Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Novel method of physical modes generation for reduced order flow control-oriented models

Morzyński M., Nowak M., Stankiewicz W.

Vibrations in Physical Systems

|

2014

|

Vol. 26

189--194

EN

Physical flow modes are of particular interest for Reduced Order Flow Control-Oriented Models. Computation of physical modes as the eigensolution of linearized Navier-Stokes equations is a cumbersome and difficult task, especially for large, 3D problems. Instead we propose the solution of Navier-Stokes equation in the frequency domain and investigation of the system response to local or global perturbation. The flow variables are perturbed around steady basic state and the system response is used to construct mode basis suitable for ROMs.

2

Modeling of a Water Flow Over Stepped Spillways

Kherbache K., Chesneau X., Abide S., Benmamar S.

Machine Dynamics Research

|

2013

|

Vol. 37, No. 1

51-68

EN

In this work, a numerical analysis of the flow over a stepped spillway is performed. The free surface flow is described by the Reynolds Averaged Navier-Stokes equation (RANS) coupled to k-ε model. These equations are solved using a commercial software based on the finite volume scheme and the VOF method. We analyzed the influence of the steps shape and water flow rate on velocity, turbulence dissipation rate and pressure distributions. In this, we found that the maximum values of the static pressure and the turbulence dissipation rate increase as the discharge increases and the main flow velocity is greater than the one of the secondary flow.

3

Computer Simulation of Shallow Fluid Flow

Chodkiewicz P., Zalewski R.

Machine Dynamics Research

|

2013

|

Vol. 37, No. 2

15-21

EN

This paper presents how to implement the algorithm applied to simulate shallow incompressible fluid. Finite difference discretisation of complex equations for incompressible fluid velocity have been presented. The results of the algorithms will be presented in the form of graphics generated by the application enabling simulating and observing the movement of the fluid in a real time.

4

Stabilization of a fluid structure interaction with nonlinear damping

Lasiecka I., Lu Y.

Control and Cybernetics

|

2013

|

Vol. 42, no. 1

155--181

EN

Asymptotic stability of finite energy solutions to a fluid-structure interaction with a static interface in a bounded domain Ω ∈ Rn, n = 2 is considered. It is shown that the undamped model subject to ”partial flatness” geometric condition on the in- terface produces solutions whose energy converges strongly to zero; while with a stress type feedback control applied on the interface of the structure, the model produces solutions whose energy is exponentially stable. An addition of a static damping on the interface produces solutions whose full norm in the phase space is exponentially stable. Without a static damping an interesting phenomenon occurs that steady state solutions (equilibria) might generate genuinely growing in time solutions. This is purely nonlinear phenomenon captured by newly developed techniques amenable to handle instability of steady state solutions arising from nonlinearity.

5

Multi-scale method for multi-component granular materials

Thornton C., Weinhart T., Ogarko V., Luding S.

Computer Methods in Materials Science

|

2013

|

Vol. 13, No. 2

197--212

EN

In this paper we review recent progress made to understand granular chutes flow using multi-scale modeling techniques. We introduce the discrete particle method (DPM) and explain how to construct continuum fields from discrete data in a way that is consistent with the macroscopic concept of mass and momentum conservation. We present a novel advanced contact detection method that is able of dealing with multiple distinct granular components with sizes ranging over orders of magnitude. We discuss how such advanced DPM simulations can be used to obtain closure relations for continuum frameworks (the mapping between the micro-scale and macro-scale variables and functions): the micro-macro transition. This enables the development of continuum models that contain information about the micro-structure of the granular materials without the need for a priori assumptions. The micro-macro transition will be illustrated with two granular chute/avalanche flow problems. The first is a shallow granular chute flow where the main unknown in the continuum models is the macro-friction coefficient at the base. We investigate how this depends on both the properties of the flow particles and the surface over which the flow is taking place. The second problem is that of gravity-driven segregation in poly-dispersed granular chute flows. In both these problems we consider small steady-state periodic box DPM simulations to obtain the closure relations. Finally, we discuss the issue of the validity of such closure-relations for complex dynamic problems, that are a long way from the simple period box situation from which they were obtained. For simple situations the pre-computed closure relations will hold. In more complicated situations new strategies are required were macro-continuum and discrete micromodels are coupled with dynamic, two-way feedback between them.

