The paper deals with parametric vibrations of asymmetric shaft subjected to constant lateral force. As an example of asymmetry, a uniform shaft of rectangular cross section is chosen. During rotation of such a shaft its bending stiffness with respect to fixed coordinate system varies with time which leads to vibrations. In order to avoid solving differential equation with time- -dependent coefficient, the motion of the shaft is calculated in the co-rotating coordinate system and then the solution is transformed to the fixed coordinate system by means of simple kinematic relationships. Discrete and continuous undamped models of the vibrating system are considered under assumption that the rotational speed of the shaft is constant. It is shown that the geometric centers of the cross sections of the shaft perform circular motions in the planes perpendicular to the bearing axis so that the shaft is whirling with the frequency twice as high as its angular velocity.
PL
Artykuł dotyczy parametrycznych drgań asymetrycznego wału obciążonego stałą siłą poprzeczną. Jako przykład asymetrii przyjęto pryzmatyczny wał o przekroju prostokątnym. W czasie ruchu obrotowego takiego wału jego sztywność giętna względem nieruchomego układu współrzędnych zmienia się w czasie, co prowadzi do drgań. Dla uniknięcia rozwiązywania równania różniczkowego o współczynniku zależnym od czasu wyznaczono ruch wału w wirującym wraz z wałem układzie współrzędnych, a następnie rozwiązanie przetransformowano do nieruchomego układu współrzędnych za pomocą prostych kinematycznych zależności. Rozpatrywany jest dyskretny i ciągły model układu zachowawczego przy założeniu, że prędkość obrotowa wału jest stała. Wykazano, że geometryczne środki przekrojów poprzecznych wału poruszają się po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi łożysk, tak że wał wykonuje drgania kołowe o częstości dwukrotnie wyższej od jego prędkości kątowej.
The paper deals with fatigue safety of structural elements made of orthotropic metallic materials and subjected to non-zero mean stochastic loads. Multiaxial stationary stress is considered under assumption that the power spectral densities of its components at a given point of the element are known. A reduced stress, equivalent to the original stress in terms of fatigue performance of the material, is determined. For this purpose the distortion energy strength theory and the theory of energy transformation systems are applied. Hereby physical parameters of the material associated with the stress components acting on the plane perpendicular to the orthotropy axis and those associated with the remaining stress components are taken into account. As a result, the formula for expected value of the fatigue safety factor in such a case is derived.
PL
Artykuł dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego elementów konstrukcyjnych wykonanych z ortotropowych metalicznych materiałów i poddanych obciążeniom stochastycznym o niezerowych wartościach średnich. Rozpatrywany jest wieloosiowy stan naprężenia przy założeniu, że znane są gęstości widmowe mocy składowych stanu naprężenia w danym punkcie elementu. Zdefiniowano naprężenie zredukowane, równoważne oryginalnemu naprężeniu w sensie wytrzymałości zmęczeniowej materiału. W tym celu wykorzystano hipotezę energii odkształcenia postaciowego i teorię systemów transformujących energię. Uwzględniono przy tym fizyczne parametry materiału odnoszące się do naprężeń działających na płaszczyźnie prostopadłej do osi ortotropowej symetrii materiału oraz parametry odnoszące się do pozostałych składowych stanu naprężenia. Wyprowadzono wzór na wartość oczekiwaną współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego w takim przypadku.
The paper deals with free vibrations of a uniform asymmetric shaft. As an example of asymmetry, a shaft of rectangular cross section is chosen. It is assumed that the shaft is simply supported in two bearings and rotates with constant angular velocity, and that the damping forces can be neglected. Bending vibrations of the shaft caused by an initial disturbance of its equilibrium position are considered. For their description the co-rotating coordinate system and the fixed coordinate system are used. The Euler-Bernoulli theory of bending of beams is utilized.
PL
Artykuł dotyczy swobodnych drgań pryzmatycznego asymetrycznego wału. Jako przykład asymetrii przyjęto wał o przekroju prostokątnym. Założono, że wał jest podparty przegubowo w dwóch łożyskach i wiruje ze stałą prędkością kątową oraz że tłumienie w układzie może być pominięte. Rozpatrywane są giętne drgania wału wywołane początkowym zakłóceniem jego położenia równowagi. Do ich opisu przyjęto układ współrzędnych wirujący wraz z wałem oraz nieruchomy układ współrzędnych. Zastosowano teorię zginania belek Eulera-Bernoulliego.
