Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 2

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

Metody analizy numerycznej w badaniach zbiorów osiągalnych układów dynamicznych

Respondek J.S.

Studia Informatica

2011

Vol. 32, nr 4C

3-123

Przedmiotem rozprawy jest wprowadzenie metod numerycznych do zagadnień dotyczących jakościowych własności układów dynamicznych, które dotychczas były przedmiotem rozważań jedynie na drodze czysto analitycznej. W rozprawie wykorzystano zarówno klasyczne metody numeryczne znane z literatury (jak metoda prostych wykorzystana do dyskretyzacji równania różniczkowego cząstkowego w rozdziale 7), jak i wprowadzono zupełnie nowe algorytmy służące numerycznemu rozwiązaniu wybranej klasy równań diofantycznych, obliczaniu wielomianów symetrycznych podstawowych oraz odwracaniu konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Rozdział 1 jest wprowadzeniem do rozprawy. Przedstawiono w nim opracowania Komitetu Informatyki PAN, określające analizę numeryczną jako dyscyplinę w dziedzinie informatyki. Następnie sformułowano cel rozprawy. Rozdział kończy przegląd problemów niniejszej rozprawy. Rozdział 2 jest poświęcony znalezieniu algorytmu rozwiązującego pewną klasę równań diofantycznych. Równanie będące przedmiotem analizy modeluje problem znajdywania n-tek liczb naturalnych, generujących równe sumy kwadratów liczb całkowitych w kombinacji liniowej o dodatnich współczynnikach. Podzbiór liczb naturalnych, w którym poszukujemy rozwiązań równania, jest ograniczony odgórnie przez daną stałą Na początku rozdziału 2 przypomniano najważniejsze z pojęć analizy algorytmów (złożoność obliczeniowa) oraz teorii błędów (błędy zaokrągleń) koniecznych do analizy własności uzyskanego w rozdziale algorytmu, rozwiązującego rozważane równanie diofantyczne. Zasadniczą częścią rozdziału jest poszukiwanie oraz optymalizacja odpowiedniego algorytmu. Ważną częścią rozdziału jest eliminacja rozwiązań symetrycznych równania diofantycznego, tj. takich, w których występuje ta sama para n-tek, ale zamienionych stronami. Rozważania dopełnia treść algorytmu w pseudokodzie, wyznaczenie jego złożoności czasowej oraz analiza błędów obliczeń. Oprócz tego w rozdziale pokazano, jak wprowadzony algorytm wykorzystać do określenia krotności n-tek, generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. Znalazło to zastosowanie w kolejnych rozdziałach rozprawy. Działanie algorytmu pokazano na przykładzie liczbowym, przedstawiając w tabeli wszystkie kolejne wartości zmiennych roboczych algorytmu oraz odpowiadających im rozwiązań. Rozdział kończy praktyczny test efektywności obliczeniowej algorytmu, przedstawiony w postaci wykresu obrazującego czasy jego wykonania w funkcji górnego ograniczenia dziedziny równania. W rozdziale 3 przedstawiono zastosowanie algorytmu rozwiązywania równania diofantycznego do analizy zbiorów osiągalnych układu dynamicznego o parametrach rozłożonych, danego równaniem różniczkowym cząstkowym typu parabolicznego. Rozważono zerowe warunki brzegowe typu Dirichleta oraz dziedzinę równania w postaci n-wymiarowego wielościanu. Jak wykazano, wartości własne operatora różniczkowego Laplace'a, występującego w badanym równaniu, są proporcjonalne do stron rozwiązywanego w rozdziale 2 równania diofantycznego. Dzięki temu jest możliwe wyznaczenie ich krotności na podstawie algorytmu z rozdziału 2. W rozdziale 3 przedstawiono model matematyczny rozważanego układu parabolicznego, zdefiniowano odpowiednie operatory: