Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 2

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Wyszukiwano:
w słowach kluczowych: Nelder-Mead algorithm

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

Optymalizacja odwzorowania wielostożkowego Polski według kryterium Airy'ego

Latuszek K. J.

Roczniki Geomatyki

2015

T. 13, z. 2(68)

109--123

Jednym z podstawowych zadań kartografii matematycznej jest poszukiwanie odwzorowań o minimalnym całkowitym poziomie zniekształceń. Kryterium Airy'ego postuluje minimalizację kwadratów odchyleń od jedności ekstremalnych skal długości dla całego odwzorowywanego obszaru, co odpowiada minimalizacji zniekształceń długości we wszystkich kierunkach. W artykule przedstawiono zoptymalizowane ze względu na kryterium Airy'ego odwzorowanie wielostożkowe obszaru Polski.Przedstawiono trzy różne modele parametryczne odwzorowania wielostożkowego. Dla ustalonej liczby parametrów, modele te zostały zoptymalizowane z wykorzystaniem zmodyfikowanego algorytmu optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada. Modyfikacja polegała na rozszerzeniu algorytmu Neldera-Meada o operator mutacji rozkładem normalnym, znany z algorytmów ewolucyjnych. Pozwoliło to zapobiec przedwczesnej zbieżności algorytmu. Funkcja celu wyznaczana została jako wynik całkowania numerycznego. Zbadana została regularność zoptymalizowanych odwzorowań oraz zilustrowany został rozkład zniekształceń odwzorowawczych w postaci interpolowanych numerycznie ekwideformat. Przyjmując za kryterium stopu działania algorytmu liczbę obliczeń wartości funkcji celu, wybrane parametryzacje zostały porównane ze względu na osiąganą średnio przeciętną wartość zniekształceń długości w badanym obszarze. Przeciętna wartość zniekształceń długości rozumiana jest tutaj jako podniesione do kwadratu, uśrednione i spierwiastkowane zniekształcenia długości w kierunkach skal ekstremalnych – jest to odpowiednik minimalizowanej miary zniekształceń w kryterium Airy'ego.

One of the fundamental tasks of mathematical cartography is to find projections with minimized total distortion. Airys criterion demands that the sum of the squares of the principal scale errors should be minimized for the mapped area, so that the scale distortion in all directions is minimal. In this article, a polyconic projection for Poland, optimized with respect to Airys criterion will be presented. Three parametric models of the polyconic projection will be discussed. For a given number of parameters, these models will be optimized, using a modified Nelder and Mead nonlinear optimization algorithm. The modification consisted of extending Nelder and Mead algorithm with a mutation operator, known from evolutionary algorithms, which adds normally distributed random values to the projection parameters. This helped to prevent the algorithm from converging to a false minimum. Regularity of the optimized projections has been inspected and the distortion pattern has been illustrated using numerically interpolated lines of constant distortion. For a limited number of the objective function calculations, chosen parametric models have been compared, with respect to the averagely achieved mean scale distortion , for many algorithm evaluations, for the mapped area. The mean distortion of lengths is understood as the squared, averaged and square rooted length distortions in directions of extreme scales it corresponds to the minimized measure of distortion according to Airys criterion.

Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych - na przykładzie odwzorowania azymutalnego

Latuszek K J

Roczniki Geomatyki

2013

T. 11, z. 5(62)

75--85

Poszukiwanie odwzorowań o optymalnym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych, według kryteriów integrujących różne miary tych zniekształceń, jest jednym z ważniejszych zadań kartografii matematycznej. W XIX wieku zostały zaproponowane liczne kryteria całkowe, których minimalizacja dla danego odwzorowania utożsamiana jest z uzyskaniem dla niego optymalnego rozkładu zniekształceń. W erze masowej komputeryzacji i wzrostu możliwości obliczeniowej komputerów, popularne stały się obok rozwiązań ścisłych wspomnianych kryteriów, przybliżone rozwiązania numeryczne – oparte na metodach optymalizacji nieliniowej. Bezgradientowa metoda optymalizacji nieliniowej zaproponowana przez Neldera-Meada (Nelder i Mead, 1965), została wykorzystana do optymalizacji rozkładu zniekształceń odwzorowań sfery dla opracowań małoskalowych przez Cantersa (2002). Canters optymalizował odwzorowania całego globu opisane przez szeregi dwuparametrowych wielomianów stopnia piątego, gdzie parametrami były szerokość i długość geograficzna na sferze lub współrzędne płaskie pewnego wyjściowego odwzorowania. Za funkcję celu przyjmowana była wartość zrewidowanej miary Petersa (Canters, 2002) – porównującej dużą liczbę losowo wybranych odległości na powierzchni oryginału z odpowiadającymi im odległościami na powierzchni obrazu. W niniejszej pracy wspomniany algorytm zostanie wykorzystany do optymalizacji rozkładu zniekształceń odwzorowania azymutalnego normalnego sfery według kryterium Airy’ego. Uzyskane rozwiązanie będzie porównane z rozwiązaniem ścisłym dla tego kryterium, podanym przez Gdowskiego (1967). Promień równoleżnika we wzorach na współrzędne płaskie optymalizowanego odwzorowania wyrażony będzie kombinacją liniową promienia w odwzorowaniu początkowym i wyrazów szeregu potęgowego odległości sferycznej od bieguna północnego ∂.

The search for map projections with least possible distortion, satisfying selected criteria which integrate different measures of distortion, is one of the more important tasks of cartography. In the nineteenth century, many integral based criterions have been proposed, minimization of which is considered as achieving an optimal distortion pattern for a given projection. In the present time of mass computerization and constantly rising computation speed, popularity of numerical solutions of the mentioned criteria has risen. These numerical solutions are achieved by application of nonlinear optimization methods. A nonlinear function minimization method proposed by Nelder and Mead (Nelder and Mead, 1965) was used to optimize map projections of the spherical globe for small scale mapping by Frank Canters (2002). Canters optimized projections of the whole globe, for which flat coordinates were given by fifth order polynomials. Parameters of these polynomials were either longitude and latitude on the globe or flat coordinates of a given parent projection. The objective function was the revised Peters measure of distortion (Canters, 2002), which is a finite distortion measure comparing distance between two given points on the globe with their distance on the map, for a large set of randomly chosen points. In the present study, Nelder-Mead algorithm is used to minimize distortion of an azimuthal projection of the sphere in the normal aspect, so that it will satisfy Airy’s criterion. The obtained solution will be then compared with an analytical-strict solution for this criterion, as given by Gdowski (1967). The parallel radius in the formulas describing flat coordinates of the optimized projection is written as a linear combination of the parent projections radius and a power series of ∂ , which denotes spherical distance from the north pole.