The paper deals with parametric vibrations of asymmetric shaft subjected to continuous lateral load. As an example of asymmetry, a uniform shaft of rectangular cross section is chosen. During rotation of such a shaft its bending stiffness with respect to a fixed coordinate system varies with time. In order to avoid calculation of flexural vibrations by means of differential equations with time-dependent coefficients, the motion of the shaft is determined in the co-rotating coordinate system from differential equations of constant coefficients and then the solution is transformed to the fixed coordinate system with the aid of simple kinematic relationships. It is assumed that the angular velocity of the shaft is constant and that the damping forces can be neglected. It is shown that the geometric centers of the cross sections of the shaft perform circular motions in the planes perpendicular to the line of centers of the bearings so that the shaft axis is whirling with the frequency twice as high as the angular velocity of the shaft.
PL
Praca dotyczy parametrycznych drgań asymetrycznego wału przy ciągłym obciążeniu poprzecznym. Jako przykład asymetrii przyjęto pryzmatyczny wał o przekroju prostokątnym. W czasie ruchu obrotowego takiego wału jego sztywność giętna względem nieruchomego układu współrzędnych zmienia się w czasie. Dla uniknięcia obliczeń drgań giętych na podstawie równań różniczkowych o współczynnikach zależnych od czasu, ruch wału wyznaczono najpierw w wirującym wraz z wałem układzie współrzędnych wykorzystując równania różniczkowe o stałych współczynnikach, a następnie rozwiązanie to przetransformowano do nieruchomego układu współrzędnych za pomocą prostych kinematycznych zależności. Założono, że prędkość kątowa wału jest stała oraz, że tłumienie w układzie może być pominięte. Wykazano, że geometryczne środki przekrojów poprzecznych wału poruszają się po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi łożysk tak, że oś wału wykonuje drgania kołowe o częstości dwukrotnie wyższej od prędkości kątowej wału.
Artykuł dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów poddanych równoczesnemu działaniu momentów gnących i skręcających o losowym charakterze i stacjonarnych w szerszym sensie. Zakłada się, że wynikające stąd naprężenia normalne i tnące są nieskorelowane oraz że mają znane wartości średnie i gęstości widmowe mocy. Pozwala to oba te naprężenia rozpatrywać oddzielnie i wykorzystywać znany wzór na współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów na podstawie obliczeń cząstkowych współczynników bezpieczeństwa zmęczeniowego przy zginaniu i skręcaniu. W tym celu wyznaczono ekwiwalentne naprężenia normalne i tnące jako procesy Gaussa oraz wartości oczekiwane cząstkowych współczynników bezpieczeństwa. Przeprowadzono obliczenia przykładowe.
EN
The paper deals with fatigue safety of shafts subjected to simultaneous bending and torsional loads of random character, stationary in the wide sense. It is assumed that the resulting normal and shear stresses are not correlated with each other, and that their mean values and power spectral densities are known. Consequently, both these stresses can be considered separately and the known formula for the coefficient of fatigue safety of shafts based on the calculations
Praca dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego maszyn i konstrukcji obciążonych poniżej granicy zmęczenia. Rozpatrywany jest złożony stan naprężenia, którego składowe są zadane w postaci szeregów Fouriera. W celu sformułowania kryterium nieograniczonej trwałości zmęczeniowej naprężenie to zamodelowano naprężeniem zredukowanym, równoważnym naprężeniu oryginalnemu w odniesieniu do wytrzymałości zmęczeniowej. Warunki równoważności oparto na hipotezie uśrednionej energii odkształcenia postaciowego. Porównano dwa rozwiązania tego zagadnienia.
EN
The paper deals with the fatigue safety of machines and structures loaded below the fatigue limit. Combined periodic stress is considered the components of which are given in the form of Fourier series. In order to formulate a criterion of an infinite fatigue life, a reduced stress is determined which is equivalent to the original stress in terms of fatigue strength. The equivalence conditions are based on the average-distortion-energy strength hypothesis. Two solutions of this problem are compared.