różniczkowy stanu oraz macierzowy wejścia i wykonano dekompozycję spektralną układu. W ten sposób wyjściowy układ nieskończenie wymiarowy zastąpiono równoważnym nieskończonym ciągiem układów skończenie wymiarowych, który stanowił punkt wyjścia do dalszych badań. Następnie zbudowano algorytm numeryczny, służący badaniu zbiorów osiągalnych rozważanego układu dynamicznego. Wykorzystano w nim algorytm rozwiązywania równań diofantycznych z rozdziału 2. Na zakończenie wyznaczono zbiory osiągalne dla konkretnego przykładu układu dynamicznego. Rozdział 4 jest poświęcony zbudowaniu efektywnego algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Wielomiany te pozwalają na obliczenie współczynników występujących przy kolejnych potęgach argumentu wielomianu. Ponadto, znajdują one zastosowanie w konstrukcji algorytmu odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. W rozdziale 5 skonstruowano algorytm odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Ich budowa różni się od klasycznej postaci macierzy Vandermonde'a tym, że w kolumnach konfluentnej macierzy Vandermonde'a, oprócz kolejnych potęg różnych pierwiastków, znajdują się pochodne tychże kolumn. W konstrukcji algorytmu korzysta się z przedstawionego w poprzednim rozdziale algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Sam algorytm znajduje zastosowanie w analizie własności liniowych układów dynamicznych o dowolnym stopniu pochodnych względem czasu, czemu poświęcono kolejny rozdział. W rozdziale 6 zastosowano algorytm obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych oraz algorytm odwracania uogólnionych macierzy Vandermonde'a w analizie wybranych własności układów dynamicznych. Jako badaną własność obrano kilka rodzajów sterowalności. Główną innowacją rozdziału jest przeprowadzenie badań dla dowolnego, n-tego stopnia badanego układu dynamicznego względem czasu. Ponadto, udowodnione kryteria stosuje się do najogólniejszej postaci rozważanego układu, o dowolnej krotności każdej z wartości własnych jego równania charakterystycznego. Uzyskanie tak ogólnych wyników było możliwe dzięki zastosowaniu wyżej wymienionych algorytmów. Na koniec rozdziału zastosowano uzyskane w rozdziale wyniki do analizy własności elastycznej belki. Rozdział 7 zajmuje się numerycznym wyznaczaniem zbiorów osiągalnych układów dynamicznych, modelowanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych typu parabolicznego. Główną innowacją przeprowadzonych badań jest założonie realistycznych, obustronnych (tj. odgórnych i oddolnych) ograniczeń funkcji wymuszającej. Najpierw zdyskretyzowano analizowane równanie różniczkowe cząstkowe za pomocą metody numerycznej prostych. Następnie wyznaczono funkcję podporową układu oraz spektrum macierzy stanu oraz zastosowano do nich odpowiednie kryterium wyznaczania zbiorów osiągalnych przy ograniczonej funkcji wymuszającej. Uzyskany wynik zilustrowano kilkoma wykresami dla dwóch konkretnych postaci funkcji wymuszających. Należy podkreślić, że główna innowacja rozdziału, tj. wykonane badania zbiorów osiągalnych przy realistycznych ograniczeniach na funkcję wymuszającą była możliwa dzięki zastosowaniu odpowiednio dobranej metody numerycznej rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Rozdział stanowi ilustrację połączenia w całość metod numerycznych i klasycznych wyników analitycznych, prowadzących do nowych, bardziej realistycznych wyników w nauce. Rozdział 8 stanowi podsumowanie rezultatów przedstawionych w niniejszej rozprawie.