PL

W artykule przedstawiono postęp w zrozumieniu przepływu przesypywanych materiałów ziarnistych, jaki został ostatnio osiągnięty dzięki technikom modelowania wieloskalowego. Na początku omówiono metodę dyskretnych cząstek (ang. Discrete particle method - DPM) i wyjaśniono w jaki sposób należy konstruować ciągłe pole na podstawie dyskretnych danych tak, aby model był spójny z makroskopową zasadą zachowania masy i pędu. Zaprezentowano też nową metodę wykrywania kontaktu, która może być wykorzystana do wieloskładnikowych materiałów sypkich o rozmiarze cząstek zmieniających się w zakresie rzędów wielkości. Pokazano jak zaawansowane symulacje DPM mogą być zastosowane do uzyskiwania zależności dla modelu ciągłego (mapowanie zmiennych i funkcji między skalami mikro i makro). To umożliwiło rozwój modeli kontinuum zawierających informację o mikrostrukturze materiałów sypkich bez potrzeby robienia dodatkowych założeń. Przejście mikro-makro przedstawiono dla dwóch problemów płynięcia materiału sypkiego. Pierwszym jest płynięcie w płytkim zsypie, gdzie główną niewiadomą w modelu kontinuum jest makro współczynnik tarcia. W pracy badano jak ten współczynnik zależy od własności przepływających cząstek i powierzchni, względem której cząstki przepływają. Drugim analizowanym problemem jest segregacja przy zsypie polidyspersyjnych cząstek. W obydwu analizowanych problemach rozważono krótkie okresy stacjonarne w symulacji DPM, aby otrzymać realistyczne, wzajemnie dopełniające się zależności opisujące ciągłe własności materiału. W pracy omówiono również problem dokładności i poprawności opisanych wzajemnie dopełniających się zależności dla złożonych problemów dynamicznych. Problemy te są odległe od omówionych wcześniej rozwiązań dla krótkich okresów stacjonarnych, dla których te zależności były otrzymywane. Dla prostych przypadków zastosowanie zdefiniowanych wzajemnie dopełniających się zależności dawało poprawne wyniki. W bardziej skomplikowanych sytuacjach potrzebne są nowe, bardziej zaawansowane rozwiązania, w których makrokontinuum i mikro dyskretny model są połączone w sposób dynamiczny ze sprzężeniem zwrotnym.

6

Model hartowania elementu osiowo-symetrycznego z uwzględnieniem ruchów chłodziwa

Kulawik A.

Modelowanie Inżynierskie

|

2011

|

T. 10, nr 41

213-220

PL

W pracy zaproponowano model matematyczny oraz numeryczny procesu chłodzenia zbudowany z wykorzystaniem uogólnionej metody różnic skończonych. Ruchy chłodziwa, zarówno konwekcyjne jak i wymuszone, zamodelowano, rozwiązując równanie Naviera-Stokesa metodą rzutowania. Rozwiązanie równania przewodzenia ciepła z członem konwekcyjnym uzyskano na podstawie stabilizowanej bezsiatkowej metody różnic skończonych. Do wyznaczenia udziałów przemian fazowych zastosowano makroskopowy model bazujący na analizie wykresów CTPc.

EN

In the paper a mathematical and numerical model for the cooling processes built on the basis of the generalized finite difference method have been proposed. The movements of the coolant, both convective and forced, have been solved using the Navier-Stokes equation with the characteristic based split scheme (CBS). The solution of the heat transport equation with the convective term has been obtained by a stabilized meshless finite difference method. In the paper the macroscopic model of the phase transformations based on an analysis of CCT diagrams has been presented.

7

Wyznaczanie stacjonarnego ruchu cieczy lepkiej w dwu- i trójwymiarowych zagłębieniach z jedną poruszającą się ścianką

Kosma Z., Kalbarczyk R., Piechnik B.