The paper deals with fatigue safety of machines and structures subjected to stresses below the fatigue limit of the material. Multiaxial stationary stochastic stresses are considered which are modelled by an equivalent stress in the form of a Gaussian process. The equivalence conditions are based on the Huber-Mises-Hencky strength theory and on the theory of energy transformation systems. It is assumed that the mean values, power spectral densities and cross power spectral densities of the stress processes are known. The formula for the expected value of fatigue safety margin is derived which can be used for visualization of fatigue safety level in selected parts of structural elements by means of maps.
PL
Praca dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego maszyn i konstrukcji poddanych naprężeniom poniżej granicy zmęczenia. Rozpatrywane jest wieloosiowe naprężenie stacjonarne, które zamodelowano jednoosiowym naprężeniem równoważnym w postaci procesu Gaussa. Warunki równoważności oparto na hipotezie wytężenia Hubera-Misesa-Hencky'ego i na teorii systemów transformacji energii. Założono znajomość wartości średnich, gęstości widmowych mocy i wzajemnych gęstości widmowych mocy naprężeń składowych. Wyprowadzono wzór na wartość oczekiwaną marginesu bezpieczeństwa zmęczeniowego, która może być użyta do wizualizacji poziomu bezpieczeństwa zmęczeniowego wybranych części konstrukcji za pomocą warstwic.
The paper deals with fatigue damage accumulated in elements of machines and structures subjected to stresses in the high-cycle fatigue regime. Uniaxial stationary stochastic stresses are considered which are modelled by an equivalent stress in the form of a Gaussian process. The equivalence conditions are based on the theory of energy transformation systems. It is assumed that the mean value and the power spectral density of the original stress are known. The ratio of the required design life and the expected value of the time to failure is determined as the fatigue damage parameter the values of which can be used for visualization of fatigue damage of the material by means of maps.
PL
Praca dotyczy uszkodzeń zmęczeniowych elementów maszyn i konstrukcji poddanych naprężeniom w zakresie ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej wysokocyklowej. Rozpatrywane jest jednoosiowe naprężenie stacjonarne, które zamodelowano naprężeniem równoważnym w postaci procesu Gaussa. Warunki równoważności oparto na teorii systemów transformacji energii. Założono znajomość wartości średniej i gęstości widmowej mocy naprężenia. Iloraz założonego czasu eksploatacji i wartości oczekiwanej czasu do chwili pęknięcia przyjęto jako parametr uszkodzenia zmęczeniowego, którego wartości mogą być użyte do wizualizacji stopnia uszkodzenia zmęczeniowego materiału za pomocą warstwić.
Praca dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego maszyn i konstrukcji poddanych działaniu naprężeń nieprzekraczających granicy zmęczenia materiału. Rozpatrywane są jednoosiowe stacjonarne naprężenia stochastyczne, które zamodelowano ekwiwalentnym procesem Gaussa. Warunek równoważności przyjęto na podstawie teorii systemów transformujących energię. Założono znajomość wartości średniej i gęstości widmowej mocy naprężenia rzeczywistego. Wyznaczono wartość oczekiwaną względnego marginesu bezpieczeństwa zmęczeniowego, która może służyć do wizualizacji poziomu bezpieczeństwa zmęczeniowego elementów konstrukcyjnych za pomocą warstwic.
EN
The paper deals with fatigue safety of machines and structures subjected to stresses not exceeding the fatigue limit of the material. Uniaxial stationary stochastic stresses modeled by an equivalent Gaussian process are considered. The equivalence condition is based on the theory of energy transformation systems. It is assumed that the mean value and the power spectral density of the actual stress is known. The expected value of the relative fatigue safety margin is determined. It can be used for visualization of fatigue safety level of structural elements on maps.