The objective of this book is introducing numerical methods into issues pertaining the qualitative dynamical systems properties, which so far have been analyzed only by purely analytical methods. In the book we used classical numerical methods known from literature (i.e. the line method used for the discretization of the partial differential equation in chapter 7) and introduced new algorithms, designed for numerical solving of a selected class of the diophantine equations, elementary symmetrical polynomials calculation and the confluent Vandermonde matrices inversion calculating. Chapter 1 contains the introduction to the book. It features the works of the Computer Science Committee of the Polish Academy of Sciences defining the numerical analysis as a part of the computer science discipline. Next, the objective of the book is formulated. The chapter is finalized by the survey of the issues of the book. Chapter 2 is devoted to finding an algorithm for solving a certain class of diophantine equations. The analyzed equation models the problem of finding the n-ths which generate equal sums of the squares of the integer numbers in the linear combination with positive coefficients. The subset of natural numbers, in which we are looking for solutions, is constrained to a given maximum number. At the beginning of chapter 2 we referred to the basie notions of the algorithms analysis (computational complexity) and the errors theory (rounding errors) necessary in the analysis of equation properties presented in the chapter, solving the considered diophantine equation. The main part of the chapter is searching for and optimization of the proper algorithm. A separate item is devoted to the elimination of symmetrical solutions, i.e. solutions with the same couple of n-ths but with swapped sides. Those calculations are followed by the code of the algorithm, calculation complexity determination and computational errors analysis. Additionally, in this chapter we showed how the application of the presented algorithm is used to calculate the multiplicities of the n-ths which generate equal sums of the squares in the linear combination. We showed the operation of the algorithm on a particular example, i.e. placing in the table all values of the loops working variables and solutions in the sequence corresponding with those variables. The chapter is completed by the computational effectiveness test presented in the form of a graph. The graph shows the times of the algorithm execution in the dependency of the upper constraint of the equation domain. In chapter 3 we presented the application of the diophantine equation solving algorithm in the attainable sets analysis of a distributed parameter dynamical system, described by a parabolic-type partial differential equation. We considered the zero Dirichlet-type boundary condition and n-dimensional rectangular prism equation domain. We showed that the eigenvalues of the Laplace differential operator, existing in the analyzed equation, are proportional to the sides of the diophantine equation, solved in chapter 2. This way, one can calculate the multiplicities with the use of the algorithm presented in chapter 2. In chapter 3 we presented a mathematical model of the considered parabolic system, defined the proper state differential operator and matrix input operator, and performed the spectral decomposition of the system. Thus we have the infinite dimensional system in the corresponding form of the infinite series of finite dimensional systems, convenient for further analysis. Next, we constructed the numerical algorithm for the attainable sets analysis of the dynamical system in question. In that algorithm we made use of the algorithm presented in chapter 2. Finally, we calculated the attainable sets for the particular dynamical system. Chapter 4 devoted to building the effective elementary symmetrical polynomials calculation algorithm building. Those polynomials enable to calculate the subsequent powers polynomial argument coefficients. Moreover, they are used in the construction of the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm. In chapter 5 we constructed the confluent Vandermonde matrices inverse calculation algorithm. Their structure differs from the classical Vandermonde matrix, as in the columns of the confluent Vandermonde matrix, apart from the subsequent powers of the different roots, there are also their derivatives. In the construction of the algorithm we made use of the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm, presented in the previous chapter. The constructed algorithm can be applied in the analysis of the arbitrary order with respect to time derivatives dynamical system. Next chapter is devoted to that issue. In chapter 6 we applied the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm as well as the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm to the research of the selected dynamical systems properties. For the investigated property we chose a few kinds of controllability. The main innovation of the chapter is that the research results hold true for the arbitrary order with respect to time derivatives. Moreover, the given criteria pertain to the most general form of the analyzed system, with arbitrary characteristic equation eigeiwalues multiplicities. Deriving such general results was possible thanks to the above described algorithms. At the end of the chapter we showed how to use the obtained results in the elastic beam properties analysis. In chapter 7 we performed a numerical analysis of the dynamical systems attainable sets, modeled by the parabolic-type partial differential equations. The main innovation of the performed research is taking into account realistic, both-side (i.e. upper and lower) constraints of the excitation function. First, we discretized the analyzed partial differential equation by means of the line numerical method. Next, the support function and the spectrum of the state matrix were derived and the attainable sets determination criterion with constrained excitation function was applied. The received outcome was illustrated by two graphs for two particular cases of the excitation function. It should be pointed out that the main innovation of the chapter, i.e. performed attainable sets research considering realistic excitation function constraints, was received thanks to the use of a precisely selected numerical method of the partial differential equations solving. The chapter can be an illustration for combining the numerical methods and classical analytical results, leading to new, more realistic outcomes in science. Chapter 8 is the summary of the book results.

Approximate controllability of infinite dimensional systems of the n-th order

Respondek J. S.

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

2008

Vol. 18, no 2

199-212

The objective of the article is to obtain general conditions for several types of controllability at once for an abstract differential equation of arbitrary order, instead of conditions for a fixed order equation. This innovative approach was possible owing to analyzing the n-th order linear system in the Frobenius form which generates a Jordan transition matrix of the Vandermonde form. We extensively used the fact that the knowledge of the inverse of a Jordan transition matrix enables us to directly verify the controllability by Chen’s theorem. We used the explicit analytical form of the inverse Vandermonde matrix. This enabled us to obtain more general conditions for different types of controllability for infinite dimensional systems than the conditions existing in the literature so far. The methods introduced can be easily adapted to the analysis of other dynamic properties of the systems considered.