Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Drgania płyty z wypełnieniem sprężystym spoczywającej na podłożu Winklera wywołane ruchomym oscylatorem

Ataman Magdalena, Szcześniak Wacław

Przegląd Komunikacyjny

|

2019

|

R. 74, nr 11

18--22

PL

W pracy rozważana jest konstrukcja składająca się z dwóch płyt Kirchhoffa połączonych warstwą wypełnienia sprężystego Winklera. Układ płyt spoczywa na podłożu Winklera i obciążony jest jednomasowym oscylatorem lepkosprężystym, poruszającym się ze stałą prędkością po górnej płycie, równolegle do jednego z boków. Analizowane są drgania wymuszone i drgania swobodne płyt oraz oscylatora. W przypadku tak złożonego układu ruch płyt jest opisany dwoma sprzężonymi równaniami różniczkowymi lub jednym równaniem różniczkowym zawyżonego rzędu. Ponadto ze względu na charakter ruchomego obciążenia (obciążenie inercyjne) równania te mają zmienne, zależne od czasu współczynniki. Otrzymane rozwiązania zilustrowano przykładami obliczeniowymi.

EN

In the paper a structure consisting of two Kirchhoff plates connected by an elastic Winkler layer is considered. The structure rests on the Winkler foundation and is subjected to a one-mass visco-elastic oscillator, moving at a constant speed on the upper plate, parallel to one of the plate sides. Forced and free vibrations of the plates and the oscillator are analysed. In the case of such a complex system vibration of the plates is described by two coupled differential equations, or one differential equation with elevated order. In addition, due to the nature of the moving load (inertial load), these equations have variable, time-dependent coefficients. The solutions are illustrated by numerical examples.

2

Amplification factors in the case of beam under moving force – theoretical analysis

Ataman M.

Archives of Civil Engineering

|

2019

|

Vol. 65, nr 1

83--96

EN

The impact of a moving load speed on the dynamic overload of beams, assuming that the track of the load has no unevenness, is examined. First the problem of a visco-elastic beam on a Winkler foundation subjected to a force moving at a constant speed will be solved. Using the Bubnov-Galerkin method, the deflections of the beam, and then the bending moments and shear forces will be determined. The solution of the problem will be obtained both for the case of a forced vibration and the case of a free vibration after the moving force has left the beam. Using these solutions, dynamic amplification factors will be determined for the deflections, bending moments, and shear forces, which are different for the two cases. The magnitude of the amplification factors increases and decreases alternately as a function of the speed. In the case of a single force on a beam, the dynamic overloads are limited, and do not exceed 60%. There is no resonance phenomenon in the beam subjected to the single moving force. The dynamic amplification factors determined in this way can be used as correction coefficients when designing engineering structures subjected to moving loads by static methods.

PL

W niniejszej pracy przeanalizowany został wpływ prędkości pojazdów na wielkość współczynników dynamicznych, określonych wzorami (1.3), przy założeniu, że nawierzchnia jest bez nierówności. Wpływ ruchomego obciążenia na drgania nawierzchni drogowej i kolejowej oraz mostów drogowych i kolejowych przedstawiono rozwiązując zadanie belki swobodnie podpartej spoczywającej na podłożu odkształcalnym, obciążonej siłą poruszającą się ze stałą prędkością. Wyznaczono współczynniki dynamiczne, które są różne w przypadku ugięć, momentów zginających i sił poprzecznych (wzory (3.1) – (3.3)). W analizie uwzględniono zarówno drgania wymuszone jak również drgania swobodne, kiedy obciążenie jest już poza belką. Położenie siły opisane jest bezwymiarową współrzędną η=vt/l. Zatem przy η≤1 ruchoma siła znajduje się na przęśle (drgania wymuszone), zaś przy η>1 siła jest już poza belką (drgania swobodne). Przytoczono z monografii [6] wzory uogólniające, określające górne granice współczynników dynamicznych, uzyskane na podstawie obliczeń przeprowadzonych przy różnych wartościach parametru opisującego położenie ruchomej siły vt/l. W przypadku współczynnika dynamicznego maksymalnego ugięcia i momentu zginającego środka pojedynczego przęsła są to odpowiednio wzory (3.4) i (3.5). Z kolei współczynnik dynamiczny siły poprzecznej tuż przy podporze dany jest wzorem (3.6).

