Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Intelligent enterprise capital control based on Markov chain

Andriushchenko Kateryna, Liezina Anastasiia, Lavruk Vitalii, Sliusareva Liudmyla, Rudevska Viktoriia

Acta Innovations

|

2022

|

no. 45

18--30

EN

This scientific work is devoted to the processes of creating technologies, as well as the use of their mathematical representation in the form of models in the context of the formation and development of the intellectual capital of an enterprise. To select a goal, a vision was formed to prove or refute any possibility of using Markov's theory in practice, namely the creation of a stochastic model of the intellectual capital of an enterprise in monetary terms, which manifests itself in investments in intangible assets. As an initial model hypothesis, the statement is accepted that investments in the enterprise's intangible assets are a factor in the transformation of intellectual capital into the company's value. Based on the results of applying the stochastic Markov chain model, the potential profit of the company's intangible assets was estimated, the main elements of which were intellectual capital assets during the study. A matrix of transition probabilities has been formed and modeling of the limiting probabilities of the system states has been implemented. The necessary conditions and boundaries of the scope of the mathematical model are also determined. The mathematical method of modeling the company's intellectual capital proposed in the article allows determining the contribution of each of the structural components to the formation of the value of the enterprises intellectual capital, thereby making it possible to establish a current balance between all its elements, which contributes to a comprehensive study of the company's intellectual assets.

2

On the alternative structures for a three-grade Markov manpower system

Amenaghawon Vincent A., Ekhosuehi Virtue U., Osagiede Augustine A.

Journal of Mathematics and Applications

|

2020

|

Vol. 43

5--17

EN

This paper considers a manpower system modelled within the Markov chain context under the condition that recruitment is doneto replace outgoing flows. The paper takes up the embeddability problem in a three-grade manpower system and examines it from the standpoint of generating function (i.e., the z-transform of stochastic matrices). The method constructs a stochastic matrix that is made up of a limiting-state probability matrix and a partial sum of transient matrices. Examples areprovided to illustrate the utility of the method.

3

Large deviations for longest runs in Markov chains

Liu Zhenxia, Zhu Yurong

Journal of Applied Analysis

|

2020

|

Vol. 26, nr 2

309--314

EN

We continue our investigation on general large deviation principles (LDPs) for longest runs. Previously, a general LDP for the longest success run in a sequence of independent Bernoulli trails was derived in [Z. Liu and X. Yang, A general large deviation principle for longest runs, Statist. Probab. Lett. 110 (2016), 128-132]. In the present note, we establish a general LDP for the longest success run in a two-state (success or failure) Markov chain which recovers the previous result in the aforementioned paper. The main new ingredient is to implement suitable estimates of the distribution function of the longest success run recently established in [Z. Liu and X. Yang, On the longest runs in Markov chains, Probab. Math. Statist. 38 (2018), no. 2, 407-428].

4

Riverbed armoring and sediment exchange process in a sand–gravel bed reach after the Three Gorges Project operation

Li Linlin, Xia Junqiang, Zhou Meirong, Deng Shanshan

Acta Geophysica

|

2020

|

Vol. 68, no. 1

243--252

EN

Upstream damming greatly altered the fow and sediment regime entering downstream reaches in the Middle Yangtze River, and the bed material in a sand–gravel bed reach coarsened continuously, which had a signifcant infuence on the sediment transport and bed evolution. In order to study the riverbed armoring, the sediment exchange process (SEP) among bed material, bed load and suspended load in a sand–gravel bed river is frstly clarifed, and then, the three-state transition probability model (Markov chain) is proposed in this study, with the hiding-exposure efect of non-uniform sediment being considered. Finally, the equilibrium equation of sediment quantity in an active layer is presented to calculate the grain size distribution of bed material. In this model, the infuences of fow and sediment conditions, riverbed erosion and deposition on the SEP are discussed. The results show that the composition of surface bed material at the Zhicheng station became obviously coarse, and the median grain size (d50) of surface bed material increased from 0.230 to 0.424 mm in 2003–2017, with an upward increasing trend. The proposed probabilistic model was validated against feld measurements of bed material, and calculated results show reasonable agreement with the measured data at Zhicheng. Accordingly, the probabilistic model can be used to predict the riverbed armoring and to investigate the non-equilibrium transport of non-uniform sediment in a sand–gravel bed river.

