PL
 |
EN
Preferencje help
Polish version English version Język
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników

Znaleziono wyników: 8

Liczba wyników na stronie
first rewind previous Strona / 1 next fast forward last
Wyniki wyszukiwania
help Sortuj według:

help Ogranicz wyniki do:
first rewind previous Strona / 1 next fast forward last
1
Content available Construction of hyperbola
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2010
|
Vol. 21
3--8
EN
In this article, the author gives an interesting and relatively simple construction of a hyperbola which is determined by its asymptotes and a random point. In the case of equilateral hyperbola this construction can also be implemented when the hyperbola is given with an imaginary axis and the vertex, and in the general case by an imaginary axis, the center of concentric circles and a random real number n>0. The proposed method can also be implemented in the case of the hyperbola given by its vertices and a point. The construction of the subsequent points of hyperbola was deduced from the properties of straight line transformation ( as degenerate of a conic) by means of the pencil of concentric circles.
PL
W prezentowanym artykule podano oryginalną i stosunkowo prostą konstrukcję hiperboli określonej jej niezbędnymi elementami. Konstrukcję kolejnych punktów hiperboli wyprowadzono z właściwości przekształcenia prostej, jako stożkowej zdegenerowanej, za pomocą pęku koncentrycznych okręgów. Pierwsza część artykułu zawiera definicję przekształcenia, analityczny dowód twierdzenia orzekającego, iż obrazem prostej w tym przekształceniu jest pęk współśrodkowych i współosiowych hiperbol, dla którego przekształcana prosta jest wspólną osią urojoną oraz wyprowadzony wniosek, że hiperbola może być również określona osią urojoną, środkiem koncentrycznych okręgów oraz dowolną liczą n>0 i n≠∞. W drugiej części pracy podano algorytmy konstrukcji bieżących punktów hiperboli zadanej: a) jej asymptotami i dowolnym punktem, b) osią urojoną, środkiem koncentrycznych okręgów i dowolną liczbą n, c) wierzchołkami i dowolnym punktem, a w przypadku hiperboli równobocznej d) osią urojoną i wierzchołkiem.
2
Content available The equilateral triangles of a given side whose ver-tices belong to three non complanar stright lines
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2009
|
Vol. 19
27--37
EN
This paper is continuation of the problem originated in the paper [2], and contains the analytic proof of the statement, which determines the set of points of plane, which are the vertices of equilateral triangles of given side and two residual (remaining) belonging to two intersecting lines. This statement is used to the prove that in the 3-dimensional space set of these points there is kinetic surface of stable generating line which is in the shape of circle. In the case of two parallel lines this surface is elliptic cylinder. The construction of the common points of the third line and in this manner obtained kinetic surface make possible the discov-ery of the vertices of equilateral triangle of given side which the vertices belong to the three given non coplanar straight lines.
PL
W pracy, która jest kontynuacją problematyki zapoczątkowanej w artykule [2] podano dowód twierdzenia określającego zbiór punktów płaszczyzny, które są wierzchołkami trójkątów równobocznych o zadanym boku i dwóch pozostałych wierzchołkach leżących odpowiednio na dwu przecinających się prostych. Twierdzenie to wykorzystano do wykazania, że w 3-wymiarowej przestrzeni zbiorem takich punktów jest powierzchnia kinetyczna o stałym kształcie tworzącej, w postaci okręgu. W przypadku dwu prostych równoległych powierzchnia ta jest powierzchnią walcową eliptyczną. Wyznaczenie punktów wspólnych trzeciej prostej z tak utworzoną powierzchnią kinetyczną prowadzi do znalezienia wierzchołków trójkąta równobocznego o zadanym boku spełniającego warunki zadania.
3
Content available Midpoints of segments whose endpoints belong to two straight lines
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2009
|
Vol. 20
3--11
EN
The paper discusses sets of midpoints of segments whose endpoints belong to two given, different and coplanar or skew lines. The endpoints of these segments in the case of intersecting lines are determined by pencils of lines and concentric circles, whereas in the case of two skew lines by pencils of planes and concentric spheres. The paper proves that these sets are nonsingular or singular conic, for example rectangular hyperbola or a pair of perpendicular straight lines. All the results of study were obtained by synthetic methods.
PL