Praca dotyczy badań lokalnych skutków uderzenia w konstrukcję osłonową typu sandwich. Dla wyeliminowania wpływu podpór i warunków brzegowych badanego fragmentu osłony na deformacje jej rdzenia i powłok zewnętrznych zaproponowano dwa stanowiska badawcze. Na jednym dwa identyczne młoty uderzały równocześnie z obu stron próbki w jej powłoki zewnętrzne. Na drugim jeden młot uderzał w próbkę i poprzez nią przekazywał energię uderzenia drugiemu młotowi o zerowej prędkości początkowej. Sformułowano trzy alternatywne kryteria efektywności energochłonnych osłon.
EN
The paper deals with experimental investigations into local shock effects on shield structures of the sandwich type. In order to eliminate the influence of support and boundary conditions of the element investigated onto deformations of its core and outer plates, two test stands were proposed. In one of them, two identical hammers simultaneously stroke both of the outer plates of the element. In the second stand, one hammer transferred its impact energy through the investigated element to the second hammer of zero initial velocity. In the paper three alternative criteria of the effectiveness of energy-absorbing shields are formulated.
Praca dotyczy bezpieczeństwa maszyn i konstrukcji w zakresie nieograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej. W celu wyznaczenia warstwic bezpieczeństwa zmęczeniowego elementów konstrukcyjnych poddanych złożonym obciążeniom dogodnie jest zamodelować oryginalne naprężenie w wybranych punktach elementu przez proste naprężenie zredukowane, równoważne oryginalnemu w odniesieniu do wytrzymałości zmęczeniowej, i wyliczyć współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego w tych punktach. W niniejszym artykule wykorzystano w tym celu wytrzymałościową hipotezę uśrednionej energii odkształcenia postaciowego. Rozpatrywane są jednoosiowe i wieloosiowe naprężenia okresowe. Określono gradient bezpieczeństwa zmęczeniowego, co ułatwia rysowanie warstwic bezpieczeństwa zmęczeniowego.
EN
The paper deals with fatigue 'safe life' of elements in machines and structures. In order to determine the maps of fatigue safety under complex loading conditions it is convenient to model the original stress in selected points of the elements by a simple reduced stress, equivalent to the original one in terms of fatigue performance, and to calculate the coefficient of fatigue safety in these points. For this purpose in the present paper the average-distortion-energy strength hypothesis is applied. Uniaxial and multiaxial periodic stresses are considered. Gradient of fatigue safety is defined which facilitates drawing maps of fatigue safety.
The load capacity of homogeneous, isotropic viscoelastic materials subjected to multiaxial stresses is considered. For this purpose uniaxial equivalent stresses in selected load cases are determined and relevant criteria applied. It is shown that in the case of constant load the yield criterion does not differ from that for perfectly elastic materials. Similar conclusion has been drawn for the fatigue and yield criteria at in-phase and out-of-phase stresses. On the contrary, the criteria derived for viscoelastic materials subjected to periodic loads do not coincide with those for perfectly elastic materials.
W pracy przedstawiono nowe wskaźniki odporności materiałów na uszkodzenia wywołane uderzeniem. Jako element uderzający proponuje się wgłębniki o określonych wymiarach. W zależności od kształtu powierzchni czołowej wgłębników definiuje się miary odporności na udarowe wgniecenia, nakłucia i nacięcia.
EN
The paper presents new coefficients of impact resistance of materials. As a striking element, indenters of specific forms are proposed. Depending on the shape of their heads, the measures of Dynamic Indentation Resistance (DIR), Dynamic Piercing Resistance (DPR) and Dynamic Cutting Resistance (DCR) are defined.
On the basis of modified Hooke’s law for multiaxial stress in viscoelastic solids, threedimensional constitutive equations for strains have been derived. It is shown that after application or removal of triaxial static load, normal and shear strain components vary in course of time proportionally to each other and that in-phase stress components produce in-phase strain components. Harmonic out-of-phase stress as well as multiaxial periodic and stationary random stresses are also considered. The matrix of dynamical flexibility of viscoelastic materials is determined which depends on three material constants (Young modulus, Poisson’s ratio and coefficient of viscous damping of normal strain) and load circular frequency.