5

Innovative advantages ranking : a new approach

Gogodze Joseph

Operations Research and Decisions

|

2019

|

Vol. 29, No. 1

5--15

EN

Assessing/ranking the innovative advantages of countries is a problem of current interest. However, the set of tools used for this purpose are very narrow and often prone to criticism. The aim of this study is to somewhat extend the arsenal of methods used to this end. For this purpose, based on a data set from the Global Innovation Index, this study develops a special multi-objective decision-making problem, the aim of which is to identify the “best countries” in the sense of their innovative advantage. Moreover, applying ranking methods (in our case the Markov-chain method and analytic hierarchy process) to this multi-objective decision-making problem, we obtain new alternative ratings/rankings of the innovative advantages of countries.

6

The use of Markov chains of kth row in computer management of transport in a supply chain

Topolski M.

Archives of Transport System Telematics

|

2017

|

Vol. 10, iss. 4

47--51

EN

At present a supply chain poses quite a challenge. The paper presents one the methods supporting decision makers in a supply chain, namely a Markov chain of kth row. This theory constitutes an important part of the law of probability and it is also associated with soft calculation methods e.g. fuzzy sets. It may be applied in numerous fields e.g. physics, genetics, meteorology and technical disciplines. The Markov chain method may be used when assumptions about independence of events and random variables cannot be made. Thanks to this method social-economic phenomena may be predicted. These characteristics made the author attempt to create a model based on the Markov chains of kth row in a supply chain. The focus was on sales planning accounting for safety stocks planning and various characteristic of this supply chain.

7

Mathematical methods in algorithm for websites positioning

Adrianowicz K., Nowak I.

Silesian Journal of Pure and Applied Mathematics

|

2016

|

Vol. 6, iss. 1

137--153

EN

Nowadays it is more and more common to treat the Internet as one of the ﬁrst sources of information. Given key words, diﬀerent types of web search engines generate a list of websites ranked by priority (theoretically corresponding to the query). The page position on the list depends on many factors. The method presented herein is a version of a PageRank algorithm introduced by Google to designate one of them. The PageRank algorithm ranks a webpage, depending on the number and quality of links leading to it and thus determines its position on the list. In its simplest version, the method can operate using just the basic operations on matrices. This paper presents also the more advanced version based on probabilistic approach.

8

Analyses and measurements of hardware generated random binary sequences modeled as Markov chains

Leśniewicz M.

Przegląd Elektrotechniczny

|

2016

|

R. 92, nr 11

268--274

EN

The paper presents a new approach to modelling of binary random sequences, where versatile models that reflect properties of these sequences are revealed and discussed. In particular, the analysis covers the problems of stationarity and ergodicity of random sequences, the forms of their multi-dimensional distributions of probability and the essence of their isomorphism. The theoretical analyzes have been verified by measuring experiments.

PL

W artykule przedstawiono nowe podejście do modelowania losowych ciągów binarnych. Wszechstronnie przeanalizowano problemy ich stacjonarności i ergodyczności, postaci wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństw i istotę izomorfizmu. Analizy teoretyczne zostały potwierdzone doświadczalnie.

9

Leader election : A Markov chain approach

Grübel R., Hagemann K.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

113--134

EN

A well-studied randomized election algorithm proceeds as follows: In each round the remaining candidates each toss a coin and leave the competition if they obtain heads. Of interest is the number of rounds required and the number of winners, both related to maxima of geometric random samples, as well as the number of remaining participants as a function of the number of rounds. We introduce two related Markov chains and use ideas and methods from discrete potential theory to analyse the respective asymptotic behaviour as the initial number of participants grows. One of the tools used is the approach via the Rényi-Sukhatme representation of exponential order statistics, which was first used in the leader election context by Bruss and Grübel in [BG03].