Logistyka

|

2011

|

nr 6

PL

Prezentowana jest efektywna metoda wyznaczania laminarnego stacjonarnego ruchu cieczy lepkiej w obszarach o skomplikowanych kształtach. Do rozwiązywania dwui trójwymiarowych zagadnień dla równań Naviera-Stokesa zapisanych w zmiennych pierwotnych została zastosowana metoda sztucznej ściśliwości na siatkach kartezjańskich. Zostały zaproponowane dwa numeryczne podejścia - oparte na wykorzystaniu metody prostych w połączeniu z przeniesieniem wszystkich zmiennych z granic obszarów do najbliższych węzłów równomiernych siatek obliczeniowych. Prezentowane są wyniki testowych obliczeń numerycznych dla sześciu zagłębień z jedną poruszającą się ścianką: kwadratowego, półkwadratowego, półkolistego, sześciennego, półsześciennego i półkulistego - porównane z wynikami dostępnymi w literaturze i symulacjami wykonanymi za pomocą programu Fluent.

EN

An efficient method for simulating steady laminar flows in complex geometries is presented. The artificial compressibility method was applied to solve two- and threedimensional Navier-Stokes equations in primitive variables on Cartesian grids. Two numerical approaches were proposed in this work, which are based on the method of lines process in conjunction with transfer of all the variables from the boundaries to the nearest uniform grid knots. Some test numerical calculations for flows in square, half-square, semicircular, cubic, half-cubic and hemisphere cavities with one uniform moving wall were reported. The present results were compared with the available data in the literature and the Fluent solver numerical simulations.

8

Numerical simulation of NO production in a pulverized coal fired furnace

Straka R., Makovička J., Beneš M.

Environment Protection Engineering

|

2011

|

Vol. 37, nr 2

13-22

EN

Behaviour of air-coal mixture has been described using the Navier-Stokes equations for the mixture of air and coal particles, accompanied by the turbulence model. The undergoing chemical reactions are described by the Arrhenius kinetics (reaction rate proportional to exp(-E/RT) ). Heat transfer via conduction and radiation has also been considered. The system of partial difference equations is discretized using the finite volume method and the advection upstream splitting method as the Riemann solver. The resulting ordinary differential equations are solved using the 4th order Runge-Kutta method. Results of simulation for typical power production level are presented together with the air staging impact on NO production.

9

Natural convection numerical model based on GFD method

Kulawik A.

Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej

|

2009

|

Vol. 8, nr 1

91-95

EN

Classical finite difference method (FDM) is typically used for solving Navier-Stokes (N-S) equation. However to obtain a solution on irregular grid of points other methods have to be applied. Generalized finite difference method (GDFM) is one of the methods that my be used to solve mentioned problem. In this paper N-S and heat transfer equation have been solved using the GFDM. Results of numerical solutions for cooling processes with convection move in two-dimensional region are presented.

10

Survey of applications of discrete vortex method in civil engineering

Nowicki T.

Budownictwo i Architektura

|

2009

|

vol. 5, nr 2

29-38

EN

This paper includes an introduction to Discrete Vortex Method (DVM) and its comparison with other methods of computer fluid dynamics. In its second part it focuses on the most important applications of DVM from the civil engineering point of view. Some examples known form literature are presented theoretical as well as experimental.

11

Fast Algorithms for Calculations of Viscous Incompressible Flows Using the Artificial Compressibility Method

Kosma Z.

TASK Quarterly : scientific bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk

|

2008

|

Vol. 12, No 3-4

273-287

EN

An artificial compressibility method is designed to simulate stationary two-and threedimensional motions of a viscous incompressible fluid. A standard method of lines approach is applied in this contribution. A partial differential equation system is discretized in space by secondorder finite-difference schemes on uniform computational grids, and the time-variable is preserved as continuous. Initial value problems for systems of ordinary differential equations for pressure and velocity components are computed using the Galerkin-Runge-Kutta method of third order. Some test calculations for laminar flows in square, cubic, triangular and semicircular cavities with one uniform moving wall and double bent channels are reported.

12

Fast Algorithms For Calculations of Viscous Incompressible Flows Using the Velocity Correction Method

Kosma Z., Motyl P.

TASK Quarterly : scientific bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk

|

2008

|

Vol. 12, No 3-4

289-301

EN

The velocity correction method is designed to simulate stationary and non-stationary, two- and three-dimensional motions of a viscous incompressible fluid. The basic assumption of this method consists in splitting the velocity and the pressure fields and calculations are performed in two steps. In the first step, a tentative velocity field is determined by simplified equations for momentum conservation. In the second step the Neumann problem for the Poisson equations is solved to obtain the computational pressure, and the velocity components are corrected. A standard method of lines approach and the two grids method are applied in this contribution. Some test calculations for laminar and transitional flows in square and cubic cavities with one moving wall as well as in a backward-facing step are reported.

