Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

1 Archives of Mining Sciences

1 1999

Znaleziono wyników: 1

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: cubic correction to Darcy's law

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

The first correction to the darcy's law in view of the homogenization theory and experimental research

Cieślicki K., Lasowska A.

Archives of Mining Sciences

1999

Vol. 44, nr 3

395-412

In the paper the non-linear correction term to the Darcy's law laminar flows was determined theoretically and experimentally. The correction term to the Darcy's law is generally assumed to be quadratic in the seepage velocity - the additional term present in the Forschheimer's formula applied since 1901. Basing on the homogenization theory and the research programme, where the experiments were conducted in axisymmetrical tubes with periodic step changes in diameter, it was demonstrated that the first correction term to the Darcy's law will be cubic in the seepage velocity, instead of quadratic. The absence of the quadratic term provides that Darcy's law can be applied asymptotically throughout the range of small seepage velocities. It was found out experimentally that both the applicability range and the magnitude of the coefficient present in the cubic correction term is the function of the geometrical structure of the models. When the seepage velocity [Re number] should exceed a certain value, the correction term becomes quadratic thus marking off the second laminar flow zone. To interpret those correlations in terms of physics the experiments were run which consisted of streamline visualization with marker particles in the selected model segments. The liquid was made optically homogeneous to the model material. The laser sheet was applied to obtain the required visualization planes. It was found that in the zone where the cubic correction to Darcy's law is applicable the geometrical flow patterns change significantly. The main core is thus reduced and the recirculatory flow increases with an increase of the seepage velocity. In the zone to which the quadratic correction term applies no significant changes of the main core were noticed.

Pracę poświęcono teoretyczno-eksperymentalnemu określeniu nieliniowej korekcji prawa Darcy'ego w zakresie przepływów laminarnych. Powszechnie za taką korekcję uważa się kwadratowy względem prędkości filtracji, addytywny składnik występujący w stosowanym od 1901 r. fenomenologicznym wzorze Forchheimera. Dla teoretycznego określenia charakteru zależności pomiędzy spadkiem ciśnienia w pojedynczym segmencie kanału periodycznego o falistej granicy a natężeniem przepływu cieczy w zakresie małych liczb Re wykorzystano teorię homogenizacji. U podstaw teorii leży założenie istnienia dwóch dobrze separowalnych charakterystycznych wymiarów / oraz L spełniających relację (1). Oba wymiary / i L odpowiadają dwom bezwymiarowym zmiennym przestrzennym x oraz X zwanym odpowiednio zmienną mikroskopową i zmienną makroskopową. Przepływ cieczy w rozważanym kanale jest w mikroskali dwuwymiarowy i periodyczny (4), natomiast w makroskali jest jednowymiarowy i odpowiada przepływowi w rurze z niezmiennym wzdłuż osi polem prędkości i stałym gradientem ciśnienia. Skala mikroskopowa odzwierciedla charakterystyczny wymiar segmentu. Skala makroskopowa jest rzędu długości całego modelu. Dokonując rozwinięcia w szereg (2) pola prędkości v i ciśnienia p, wstawiając je do bezwymiarowych równań (6) i (7) otrzymano dla rosnących potęg parametru E ciągi równań, z których można wyznaczyć kolejne wyrazy rozwinięć. Rozwinięcie zakończono na wyrazie pozwalającym określić pierwszą niezerową poprawkę do liniowego prawa Darcy'ego. Okazało się, że nie jest nią składnik kwadratowy względem prędkości filtracji - jak to wynikało ze wzoru Forchheimera, lecz sześcienny. Współczynnik kwadratowego składnika dany przez (37) zeruje się wskutek periodycz-ności pola prędkości. Wynika stąd jednocześnie, że opory hydrauliczne przepływu w kanale dla małych wartości liczby Reynoldsa wzrastają kwadratowo, zgodnie z wzorem (46). Brak składnika kwadratowego zapewnia asymptotyczną stosowalność prawa Darcy'ego w zakresie małych wartości prędkości filtracji. W drugiej części pracy eksperymentalnie potwierdzono przydatność równania (46) do aproksymacji charakterystyk przepływowych osiowo symetrycznych, periodycznych modeli o różnych wymiarach wnęk przedstawionych na rysunku (Fig. 2). Stwierdzono, że zarówno zakres stosowalności, jak i wielkość współczynnika przy sześciennym członie korekcyjnym jest funkcją geometrycznej struktury modeli. Ilustrują to wykresy zależności oporu hydraulicznego od wydatku przepływu lub liczby Reynoldsa przedstawione na rysunkach: Fig. 4, Fig. 5, Fig. 6. Liczbę Reynoldsa liczono w oparciu o średnicę zwężenia i średnią prędkość w zwężeniu. Jednocześnie zaobserwowano, że przedmiotowa poprawka obowiązuje w znacznie większym zakresie liczb Re, niżby to wynikało z założeń poczynionych przy wyprowadzaniu równiania. Powyżej pewnej prędkości filtracji (liczby Re) składnik korekcyjny staje się kwadratowy, wyznaczając drugą (Forchheimera) laminarną strefę przepływu (Fig. 3, Fig. 4, Fig. 5). Dla nadania fizykalnej interpretacji stwierdzonych zależności przeprowadzono cząsteczkową wizualizację linii przepływu prądu w pojedynczych segmentach badanych modeli. Stwierdzono, że strefie obowiązywania sześciennej poprawki do prawa Darcy'ego towarzyszą duże zmiany geometrycznych form przepływu sprowadzające się do redukcji rdzenia przepływu i wzrostu udziału przepływu recyrkulacyjnego następujące ze wzrostem prędkości filtracji. W strefie obowiązywania poprawki kwadratowej zmiany rdzenia przepływu są niezauważalne (Cieślicki & Lasowska, 1995a), (Lasowska, 1996).