PL

W artykule przywołany jest dobrze znany i szczegółowo zbadany następujący algorytm losowego wyboru lidera. W kolejnych krokach każdy kandydat rzuca monetą. Jeśli wyrzuci orła, to kończy eliminację (nie przechodzi do następnej tury). Interesuje nas liczba rund do wyłonienia lidera bądź liczba pozostałych kandydatów w powiązaniu z maksimum ciągu zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym. Również wyznaczamy rozkład liczby pozostałych kandydatów jako funkcji liczby tur. W celu odpowiedzi na postawione pytania konstruowane są dwa powiązane ze sobą łańcuchy Markowa. Wykorzystując metody teorii potencjału badana jest asymptotyka przy rosnącej początkowej liczbie kandydatów. Jednym z wykorzystywanych narzędzi jest reprezentacja Rényi-Sukhatme dla statystyk porządkowych rozkładu wykładniczego, która została po raz pierwszy użyta do zagadnienia wyborów lidera przez Brussa i Grübela w [BG03].

10

On effective algorithms solving regularity of Markov chains

Dańko A., Sawicka A., Dańko W.

Advances in Computer Science Research

|

2016

|

Nr 13

5--25

EN

We propose algorithms deciding whether a Markov chain with an n_n transition matrix M is regular. The lowest complexity of such an algorithm can be not greater than O(n 3 ) and we argue that it cannot be essentially diminished.

PL

W pracy proponujemy algorytmy rozstrzygające regularność łańcuchów Markowa o macierzy przejść rozmiaru n x n. Najniższa złożoność takiego algorytmu może być nie większa niż O(n 3 i podana jest argumentacja, że nie można jej istotnie obniżyć.

11

Reliability Analysis Method of safety-critical avionics system based on Dynamic Fault Tree under Fuzzy Uncertainty

Tu J., Cheng R., Tao Q.

Eksploatacja i Niezawodność

|

2015

|

Vol. 17, no. 1

156--163

EN

A safety-critical avionics system has to qualify the performance related requirements and the safety-related requirements simultaneously. This paper presents a comprehensive study on the reliability analysis method for safety-critical avionics system by using dynamic fault tree approach based on Markov chain. The reliability models were constructed applying dynamic fault tree (DFT) modeling method according to deeply analysis of the typical failure modes, causes and influence of the safety-critical avionics system by considering the aspect of repairable feature and redundancy. Taking into account the both failure phenomenon of safetycritical avionics system and many uncertainties exist in the fault status and fault reasons, fuzzy sets theory is introduced into dynamic fault tree method. Specifically, it adopts expert elicitation and fuzzy set theory to evaluate the failure rates of the basic events for safety-critical avionics system. Furthermore, the fuzzy dynamic fault tree analysis method for safety-critical avionics system based on the consecutive parameter Markov chain is proposed. The modularization design was utilized to divide the dynamic fault trees into static and dynamic sub-trees. The static tree was solved by binary decision diagram (BDD) and the dynamic tree was solved by Markov chain method. The results show that the proposed method is more flexible and adaptive than conventional fault tree analysis for fault diagnosis and reliability estimation of safety-critical avionics system.

PL

Krytyczne dla bezpieczeństwa układy elektroniki lotniczej (awioniki) muszą jednocześnie spełniać zarówno wymogi eksploatacyjne jak i wymagania związane z bezpieczeństwem. W niniejszej pracy przedstawiono kompleksowe opracowanie dotyczące metody analizy niezawodności krytycznych dla bezpieczeństwa systemów awioniki wykorzystującej opartą na łańcuchu Markowa metodę dynamicznego drzewa błędów. Modele niezawodności konstruowano z zastosowaniem metody dynamicznego drzewa błędów zgodnie z przeprowadzoną dokładną analizą typowych przyczyn uszkodzeń oraz czynników wpływających na systemy elektroniki lotniczej, z uwzględnieniem aspektu naprawialności i nadmiarowości. Biorąc pod uwagę, że zarówno ze zjawiskiem uszkodzenia krytycznego dla bezpieczeństwa systemu awioniki jak i ze stanem awarii i przyczynami błędów wiąże się wiele niepewności, metodę dynamicznego drzewa błędów poszerzono o teorię zbiorów rozmytych. W szczególności, zaproponowana metoda wykorzystuje ocenę ekspercką oraz teorię zbiorów rozmytych do oceny intensywności uszkodzeń dla podstawowych zdarzeń zachodzących w krytycznych dla bezpieczeństwa systemach elektroniki lotniczej. Ponadto zaproponowano metodę analizy krytycznych dla bezpieczeństwa systemów awioniki wykorzystującą teorię rozmytych dynamicznych drzew błędów opartą na markowowskim łańcuchu następujących po sobie parametrów. Budowę modułową wykorzystano do podziału dynamicznych drzew błędów na poddrzewa statyczne i dynamiczne. Drzewa statyczne rozwiązywano za pomocą binarnego schematu decyzyjnego (BDD) a drzewa dynamiczne – metodą łańcuchów Markowa. Wyniki pokazują, że proponowana metoda diagnozowania błędów i oceny niezawodności krytycznych dla bezpieczeństwa systemów elektroniki lotniczej jest bardziej elastyczna i łatwiejsza do adaptacji niż konwencjonalna analiza drzewa błędów.