13

Metoda funkcjonału charakterystycznego

Icha A.

Modelowanie Inżynierskie

|

2007

|

T. 2, nr 33

61-66

PL

W pracy zaprezentowano przegląd zagadnień związanych z wykorzystaniem metody funkcjonału charakterystycznego w statystycznym sformułowaniu problemu turbulencji. Omówiono matematyczne podstawy tej metody oraz wyprowadzono równania funkcjonalno-różniczkowe dla funkcjonału charakterystycznego pola prędkości cieczy. Znaleziono operatorowe rozwiązanie rozpatrywanego problemu przy wykorzystaniu funkcjonalnej techniki rozdzielenia zmiennych.

EN

In this paper and overview of issues connected with the application of characteristic functional method in statistical problems of turbulence theory is presented. The mathematical basis of the method is described briefly and the functional different equation of characteristic functional based on Navier-Stokes equations is derived. The solution of the problem in some operator form based on finctional technique of separation of the variables is obtained.

14

A numerical method for investigation of a flow of incompressible liquid in a 2D domain of irregular shape utilizing Bézier surfaces

Zapomel J.

Modelling and Optimization of Physical Systems

|

2007

|

z. 6

163--166

EN

The developed procedure is intended for investigation of a 2D flow of Newtonian liquids in regions of irregular shape. The flow is governed by the Navier-Stokes equations and the equation of continuity and geometry of irregular domains can be described by Bézier surfaces and positions of the individual points by curvilinear coordinates. The governing equations are then transformed to the ones describing the flow in an auxiliary rectangular domain. To solve them the domain is discretized by nodes into periods of the same length in both directions and the space derivatives in the governing equations are replaced by corresponding central differencies. This manipulation arrives in a set of algebro-differential equations of the first order. To perform the time discretization a forward difference scheme has been adopded. Calculation of the pressure and the velocity components in the individual nodes results in solving a set of linear algebraic equations at each integration step.

CS

Vypracovaná metoda je určena pro zkoumání proudění newtonovské kapaliny, které je popsáno Navier-Stokesovými rovnicemi a rovnicí kontinuity, v dvojrozměrné oblasti nepravidelného tvaru. Ta může být definována pomocí Bézierových ploch a polohy jednotlivých bodů křivočarými souřadnicemi. Řídící rovnice se pak transformují na rovnice popisující proudění v pomocné pravidelné oblasti obdélníkového tvaru. Pro účely jejich řešení se tato oblast rozdělí uzly na úseky stejné délky v obou směrech a derivace podle prostorových souřadnic se nahradí odpovídajícími diferencemi. Tato úprava vede k soustavě algebro-diferenciálních rovnic prvního řádu. Κ provedení časových derivací je použito dopředných diferencí. Výpočet tlaku a složek rychlostí v jednotlivých uzlech pak vede na řešení soustavy lineárních algebraických rovnic v každém integračním kroku.

15

Badania przepływów transonicznych z kondensacją pary wodnej

Dykas S.

Zeszyty Naukowe. Energetyka / Politechnika Śląska

|

2006

|

z. 144

1-119

PL

Praca dotyczy zagadnień modelowania zewnętrznych i wewnętrznych ustalonych przepływów ściśliwych w zakresie prędkości okołodźwiękowych z uwzględnieniem zjawiska kondensacji pary wodnej. W pracy przedstawiona została metoda numeryczna, służąca do badań przepływów transonicznych pary wodnej oraz powietrza wilgotnego z kondensacją homogeniczną i/lub heterogeniczną. Opisany został szczegółowo model fizyczny oraz krótko przyjęta do obliczeń metoda numeryczna. Metoda obliczeniowa bazuje na rozwiązaniu uśrednionych równań Naviera-Stokesa (RANS), uzupełnionych o model turbulencji SST k-omega oraz fenomenologiczne modele kondensacji homogenicznej i heterogenicznej. Przedstawiono szereg wyników obliczeniowych służących do weryfikacji opracowanej metody numerycznej dla przepływu bez kondensacji. Dodatkowo dokonano szeregu obliczeń sprawdzających poprawność opracowanej metody dla przepływu pary wodnej oraz powietrza wilgotnego z kondensacją. Wyniki te wskazują na poprawność opracowanej metody zarówno dla przepływu jedno jak i dwufazowego. Przeprowadzono obliczenia w celu określenia poprawności obliczeń strat aerodynamicznych (efektów lepkościowych i falowych) oraz termodynamicznych (efektów nierównowagowych i przemian fazowych). Następnie przy użyciu zaprezentowanego kodu numerycznego przedstawiono wyniki analizy pola przepływu w kanałach łopatkowych rzeczywistych turbin parowych, jak i wokół skrzydła lotniczego. Dalsza część pracy zawiera dyskusję efektywności opracowanego narzędzia numerycznego i podsumowanie rezultatów wykonanych testów numerycznych. Końcowa część pracy zawiera opis stanowiska do badań eksperymentalnych jako wygodnego i taniego narzędzia do tworzenia szeregu danych eksperymentalnych służących do weryfikacji metod numerycznego modelowania przepływu z kondensacją homogeniczną i/lub heterogeniczną.