On the basis of Hooke’s law for multiaxial stress in elastic solids, similar relationships for viscoelastic materials are considered. It is assumed that the material is homogeneous and isotropic, and that the Kelvin-Voigt’s model is applicable to normal strain components. An analogous model is also taken for shear strain components. It is shown that the ratio of coefficients of viscous damping of normal and shear strain components is equal to the ratio of Young modulus and shear modulus. As a result, the modified Hooke’s law for multiaxial stress in viscoelastic materials has been formulated which includes three material constants: Young modulus, Poisson’s ratio and coefficient of viscous damping of normal strain.
On the basis of the three-dimensional constitutive equations for strains resulting from the Kelvin-Voigt’s model and modified Hooke’s law for multiaxial stress in viscoelastic solids, the formulae for the energy dissipated in a given time per unit volume have been derived. It is shown that after application or removal of triaxial static load there is no difference in the time functions governing the dissipation of strain energy of volume change and the dissipation of strain energy of distortion. Harmonic in-phase stress and harmonic out-of-phase stress as well as multiaxial periodic stress are also considered. It is demonstrated that in the process of energy dissipation due to normal and shear stress components the role of the latter is dominant.
This paper presents constitutive equations of viscoelastic materials subjected to complex loading conditions. The standard rheological model is used and its 3-D generalization is considered. In the case of sudden application of loads and higher strain rates the momentary modulus of elasticity in tension-compression and the momentary modulus of elasticity in shear as well as the momentary coefficients of viscous damping of normal and shear strain components have been taken into account. The ratios of these moduli and of these coefficients are investigated.
PL
W artykule przedstawiono równania konstytutywne materiałów lepkosprężystych poddanych obciążeniom złożonym. Użyto standardowego modelu reologicznego i rozpatrzono jego uogólnienie na przestrzeń trójwymiarową. W przypadku nagłego przyłożenia obciążeń i większych prędkości deformacji uwzględniono chwilowe moduły sprężystości i chwilowe współczynniki tłumienia wiskotycznego odnoszącego się do rozciągania - ściskania i skręcania. Analizowane są ilorazy tych modułów i tych współczynników.
Praca przedstawia dwie wersje równań konstytutywnych materiałów lepkosprężystych w ogólnym stanie naprężenia. Do ich wyprowadzenia wykorzystano model Kelvina-Voigta oraz model standardowy, które uogólniono na przestrzeń trójwymiarową. Zastosowano współczynniki umożliwiające uwzględnienie relaksacji odkształceń, relaksacji naprężeń i wpływu chwilowych (nierelaksujących) modułów sprężystości na deformacje materiału przy obciążeniach złożonych poniżej granicy plastyczności.
EN
This paper presents two versions of constitutive equations of viscoelastic materials in the general stress state. To derive them the Kelvin-Voigt's model and the standard model, which have been generalized for the 3-D space, are used. The coefficients applied make it possible to take into account the strain relaxation, stress relaxation and the influence of momentary (non-relaxatory) moduli of elasticity on the material deformations under complex loads below the yield point.
Praca dotyczy oszacowania wpływu równomiernej korozji na dynamiczną odporność materiałów na przecinanie na podstawie badań przy użyciu wgłębnika. Ograniczono się do opisu badań polegających na udarowym nacinaniu próbek wgłębnikiem w kształcie klina. Jako miarę odporności materiału przyjęto wartość ilorazu energii kinetycznej młota i objętości wgłębienia. Zdefiniowano warunki pomiarów.
EN
The paper deals with the assessment of effect of uniform corrosion on dynamic resistance of materials to cutting, based on tests with an indenter. The description is limited to the experiments with the use of a wedge-shaped indenter. The quotient of kinetic energy and of the hammer and the indentation volume are assumed as the comparative measure of material resistance. The conditions for reliable measurements are defined.
Artykuł dotyczy oszacowania dynamicznej twardości metali na podstawie badań przy użyciu wgłębnika. Jako porównawczą miarę tej właściwości zaproponowano wartości ilorazu energii kinetycznej młota i objętości wgłębienia. Zdefiniowano warunki pomiarów.
EN
A comparative measure of dynamic hardness of metalsThe paper deals with the assessment of dynamic hardness of metals on the basis of tests conducted with an indenter. As a comparative measure of this property, the dynamic indentation hardness is proposed which can be evaluated as the ratio of kinetic energy of the hammer and the indentation volume. The conditions of reliable measurements are defined.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.