for solutions, is constrained to a given maximum number. At the beginning of chapter 2 we referred to the basie notions of the algorithms analysis (computational complexity) and the errors theory (rounding errors) necessary in the analysis of equation properties presented in the chapter, solving the considered diophantine equation. The main part of the chapter is searching for and optimization of the proper algorithm. A separate item is devoted to the elimination of symmetrical solutions, i.e. solutions with the same couple of n-ths but with swapped sides. Those calculations are followed by the code of the algorithm, calculation complexity determination and computational errors analysis. Additionally, in this chapter we showed how the application of the presented algorithm is used to calculate the multiplicities of the n-ths which generate equal sums of the squares in the linear combination. We showed the operation of the algorithm on a particular example, i.e. placing in the table all values of the loops working variables and solutions in the sequence corresponding with those variables. The chapter is completed by the computational effectiveness test presented in the form of a graph. The graph shows the times of the algorithm execution in the dependency of the upper constraint of the equation domain. In chapter 3 we presented the application of the diophantine equation solving algorithm in the attainable sets analysis of a distributed parameter dynamical system, described by a parabolic-type partial differential equation. We considered the zero Dirichlet-type boundary condition and n-dimensional rectangular prism equation domain. We showed that the eigenvalues of the Laplace differential operator, existing in the analyzed equation, are proportional to the sides of the diophantine equation, solved in chapter 2. This way, one can calculate the multiplicities with the use of the algorithm presented in chapter 2. In chapter 3 we presented a mathematical model of the considered parabolic system, defined the proper state differential operator and matrix input operator, and performed the spectral decomposition of the system. Thus we have the infinite dimensional system in the corresponding form of the infinite series of finite dimensional systems, convenient for further analysis. Next, we constructed the numerical algorithm for the attainable sets analysis of the dynamical system in question. In that algorithm we made use of the algorithm presented in chapter 2. Finally, we calculated the attainable sets for the particular dynamical system. Chapter 4 devoted to building the effective elementary symmetrical polynomials calculation algorithm building. Those polynomials enable to calculate the subsequent powers polynomial argument coefficients. Moreover, they are used in the construction of the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm. In chapter 5 we constructed the confluent Vandermonde matrices inverse calculation algorithm. Their structure differs from the classical Vandermonde matrix, as in the columns of the confluent Vandermonde matrix, apart from the subsequent powers of the different roots, there are also their derivatives. In the construction of the algorithm we made use of the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm, presented in the previous chapter. The constructed algorithm can be applied in the analysis of the arbitrary order with respect to time derivatives dynamical system. Next chapter is devoted to that issue. In chapter 6 we applied the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm as well as the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm to the research of the selected dynamical systems properties. For the investigated property we chose a few kinds of controllability. The main innovation of the chapter is that the research results hold true for the arbitrary order with respect to time derivatives. Moreover, the given criteria pertain to the most general form of the analyzed system, with arbitrary characteristic equation eigeiwalues multiplicities. Deriving such general results was possible thanks to the above described algorithms. At the end of the chapter we showed how to use the obtained results in the elastic beam properties analysis. In chapter 7 we performed a numerical analysis of the dynamical systems attainable sets, modeled by the parabolic-type partial differential equations. The main innovation of the performed research is taking into account realistic, both-side (i.e. upper and lower) constraints of the excitation function. First, we discretized the analyzed partial differential equation by means of the line numerical method. Next, the support function and the spectrum of the state matrix were derived and the attainable sets determination criterion with constrained excitation function was applied. The received outcome was illustrated by two graphs for two particular cases of the excitation function. It should be pointed out that the main innovation of the chapter, i.e. performed attainable sets research considering realistic excitation function constraints, was received thanks to the use of a precisely selected numerical method of the partial differential equations solving. The chapter can be an illustration for combining the numerical methods and classical analytical results, leading to new, more realistic outcomes in science. Chapter 8 is the summary of the book results.

19

Is a fractional system a dynamical system?

Mitkowski W.

Automatyka / Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

|

2011

|

T. 15, z. 1

67-69

EN

In recent years we may notice a return to the analysis of fractional systems. Such systems are described in the form of differential equations with fractional derivative. In this paper we notice the fact that this type of differential equations does not generate dynamical system. We show suitable numerical example.

PL

W ostatnich latach można zauważyć powrót do analizy układów niecałkowitego rzędu. Układy takie są opisywane równaniami różniczkowymi z pochodną niecałkowitego rzędu. W pracy zwrócono uwagę na fakt, że równania różniczkowe niecałkowitego rzędu nie generują systemów dynamicznych. Podano odpowiedni przykład numeryczny.

20

Dynamika zespołu wirującego pompy odśrodkowej wielostopniowej z tarczą odciążającą

Marcinkowski W., Korczak A., Peczkis G.

Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej. Nauki Techniczne

|

2009

|

Z. 13

245--263

PL

W artykule opisano sprzężoną promieniowo osiową oscylację uproszczonego modelu zespołu wirującego wielostopniowej pompy odśrodkowej z tarczą odciążającą. Zależności między osiowymi i promieniowymi drganiami określone są poprzez opory hydrauliczne pierścieniowych asymetrycznych wzdłużnych i poprzecznych szczelin uszczelniających. Zastosowano linearyzację równań różniczkowych opisujących dynamikę zespołu wirującego. Charakterystyki amplitudowe i fazowe opracowano dla przepływów cieczy turbulentnych samopodobnych w kanałach zespołu odciążającego.

EN

The coupled radial-axial oscillations of simplify rigid rotor model of centrifugal pump with automatic balancing system of axial forces were considered. The relation between axial and radial oscillations is determined by dependence of hydraulic conductivity of cylindrical throttle from eccentricity. The linearyzation differential equations of dynamics system were obtained. The expressions for amplitude and phase frequency characterize turbulent regimes of liquid flow in self-unloading system channels.