3

Stress distribution in an elastic layer resting on a Winkler foundation with an emptiness

Matysiak S. J., Kulchytsky-Zhygailo R., Perkowski D. M.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences

|

2018

|

Vol. 66, nr 5

721--727

EN

The paper deals with the plane problem of an elastic layer resting on a Winkler foundation with an emptiness. The stresses in the layer are caused by a given normal loading on its upper boundary plane. The mathematical formulation of the problem leads to a mixed boundary value problem and it is solved using Fourier transform methods and Fredholm integral equation of the second kind. The detailed analysis is derived analytically and numerically for an elliptic distribution of boundary loadings. The results for the normal displacement and the stresses on the lower boundary of the layer are presented in figures.

4

Vibrational analysis of damped orthotropic rectangular plates with simple support on elastic Winkler foundation subjected to moving loads

Idowu A. S., Are E. B., Gbadeyan J. A.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2017

|

Vol. 22, no. 4

1075--1082

EN

The model of a damped orthotropic rectangular plate resting on a Winkler foundation with a simple support has the fourth order differential equation governing it, which is reduced to a second order coupled differential equation by separating the variables. The coupled differential equation was solved using numerical schemes .The classical condition used as an illustrative example is the simple support condition. It is observed that damping plays a very significant role in the vibration of solid structures, as it has been shown that the deflection profile depends greatly on the damping ratio. The deflection profile also proves to be more stable in the presence of foundation coupled with viscous damping. The results obtained were discussed and graphically presented.

5

Analysis of Euler-Bernoulli beams with arbitrary boundary conditions on Winkler foundation using a b-spline collocation method

Ghannadiasl A., Golmogany M. Z.

Engineering Transactions

|

2017

|

Vol. 65, iss. 3

423--445

EN

Structural beams are important parts of engineering projects. The structural analysis of beams is required to ensure that they provide the specifics needed to prevent and withstand failure. Therefore, the numerical solution to analyze an Euler-Bernoulli beam with arbitrary boundary conditions using sextic B-spline method is presented in this paper. A direct modeling technique is applied for modeling the Euler-Bernoulli beam with arbitrary boundary conditions on an elastic Winkler foundation. For this purpose, the effect of the translational along with rotational support, the type of beam supports and the elastic coefficient of Winkler foundation are assessed. Finally, some numerical examples are shown to present the efficiency of the sextic B-spline collocation method. To validate the analysis of the Euler-Bernoulli beam with the presented method, the results of B-spline collocation method are compared with the results of the analytical method and the integrated finite element analysis of structures (SAP2000).

6

A discrete model for nonlinear vibrations of a simply supported cracked beams resting on elastic foundations

Khnaijar A., Benamar R.

Diagnostyka

|

2017

|

Vol. 18, No. 3

39--46

EN

The present paper introduces a discrete physical model to approach the problem of nonlinear vibrations of cracked beams resting on elastic foundations. It consists of a beam made of several small bars, evenly spaced, connected by spiral springs, presenting the beam bending stiffness. The crack is modeled by a spiral spring with a reduced stiffness and the Winkler soil stiffness is modeled using linear vertical springs. Concentrated masses, presenting the inertia of the beam, are located at the bar ends. The nonlinear effect, due to the axial forces in the bars resulting from the change in their length, is presented by longitudinal springs. This model has the advantage of simplifying parametric studies, because of its discrete nature, allowing any modification in the mass and the stiffness matrices, and in the nonlinearity tensor, to be made separately. After establishing the model, various practical applications are performed without the need of going through all the formulation again. Numerical linear and nonlinear results are given, corresponding to a cracked simply supported beam.

7

Analytical method for designing flexible foundations for soil-steel composite structures

Samolewski W.

Archiwum Instytutu Inżynierii Lądowej

|

2017

|

Nr 23

251--268

EN

Soil-steel composite structures are usually designed with the use of analytical methods presented in such standards as SDM, CHBDC, or ASHTOO. Nevertheless, none of those standards introduces an analytical method for designing flexible foundations. Therefore, such foundations are usually designed with the use of time consuming and labor intensive full FEM analysis. In this paper the author makes an attempt at using classical foundations engineering solutions and models a corrugated steel plate foundation as an elastic beam on Winkler foundation. Moreover, he tries to find a method that takes into account layered configurations of geological substrates. Subsequently, the obtained values are compared against corresponding FEM analysis results. Likewise, the author evaluates the usefulness and accuracy of the presented computational approach.