12

Properties of a Finite Stochastic Cellular Automaton Toy Model of Earthquakes

Białecki M.

Acta Geophysica

|

2015

|

Vol. 63, no. 4

923--956

EN

Finite version of Random Domino Automaton - a recently proposed toy model of earthquakes - is investigated in detail. Respective set of equations describing stationary state of the FRDA is derived and compared with infinite case. It is shown that for a system of large size, these equations are coincident with RDA equations. We demonstrate a non-existence of exact equations for size N ≥ 5 and propose appropriate approximations, the quality of which is studied in examples obtained within the framework of Markov chains. We derive several exact formulas describing properties of the automaton, including time aspects. In particular, a way to achieve a quasi-periodic like behaviour of RDA is presented. Thus, based on the same microscopic rule - which produces exponential and inverse-power like distributions - we extend applicability of the model to quasi-periodic phenomena.

13

On Mechanistic Explanation of the Shape of the Universal Curve of Earthquake Recurrence Time Distributions

Białecki M.

Acta Geophysica

|

2015

|

Vol. 63, no. 5

1205--1215

EN

This paper outlines an idea for an explanation of a mechanism underlying the shape of the universal curve of the Earthquake Recurrence Time Distributions. The proposed simple stochastic cellular automaton model is reproducing the gamma distribution fit with the proper value of parameter γ characterizing the Earth’s seismicity and also imitates a deviation from the fit at short interevent times, as observed in real data. Thus the model suggests an explanation of the universal pattern of rescaled Earthquake Recurrence Time Distributions in terms of combinatorial rules for accumulation and abrupt release of seismic energy.

14

Expected Entropy as a Measure and Criterion of Randomness of Binary Sequences

Leśniewicz M.

Przegląd Elektrotechniczny

|

2014

|

R. 90, nr 1

42--46

EN

We present a new approach to modelling binary random sequences. We introduce a new concept of expected entropy which enables to explain us the problem that in practice the sample entropy never achieves its limit values. We show how to use the expected entropy to estimate the randomness of physically generated binary random sequences. Our theoretical analysis have been verified experimentally.

PL

Przedstawiamy nowe podejście do modelowania losowych ciągów binarnych. Wprowadzamy nowe pojęcie entropii oczekiwanej, które pozwala wyjaśnić, dlaczego entropia prób ciągów nigdy nie osiąga wartości granicznej. Pokazujemy, jak wykorzystać entropię oczekiwaną do oszacowania losowości ciągów losowych generowanych sprzętowo. Nasze analizy teoretyczne zostały potwierdzone doświadczalnie.

15

Badanie i analiza zmiany stanów jakościowych działania systemu transportowego

Muślewski Ł., Knopik L.

Logistyka

|

2014

|

nr 3

4524--4530

PL

Rozważania w niniejszym opracowaniu dotyczą problematyki oceny, analizy i zapewnienia odpowiedniej jakości działania systemów transportowych. Zidentyfikowano obiekt badań, którym jest rzeczywisty system transportu miejskiego. Zdefiniowano pojęcie jakości działania systemu, zaprezentowano schemat modelu ocenowego oraz opisano proces losowy, na podstawie którego dokonuje się jego oceny. W wyniku zrealizowanych badań eksploatacyjnych, wyróżniono cztery stany jakościowe działania systemu, odwzorowujących przedziały wartości otrzymanych ocen w danych chwilach czasu. W pracy rozważa się model zmian stanów jakościowych działania systemu oparty o łańcuch Markowa, włożony w pewien proces semi- Markowa. Zbudowano graf oraz macierz prawdopodobieństw przejść między stanami i na podstawie danych eksploatacyjnych, wyznaczono rozkłady graniczne dla tego procesu. Wyznaczono układ równań dla włożonego łańcucha Markowa, na podstawie którego zbudowany zostanie matematyczny model oceny i sterowania jakością działania wybranych typów systemów transportowych.