EN

This work deals with problems of numerical modeling of external and internal steady compressible transonic flows taking condensation process of water steam into consideration. In this work numerical method for research of transonic flows water steam and moist air with homogenous and/or heterogenous condensation is presented. The detailed description of physical model and short presentation of used numerical methods is carried out. Numerical method bases on the solution of Reynolds averaged Navier-Stokes equations (RANS) coupled with SST k-omega turbulaence model and models of homogeneous condensation. Many numerical results for code validation of the ideal gas flow without condensation process are discussed. Additionally, many numerical tests for wet steam and moist air flows with condensation are presented. These results show correctness of elaborated numerical code for the one- and two-phase flows. Test calculations for correct determination of the aerodynamic and thermodynamic losses are described. Next, by means of presented CFD code analysis of flows in real blade-to-blade steam turbine channels and around the wing are discusses. The next part of the work includes discussion of presented numerical code efficiency and summary of the carried out numerical tests. The final part presents description of the designed experimental stands as an convenient and effective tool for creation of the measurement data for verification of the numerical method modeling of the flow with homogeneous and/or heterogeneous condensation.

16

Przeciek w problematyce badawczej niezawodności uszczelnień czołowych - cz. 2.

Boda A., Boda Ł.

Zagadnienia Eksploatacji Maszyn

|

2006

|

Vol. 41, nr 1

107-125

PL

Publikacja stanowi kontynuację części pierwszej i zawiera podstawy teoretyczne modelowania przecieku oraz propozycję planu modelowych badań stanowiskowych, których rezultaty, otrzymane w wyniku ich przeprowadzenia, pozwolą na dokonanie weryfikacji i ewentualnie modyfikacji wyprowadzonych wcześniej zależności teoretycznych. Poza mikro- i makrogeometrią strefy szczeliny uszczelnienia rozważono wpływ docisku, ruchu obrotowego wału, wibracji spowodowanych przemieszczaniem się mikronierówności względem siebie oraz osiowych drgań mechanicznych na natężenie przecieku. We wnioskach nakreślono kierunki dalszych badań niezawodności uszczelnień, rozpatrywanych w ujęciu termodynamicznym.

EN

In this article, which is a continuation of the first part, we present the theoretical principles of the modeling of leakage and the project of stand investigations. Their results allow to verify and eventually to modify the relations obtained ealier in a theoretical way. Apart the micro- and the macrogeometry of a slit in a seal it has been also considered the influence of holding down, rotary motion of a shaft, vibrations caused by relative displacements of microroughnesses and mechanical axial vibrations on the rate of leaking. In the conclusion there have been proposed the plans of further reliability investigations of seals, considered in the thermodynamic formulation.

17

Rozwiązanie dwuwymiarowego równania Naviera-Stokesa we współrzędnych zespolonych

Frąckowiak A.

Systems : journal of transdisciplinary systems science

|

2006

|

Vol. 11, nr 1

153-160

PL

W pracy przedstawione zostało równanie Naviera-Stokesa dla obszarów płaskich we współrzędnych zespolonych. Okazuje się, ze taka postać równania pozwala na nowo spojrzeć na konstrukcję jego rozwiazań. Używając zmiennych zespolonych, można równanie przekształcać za pomocą całki nieoznaczonej (względem zmiennej zespolonej), co umożliwia otrzymanie innych postaci rozwiazań równania Naviera-Stokesa. Pokazany w pracy schemat postępowania dla przypadku stacjonarnego, stanowi najprostszy przykład takiego rozwiązania. Przedstawione również zostały własności funkcji bazowych związane z tym rozwiązaniem oraz obliczenia dla przepływu płynu nieściśliwego w zagłębieniu prostokątnym.