8

Non-linear vibrations of a non-uniform beam with symmetrically located piezoelectric patches

Kuliński K., Przybylski J.

Vibrations in Physical Systems

|

2016

|

Vol. 27

203--210

EN

In this paper the non-linear vibration behaviour and its modification due to the piezoelectric actuation of a beam with varying cross section and resting on an elastic foundation has been discussed. Due to assumed end conditions the stretching force emerges during the system vibrations. That force can be modified by an axial residual force to enhance or reduce the value of vibrations frequency of the beam. The system is divided onto three segments with the central segment consisted of the core beam and two colocally and perfectly bonded piezo patches. In order to obtain the approximate solutions of the non-linear frequency of the systems the Lindstedt-Poincare method has been utilized. Vast number of numerical results shows that not only the structural parameters of the system have significant effect on its non-linear vibration behaviour at a given amplitude but also the residual force and the elastic foundation modulus.

9

Praktyczne zagadnienia interakcji budowli z podłożem

Szeptyński P.

Inżynieria i Budownictwo

|

2016

|

R. 72, nr 7

384--389

PL

Przeanalizowano wpływ wartości współczynnika podatności podłoża na rozkład momentów zginających w płycie fundamentowej. Przyjęto 3 modele MES: płyty na wycinku półprzestrzeni sprężystej, płyty na podłożu Winklera oraz kompletny model obliczeniowy budynku biurowego. Wyprowadzono i zweryfikowano wzory do szacowania wartości współczynnika podatności podłoża na podstawie autorskiego modelu teoretycznego oraz sformułowano ogólne zalecenia dotyczące doboru tej wartości.

EN

An influence of value of modulus of subgrade reaction kz on distribution of bending moments in a foundation slab is investigated in the paper. 3 FEM models were considered: a slab on a fragment of elastic half-space, a slab on Winkler type supports and complete computational model of an office building. Formulas for estimation of value of modulus of subgrade reaction basing on authors own theoretical model are derived and verified and also general recommendations on choice of such value were formulated.

10

Drgania poprzeczne belek o skokowo zmiennym przekroju spoczywających na podłożu Winklera

Kuliński K., Przybylski J.

Modelowanie Inżynierskie

|

2015

|

T. 23, nr 54

33--40

PL

W niniejszej pracy dyskutuje się zagadnienie wpływu zmian parametrów strukturalnych belki z zamocowanymi końcami i usytuowanej na podłożu Winklera na częstość jej poprzecznych drgań własnych. Zaburzenie jednorodności struktury belki wynika z naklejenia na jej górnej i dolnej powierzchni dwóch warstw materiału piezoceramicznego. Do badań przyjęto pięć różnych sposobów podparcia końców belek, które uniemożliwiają ich przemieszczenie wzdłużne. Badania numeryczne podzielono na dwie części: pierwsza dotyczy wpływu zmiany geometrii układu na częstość jego poprzecznych drgań własnych. W drugiej części zademonstrowano zakres możliwej modyfikacji częstości pod wpływem pola elektrycznego przyłożonego do piezosegmentu w celu wygenerowania rozciągającej i ściskającej siły rezydualnej.

EN

In this paper the influence of structural parameters of the beam with two ends fixed resting on Winkler foundation on its natural vibration frequencies has been discussed. Structural inhomogeneity is the result of two surface-bonded piezoceramics, the first one for the top and the second one for the bottom surface, respectively. There have been adopted five different supports of beam ends which prevent their longitudinal displacements. Numerical analysis has been divided onto two parts. The first part concerns the influence of the system's geometry on its natural frequency, whereas in the second part a modification of the frequency resulting from the electric field applied to the piezosegment which generates a compressing or stretching residual axial force has been investigated.

11

Drgania ustalone niejednorodnej belki nieskończenie długiej spoczywającej na podłożu Winklera

Ataman M., Szcześniak W.