EN

The study deals with the problems connected with evaluation and analysis of transportation systems operation in order to provide them with appropriate operation quality. The research object has been identified as a real municipal transportation system. The notion of the system operation quality has been defined, a scheme of an assessment model and the random process on the basis of which the assessment is performed have been presented. In result of experimental tests, there have been presented four qualitative states of the system operation, reflecting the intervals of values and notes received in given time moments. A model of a system operation qualitative state changes, based on Markov chain, has been considered in this paper. A system of equations has been determined for a distinguished Markov chain on the basis of which a mathematical model for assessment and control of selected types of transportation systems will be developed.

16

Modelowanie parametrów wytrzymałościowych kompozytów włóknistych z uwzględnieniem teorii łańcuchów Markowa

Chatys R.

Przetwórstwo Tworzyw

|

2012

|

[R.] 18, nr 3

169-173

PL

W poniższej pracy opisano zastosowanie modelu matematycznego bazującego na teorii łańcuchów Markowa (MM) do szacowania parametrów wytrzymałościowych. Zapewnia to, z pozycji zunifikowanej, narzędzie do skoordynowanego opisu wytrzymałości statycznej, życia zmęczeniowego, do oceny wytrzymałości resztkowej i pozostałego życia zmęczeniowego po wstępnym obciążaniu zmęczeniowym. Nie można stwierdzić, że problem już rozwiązano, ale poprzez analizę konkretnego przykładu numerycznego pokazano, że model zasługuje na wnikliwe przestudiowanie, a rozwinięcie tego modelu może być sensowne. W tym artykule wykorzystano eksperymentalne dane kompozytu formowanego metodą infuzji o osnowie poliestrowej (AROPOL 605) wzmocnionej tkaniną szklaną biaxial [0/90]2 typu E firmy Kuempers HPT o gramaturze 600 g/m2. Pokazano, że model MM daje relatywnie dobre wyniki.

EN

The paper discusses the application of a mathematical model based on the Markov chains theory (Mch) to estimate strength parameters. This model is a tool for the coordinated determination of static strength and fatigue life and for the estimation of residual strength and life after initial fatigue load. The problem has not been solved completely but by analyzing a certain numerical example we show that the model requires further examination and its development may be justified. In this study, we use experimental data concerning a composite fabricated by the infusion method with a polyester matrix (AROPOL 605) reinforced with an E-type biaxial fiberglass fabric [0/90]2 produced by Kuempers HPT with a basis weight of 600 g/m2. The paper shows that the model provides relatively good results.

17

Modelling the idle movements of human head in three-dimensional virtual environments

Kocoń M., Emirsajłow Z.

Pomiary Automatyka Kontrola

|

2012

|

R. 58, nr 12

1121-1123

EN

In this paper an approach for head motion synthesis for avatars is presented. The proposed technique utilizes the data extracted in the video sequences analysis process, probability transitions model of movement states and an illustrative 3D head model. The main task is to describe the subtle head movements when a virtual person is waiting for a reaction from the environment. This technique can increase the level of realism while performing human-computer interactions.

PL

Nasilenie zainteresowania intuicyjną komunikacją między ludźmi i maszynami spowodowało wzrost popularności odwzorowania naturalnego ruchu człowieka w wirtualnych systemach humanoidalnych [4]. Powszechnie stosowane metody animacji znajdują zastosowanie w graficznych interfejsach, tym samym wpływając na poprawę interakcji między użytkownikiem a maszyną. Nieodłącznym elementem ruchu twarzy jest ruch głowy [3], warto zwrócić uwagę, że tak jak ekspresje twarzy, dostarcza informacji na temat stanu emocjonalnego człowieka. Mając na uwadze powyższe aspekty, w pracy zaprezentowano sposób automatycznej syntezy ruchu głowy na przykładzie trójwymiarowego, geometrycznego modelu głowy człowieka (rys. 4b). Prezentowana technika wymaga stworzenia bazy sekwencji wideo, z których w procesie analizy pozyskuje się dane wykorzystywane do stworzenia łańcucha Markowa opisującego sekwencje zmian (rys. 2). W celu uzyskania ruchu modelu stworzono prostą konfigurację niedeformowalnych obiektów (rys. 4a), które przypisano do siatki modelu. Ruch jest generowany za pomocą zaproponowanego algorytmu (alg. 2) z wykorzystaniem próbkowania z odrzucaniem [16]. Na rysunku 3 zaprezentowano przykładową animację sekwencji uzyskanych ruchów wirtualnej głowy w trybie oczekiwania. Głównym celem prowadzonych działań było stworzenie opisu ruchu głowy w sytuacji kiedy awatar oczekuje na reakcję z otoczenia. Proponowany w artykule mechanizm może zostać wykorzystany do zwiększenia stopnia realizmu animacji w systemach HCI.