18

Application of the influence matrix method for multi-domain solution of the Navier-Stokes equations

Kubacki S., Bogusławski A.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

|

2006

|

T. 27, z. 3/1

1015-1029

EN

The paper is devoted to application of the multi-domain algorithms based on the non-overlapping iterative domain decomposition method coupled with the influence matrix method for solution of the incompressible Navier-Stokes equations in vorticity-streamfunction formulation (omega-psi).

PL

Przedstawiono metodę zastosowania iteracyjnej dekompozycji obszaru obliczeniowego na podobszary nie pokrywające się w połączeniu z metodą macierzy wpływu do rozwiązania równań Naviera-Stokesa sformułowanych w postaci wirowość-funkcja prądu (omega-psi).

19

Przeciek w problematyce badawczej niezawodności uszczelnień czołowych - cz. 1.

Boda A., Boda Ł.

Zagadnienia Eksploatacji Maszyn

|

2005

|

Vol. 40, nr 3

73-88

PL

Uszczelnienia czołowe ruchowe spośród innych najpełniej sprawdzają się pod względem przydatności w zastosowaniach. Mały przeciek, odporność na zacieranie i zużywanie - to cechy użytkowe pożądane dla każdego uszczelnienia. Dla wybranego uszczelnienia czołowego, w stadium projektowania węzła konstrukcyjnego z jego udziałem, wyznaczenie aprioryczne liczbowych charakterystyk dla tych cech jest niezbędne z uwagi na wymóg określenia właściwych funkcji kryterialnych w procesie podejmowania decyzji optymalnych. W publikacji podano wskaźnik umożliwiający dokonanie oceny liczbowej niezawodności uszczelnienia czołowego, rozpatrywanej ze względu na przeciek i uwzględniającej zaistniałe wymuszenia eksploatacyjne. Koniecznością stało się zatem uprzednie wyznaczenie wzoru podającego wielkości fizyczne i zależności pomiędzy nimi, wpływające na natężenie przecieku. Publikację wyróżnia nowe spojrzenie w sformułowaniu problemu badawczego oraz oryginalność podejścia przy jego rozwiązywaniu.

EN

Motorial mechanical face seals, among the others, are realized the best considering their usefulness in applications. Small leakage, resistance to seizing and wearing away are the applied features required from each seal. An a priori determination of the numerical rates of these features for constructional pair containing selected face seal at stage of its design is necessary because of demand of making the optimal decisions. In this article the reliability rate is given, which enables to do the estimation of reliability of the face seal from aspect of its leakage in presence of the operating interactions. Therefore it is firstly necessary to determine the equation giving physical quantities and relations between them, which have an effect on intensity of leakage. In the article we present an original approach to formulating and solving this problem.

20

Method of lines for the incompressible Navier-Stokes equations in the stream-function formulation

Kosma Z.

TASK Quarterly : scientific bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk

|

2005

|

Vol. 9, No 1

17-35

EN

The aim of this paper is to simulate the laminar motion of viscous incompressible fluid and the transition between the laminar and the turbulent state in simply connected domains. The developed numerical algorithms are based on the solution of an initial-boundary value problem for the full incompressible Navier-Stokes equations, written in the form of a fourth-order equation for the stream function. The spatial derivatives and the boundary conditions are discretized on uniform grids by means of sixth-order compact schemes together with fourth-order finite-difference formulas, while the continuity of the time variable is preserved. The resulting system of ordinary differential equations has been integrated using the backward-differentiation predictor-corrector method. The efficiency of the numerical algorithms is demonstrated by solving two problems of viscous liquid plane flows in a square driven cavity and a backward-facing step. Calculations for the cavity flow configuration have been obtained for Reynolds numbers ranging from Re=100 to Re=30000 on uniform 50×50 and 100×100 grids. Calculations for the backward-facing step have been made for Re ≤ 3000 with channel lengths, L, within the range 10-30, on 30L×30 uniform grids. The computed stream-function contours and velocity fields have been compared with numerical results reported in the literature.