Logistyka

|

2015

|

nr 4

2266--2273, CD2

PL

Zagadnienie drgań belek i płyt na podłożach pod wpływem obciążeń ruchomych ściśle wiąże się z dynamiką mostów, nawierzchni drogowych, lotniskowych oraz kolejowych. Na trwałość nawierzchni komunikacyjnych niezwykle duży wpływ ma prawidłowe zwymiarowanie konstrukcji. Jednym z najważniejszych czynników jaki należy uwzględnić w procesie projektowania nawierzchni jest obciążenie dynamiczne wywołane ruchomymi pojazdami. Odkształcenia, przemieszczenia i naprężenia w poszczególnych warstwach nawierzchni w dużej mierze zależą od prędkości i przyspieszenia pojazdu. Praca dotyczy niejednorodnej poprzecznie, sprężystej belki Bernoulliego-Eulera spoczywającej na podłożu Winklera obciążonej ruchomą siłą. W referacie przeanalizowano i porównano dwie teorie, a wyniki uzyskane w przykładzie obliczeniowym przedstawiono w formie graficznej. Do pracy dołączono spis dwunastu pozycji literatury przedmiotu.

EN

The problem of vibration of beams and plates on foundations, subjected to moving loads is closely related to the dynamics of bridges, roads, airfield and railway pavements. The durability of such a communication pavement depends strongly on the correct design of the structure. One of the most important factors, to be taken into account in the process of pavement design, is dynamic load caused by moving vehicles. Strains, displacements and stresses in each layer of the pavement, depend mainly on the velocity and acceleration of the vehicle. The paper deals with non-homogenous, elastic infinite Euler beam resting on the Winkler foundation subjected to the moving force. Two theories were analysed and compared. Numerical example was presented in the diagrams. Twelve items of literature on the subject were mentioned in the paper.

12

Buckling of stepped beams resting on an elastic foundation

Kuliński K., Przybylski J.

Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

|

2015

|

Vol. 14, nr 4

115--126

EN

The influence of structural parameters of a stepped beam with two ends fixed and resting on Winkler foundation on its buckling critical force has been discussed in this paper. The structure inhomogeneity results from two piezoceramic plates perfectly bonded at the top and bottom surface of the beam. For the performed analysis five different supports of beam ends which prevent longitudinal displacements have been adopted. Numerical analysis has been divided into two parts. The first part concerns the influence of the system geometry on its critical force, whereas in the second part, a modification of the buckling load resulting from the electric field applied to the piezosegment has been investigated.

13

Ugięcia płyty Kirchhoffa spoczywającej na podłożu Winklera spowodowane obciążeniem impulsowym

Ataman M., Szcześniak W.

Logistyka

|

2014

|

nr 3

122--130

PL

W niniejszej pracy omówiono drgania sprężystej płyty Kirchhoffa, swobodnie podpartej na obwodzie i spoczywającej na podłożu sprężystym Winklera, wymuszone pojedynczym impulsem siły. Takie obciążenie jest podstawowym zadaniem w dynamice konstrukcji, bowiem określa tzw. funkcję Greena, wykorzystywaną w innych, bardziej złożonych przypadkach udarów na płytach. Zadanie zostało rozwiązane analitycznie, a wyniki rozwiązania zostały zaprogramowane na komputerze w kodzie MATHEMATICA. W przykładzie obliczeniowym zamieszczono szereg rysunków przedstawiających powierzchnie odkształcone i plany warstwicowe ugięć płyty obciążonej impulsem siły. Rozważano przypadki, gdy obciążenie przyłożone jest w środku płyty oraz w pobliżu jej narożnika. Badano wpływ podłoża na ugięcia płyty przyjmując współczynnik sprężystości podłoża Winklera k o różnych wartościach do k =107 N m3 , a także zakładając brak podłoża. Obciążenie impulsem siły jest jakościowo i ilościowo różne w przypadku płyty spoczywającej na podłożu sprężystym i płyty przegubowo podpartej bez podłoża. Załączone przykłady wskazują na falowy charakter rozwiązanego zadania.