18

Metoda wyznaczania średniego czasu dojścia do stanu pochłaniającego jednorodnego łańcucha Markowa

Kwiatkowski W.

Biuletyn Instytutu Automatyki i Robotyki

|

2012

|

R. 18, nr 33

3-15

PL

Rozpatrywany jest jednorodny łańcuch Markowa o wielu stanach pochłaniających. Przedstawiona jest metoda wyznaczania średniego czasu dojścia do wybranego stanu pochłaniającego. Metoda oparta jest na rozszerzeniu zadanego łańcucha Markowa o nowe stany. Dla łańcucha rozszerzonego definiowana jest funkcja wypłat towarzysząca tranzycjom. Szczególne podejście do analitycznego rozwiązania problemu związane jest z zależnością wypłaty nie tylko od tranzycji, ale także od czasu. Rozpatrywane w artykule zadanie pojawia się przy projektowaniu interfejsów, protokołów, planowania etapowych przedsięwzięć o charakterze transportowym, produkcyjnym itp.

EN

A homogeneous Markov chain with many absorbing states is considered. A method to obtain an average time to reach a selected absorbing state is presented. The method is based on an extension of the given Markov chain with new states. For the extended Markov chain a reward function associated with transitions is defined. A particular approach to the analytical solution of the problem is based on the dependence of rewards not only on transitions, but also on time. The task considered in this paper emerges during the design of interfaces, protocols, planning of staged transport or production projects etc.

19

Łańcuch Markowa jako model oddziaływań wyjątkowych

Pytlowany T.

Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Budownictwo i Inżynieria Środowiska

|

2011

|

z. 58, nr 3/III

49-56

PL

W pracy przedstawiono krótki przegląd modeli probabilistycznych oddziaływań zmiennych, głównie klimatycznych oraz możliwości i konsekwencje wykorzystania modeli w postaci procesów stochastycznych Markowa. Jako podstawowy model przyjęto jednorodny łańcuch Markowa. Zawiera on kompletną informację dotyczącą częstości występowania poszczególnych stanów. Generując błądzenie losowe po stanach łańcucha obciążeń, można prognozować wartości okresu powrotu oddziaływań i oszacować wartości wystąpienia obciążeń ekstremalnych. Przedstawiony model wykorzystano do symulacji losowych stanów łańcucha Markowa opisującego obciążenie śniegiem gruntu. Szczególnie uwagę skupiono na obciążeniach, które odpowiadają obciążeniom charakterystycznym dla danej lokalizacji oraz tych, które przewyższają wartość obciążenia charakterystycznego. Uzyskane wyniki porównano ze standardowym modelem Gumbela, który jest powszechnie stosowany do estymacji parametrów rozkładów oddziaływań klimatycznych na konstrukcje budowlane.

EN

The paper presents issues related to loads of climate actions. An assessment of the possibilities and consequences of using the stochastic Markov chain model to predict return time T of climate actions was presented. Moreover, the author presents a model to estimate the limits of exceptional probability (extreme) of snow load S in subsequent cycles of discrete sampling which generates some random walk on the states of the stochastic chain load. Simulations of the chain states were shown in an example of four zones of snow load.

20

A stochastic graph as a specific tool of mathematization and argumentation

Krech I.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2011

|

Vol. 16

245--248

EN

The article presents a stochastic graph as a tool enabling us to show the equality of the event probability without calculating the probability as such. A very important factor here is that the discussed events come from different probabilistic spaces being models of specific Markov chains.