Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Moments of the weighted Cantor measures

Harding Steven N., Riasanovsky Alexander W. N.

Demonstratio Mathematica

|

2019

|

Vol. 52, nr 1

256--273

EN

Based on the seminal work of Hutchinson, we investigate properties of α-weighted Cantor measures whose support is a fractal contained in the unit interval. Here, α is a vector of nonnegative weights summing to 1, and the corresponding weighted Cantor measure μα is the unique Borel probability measure on [0, 1] satisfying [wzór] where φn : x ↦ (x+n)/N. In Sections 1 and 2 we examine several general properties of the measure μα and the associated Legendre polynomials in L2μα[0,1]. In Section 3, we (1) compute the Laplacian and moment generating function of μα, (2) characterize precisely when the moments Im = ∫[0,1]xmdμα exhibit either polynomial or exponential decay, and (3) describe an algorithm which estimates the firstmmoments within uniform error ε in O((loglog(1/ε))·m log m). We also state analogous results in the natural case where α is palindromic for the measure να attained by shifting μα to [−1/2,1/2].

2

The notion of connectedness in mathematical analysis of XIX century

Sinkevich G. I.

Czasopismo Techniczne. Nauki Podstawowe

|

2014

|

R. 111, z. 1-NP

195--209

EN

The notion of connectedness was introduced by Listing in 1847 and was further developed by Riemann, Jordan and Poincaré. The notion and rigorous definition of metric and topological space were formed in Frechet’s works in 1906, and in Hausdorff’s works in 1914. The notion of continuum could be traced back to antiquity, but its mathematical definition was formed in XIX century, in the works of Cantor and Dedekind, later of Hausdorff and Riesz. Karl Weierstrass (1815–1897) brought mathematical analysis to a rigorous form; also, the notions of future areas of mathematics – functional analysis and topology – were formed in his reasoning. Weierstrass’s works were not translated into Russian, and his lectures were not published even in Germany. In 1989, synopses of his lectures devoted to additional chapters of the theory of functions were published. Their material served as the basis for this article.

PL

Pojęcie spójności zostało wprowadzone w 1847 roku przez Listinga, a dalej zostało opracowane przez Riemanna, Jordana i Poincarégo. Pojęcie i rygorystyczna definicja przestrzeni metrycznej i topologicznej pojawiły się w pracach Frécheta w 1906 roku i Hausdorffa w 1914 roku. Pojęcie kontinuum sięga starożytności, ale jego matematyczna definicja powstała w XIX wieku, w pracach Cantora i Dedekinda, później Hausdorffa i Riesza. Karl Weierstrass (1815–1897) przedstawił analizę matematyczną w rygorystycznej formie; również pojęcia przyszłych dziedzin matematyki – analizy funkcjonalnej i topologii – zostały zapoczątkowane w jego rozumowaniu. Prace Weierstrassa nie zostały przetłumaczone na język rosyjski, a jego wykłady nie były publikowane nawet w Niemczech. W 1989 roku ukazały się streszczenia jego wykładów poświęconych dodatkowym rozdziałom teorii funkcji. Opublikowany w nich materiał jest podstawą tego artykułu.

3

Concepts of a number of C. Méray, E. Heine, G. Cantor, R. Dedekind and K. Weierstrass

Sinkevich G. I.

Czasopismo Techniczne. Nauki Podstawowe

|

2014

|

R. 111, z. 1-NP

211--223

EN

The article is devoted to the evolution of concept of a number in XVIII–XIX c. Ch. Méray’s, H. Heine’s, R. Dedekind`s, G. Cantor’s and K. Weierstrass`s constructions of a number are considered. Only original sources were used.

PL

Artykuł poświęcony jest rozwojowi koncepcji liczb w XVIII i XIX wieku. Rozważane są konstrukcje liczb Ch. Meraya, E. Heinego, G. Cantora, R. Dedekinda i K. Weierstrassa. W rozważaniach wykorzystano wyłącznie oryginalne źródła.