EN

In the paper analytical analysis of simply supported, elastic Kirchhoff plate, resting on the Winkler foundation and subjected to impulse force is presented. This loading is a fundamental problem in the dynamics of structures, because it determines so called Green's function, which is used in other, more complex cases of the impulse load on the plates. The problem is solved analytically, using MATHEMATICA code. The numerical example contains several Figures showing deflections of plate and contour lines of the deflections caused by impulse force. The impulse load is applied to the plate in the middle-point of the plate and at the distance is 1 x0 = y0 = 2 a or 1 0 0 4 x = y = a from the edge of the plate. The problem was analyzed assuming different coefficients of the elastic Winkler foundation: from zero to 107 N m3 . It can be concluded that character of the displacement of the plate due to the impulse force is different in case of plate resting on the elastic foundation and in case k = 0 . Attached examples show the wave character of the problem.

14

Belka Eulera na podłożu sprężystym Winklera obciążona impulsem siły

Ataman M., Szcześniak W.

Logistyka

|

2014

|

nr 3

114--121

PL

W pracy podano rozwiązanie analityczne zadania sprężystej belki Bernoulliego-Eulera spoczywającej na bezinercyjnym podłożu Winklera, obciążonej impulsem siły. Rozwiązanie analityczne podano w postaci nieskończonego szeregu funkcji własnej zadania brzegowego. W przykładzie obliczeniowym rozważano dwa przypadki przyłożenia impulsu do belki, w połowie rozpiętości przęsła oraz w odległości a=1/4l od lewej podpory. Zadanie analizowano przyjmując różne współczynniki podłoża sprężystego Winklera: od zera do 107 N m3 . Wyniki obliczeń pokazano graficznie na rysunkach 1 do 8. Wykresy ugięć belki przedstawiono w postaci bezwymiarowej. Na podstawie wykresów można stwierdzić, że przemieszczenia spowodowane obciążeniami impulsowymi w belkach mają falowy charakter. Rozwiązane zadanie ma zastosowanie praktyczne w dynamice konstrukcji inżynierskich, na przykład przy uderzeniu koła o szynę kolejową, a także w przypadku nawierzchni drogowych i lotniskowych, gdzie obciążenia impulsowe mają znaczący wpływ na trwałość nawierzchni, a także na komfort pasażerów.

EN

In the paper, analytical solution of the problem of the elastic Bernoulli-Euler beam resting on the massless Winkler foundation, under impulse load is presented. Analytical solution is given in the form of an infinite series of eigenfunctions of the boundary problem. In the numerical example, impulse load is applied to the beam in the middle-point of the beam and at the distance a=1/4 l from the left support. The problem was analyzed assuming different coefficients of the elastic Winkler foundation: from zero to 107 N m3 . Results of calculations are shown graphically in the Figures 1 to 8. The deflections of the beam are presented in a dimensionless form. From these graphs, it can be concluded that the displacement of the beam due to the impulse loads have a wave character. Solved problem has practical application in the dynamics of engineering structures, such as the impact of a wheel with a rail, and in the case of the road and airport pavements, where the impulse load has a significant impact on the durability of the pavement, as well as on the comfort of passengers.

15

Zagadnienie wyboczenia płyt cienkich o funkcyjnej gradacji własności

Kaźmierczak-Sobińska M., Jędrysiak J.

Zeszyty Naukowe. Mechanika / Politechnika Opolska

|

2013

|

z. 101

53--54

PL

Obiektem rozważań są płyty o funkcyjnej gradacji własności spoczywające na podłożu Winklera. Na poziomie „mikro” płyty te mają budowę tolerancyjnoperiodyczna, tzn. złożone są z wielu małych elementów - komórek, gdzie sąsiednie komórki są prawie identyczne, natomiast odległe różnią się znacznie od siebie.

16

Free vibration analysis of isotropic rectangular plates on Winkler foundation using differential transform method

Kumar Y.

International Journal of Applied Mechanics and Engineering

|

2013

|

Vol. 18, no. 2

589--597

EN

A differential transform method (DTM) is used to analyze free transverse vibrations of isotropic rectangular plates resting on a Winkler foundation. Two opposite edges of the plates are assumed to be simply supported. This semi-numerical-analytical technique converts the governing differential equation and boundary conditions into algebraic equations. Characteristic equations are obtained for three combinations of clamped, simply supported and free edge conditions on the other two edges, keeping one of them to be simply supported. Numerical results show the robustness and fast convergence of the method. Correctness of the results is shown by comparing with those obtained using other methods.

17

In plane flexural vibration of a ring interacting with the Winkler foundation

Noga S., Markowski T.

Vibrations in Physical Systems

|

2012

|

Vol. 25

305--310

EN

In this study the in plane flexural vibration of a system of circular ring interacting with elastic foundation is presented on the basis of the analytical method and numerical simulation. The elastic foundation is described by the Winkler model. At first the motion of the system is described by partial differential equations. The effect of rotary inertia and shear deformation is included. The general solution of the free vibration is derived by the separation of variable method and the boundary problem is solved. The second model is formulated by using finite element representations. The natural frequencies and natural mode shapes of vibration of the system are determined. The obtained results of calculation are discussed and compared for these two models. FE models are formulated by using ANSYS code. It is important to note that the data presented in the paper brings practical advice to design engineers.

18

Natural frequencies of flexural vibration of a ring with wheel–plate as the Winkler elastic foundation

Noga S, Markowski T, Bogacz R

Symulacja w Badaniach i Rozwoju

|

2012

|

Vol. 3, nr 1

39--46

EN

In this work the in plane flexural vibration of a circular ring with wheel–plate as a foundation of the Winkler type is studied on the basis of the analytical method and numerical simulation. To begin with the free vibration of the system is described by partial differential equations. The effect of rotary inertia and shear deformation is taken into account. The general solution of the analyzed problem is derived by the separation of variable method. Then the solution by using finite element method is received. The obtained results of calculation are discussed and compared for these solutions. FE models are formulated by using ANSYS software.

PL

W pracy analizowane są drgania własne giętne pierścienia kołowego współpracującego z tarczą modelowaną warstwą sprężystą typu Winklera. Prezentowane modele matematyczne układu opracowano na podstawie klasycznej teorii drgań giętnych pierścieni oraz metody elementów skończonych. W modelu ścisłym uwzględniono wpływ bezwładności obrotowej i odkształcenia postaciowego. Analityczne rozwiązanie drgań własnych układu otrzymano stosując metodę rozdzielenia zmiennych. Otrzymane rezultaty (częstości własne i odpowiadające im formy własne) porównano z rezultatami otrzymanymi z metody elementów skończonych. Obliczenia MES wykonano w programie ANSYS.

19

Free vibration of the Timoshenko beam interacting with the Winkler foundation

Noga S., Bogacz R.

Symulacja w Badaniach i Rozwoju

|

2011

|

Vol. 2, nr 4

209--223

EN

In the study a free transverse vibration analysis of the simply supported Timoshenko beam on an arbitrary variable Winkler foundation is presented. The analysis is based on the use of the analytical method compared with numerical simulation. The elastic foundation is composed of two arbitrary variable, massless, regions of the Winkler type. At first the general solution of free vibration is derived by the separation of variable method. The natural frequencies of the system under consideration are determined. Then the models of the system formulated by using finite element technique are prepared and eigenvalue problem is solved. Achieved results of calculation are discussed and compared for these models. All needed finite element models are formulated by using ANSYS FE code. It is important to note that the data presented in the article is yielded the practical advice to design engineers.

20

Free vibrations of an annular membrane attached to Winkler foundation

Noga S.

Vibrations in Physical Systems

|

2010

|

Vol. 24

295--300

EN

In this study the free transverse vibration analysis of the annular membrane resting on elastic foundation with fixed boundary conditions at the inner and outer edges of the annular membrane is presented on the basis of the analytical method and numerical simulation. The elastic foundation is described by the Winkler model. At first the general solution of the free vibrations are derived by the Bernoulli – Fourier method. The natural frequencies and natural mode shapes of vibrations of system under consideration are determined. Then the model of the system formulated by using finite element representations is prepared and eigenvalue problem is solved. Obtained results of calculation are discussed and compared for these two models. It is important to note that the data presented in the paper is brought the practical advice to design engineers.

PL

W pracy analizowane są drgania własne poprzeczne membrany pierścieniowej osadzonej na podłożu sprężystym typu Winklera. Prezentowane modele matematyczne układu opracowano w oparciu o klasyczną teorię drgań membran pierścieniowych oraz metodę elementów skończonych. Rozwiązanie ścisłe drgań własnych układu wyprowadzono stosując metodę Bernoulliego – Fouriera (metoda rozdzielenia zmiennych). Uzyskane z rozwiązania ścisłego wyniki (częstości własne i odpowiadające im formy własne) porównano z rezultatami otrzymanymi z metody elementów skończonych.