Artykuł przedstawia wyniki badań zbiorów środków odcinków, o końcach należących do dwóch prostych komplanarnych, jak i skośnych. Punkty ograniczające te odcinki, na płaszczyźnie, wyznaczane sąza pomocą: a) pęku prostych, b) pęku koncentrycznych okręgów, zaś w przestrzeni c) pęku płaszczyzn i d) pęku współśrodkowych sfer. Wykazano, że w przypadkach a) i c), środki tak wyznaczonych odcinków należą do prostej bądź hiperboli, która może być hiperbolą prostokątną, a w b) i d) są zawsze punktami hiperboli równobocznej lub pary prostopadłych prostych jako zdegenerowanej stożkowej. Ponadto zwrócono uwagę, iż zakres tej pracy może być znacznie rozszerzony, a badania kontynuowane. Punkty ograniczające rozważane odcinki mogą być bowiem wyznaczane również na płaszczyźnie za pomocą: pęku współosiowych i stycznych okręgów bądź przechodzących przez dwa stałe punkty, a w przestrzeni - pęku współosiowych, stycznych sfer lub zawierających ten sam okrąg. Można wykazać, że w przypadku jednego z pęków okręgów o właściwej osi potęgowej, środki tak wyznaczonych odcinków należą między innymi do paraboli. Reasumując stwierdzono, iż stożkowe mogą być również rozpatrywane, jako środki odcinków o końcach należących odpowiednio do dwóch prostych zarówno komplanarnych, jak i skośnych.
4
Content available Equilateral triangles whose vertices belong to three given straight lines
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2009
|
Vol. 19
15--26
EN
The problem of finding an intersection line of any triangular prism in an equilateral triangle can be solved with a compass and ruler on the basis of the two lemmas and the conclusion from the general theorem related to the decomposition of the intersection line of two surfaces of the second degree into two conic sections, namely: 'each elliptical cylinder can be in-tersected in a circle as a three-dimensional task'. The present paper returns to this problem by extending it to any three straight lines, both coplanar and non-coplanar. By selecting a point on one of the three given lines the discussed problem focused on finding an equilateral triangle with one of its vertices in the given point and the other two located respectively on the two given coplanar / non-coplanar straight lines.
PL
W artykule [2] podano przybliżone konstrukcje przekroju zarówno trójściennego graniastosłupa, jak i ostrosłupa w trójkącie równobocznym. Po uprzednim sporządzeniu siatki pobocznicy wielościanu, problem rozwiązano jako zadanie płaskie, wpisując w nią łamaną o równych odcinkach tak, aby jej wierzchołki leżały na odpowiednich krawędziach. Ponadto, by prosta łącząca jej początek i koniec była w przypadku graniastosłupa prostopadła do jego krawędzi, zaś w przypadku ostrosłupa, by te dwa punkty znajdowały się w takiej samej odległości od jego wierzchołka. W niniejszej publikacji powrócono do tego problemu, rozszerzając go na każde trzy proste zarówno współpłaszczyznowe, jak i niewspółpłaszczyznowe. Obierając najednej z trzech danych prostych dowolny punkt, rozważany problem sprowadzono do zadania znalezienia trójkąta równobocznego o jednym jego wierzchołku w danym punkcie oraz pozostałych leżących odpowiednio na dwóch danych prostych komplanarnych/niekomplanarnych.
5
Content available Construction of parabola
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2009
|
Vol. 20
13--16
EN
In the present article, the author gives an interesting and relatively simple construction of parabola determined by a vertex, an axis and its random point. The construction of next points of parabola was deduced from the properties of circle transformation by the pencil of concentric circles.
PL
W artykule podano interesującą i stosunkowo prostą konstrukcję bieżących punktów paraboli wykorzystując własności przekształcenia okręgu za pomocą pęku współśrodkowych okręgów. W pierwszej części pracy zdefiniowano przekształcenie oraz wykazano, że obrazem okręgu w tak określonym przekształceniu jest pęk parabol o wspólnym wierzchołku i osi. Ponadto stwierdzono iż w przypadku gdy środek koncentrycznych okręgów należy do przekształcanego okręgu to wierzchołek tych parabol jednoczy sięz nim. W drugiej części artykułu podano algorytm konstrukcji kolejnych punktów paraboli zadanej poprzez podanie wierzchołka, osi oraz jej dowolnego punktu.
6
Content available O pewnym przekształceniu płaszczyzny
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2001
|
Vol. 12
44--55
PL
Praca jest kontynuacją badań autora nad stożkowymi będącymi zbiorami środków sfer przechodzących przez dwa różne lub jednoczące się punkty i równocześnie stycznych do prostej, płaszczyzny bądź sfery. W prezentowanym obecnie artykule zdefiniowano przekształcenie oraz podano jego podstawowe właściwości. Na płaszczyźnie rzutowej obrano dwa różne punkty Μ i W, z których tylko punkt W może być również punktem niewłaściwym. Przy tych założeniach za obraz dowolnego punktu właściwego X płaszczyzny przyjmuje się punkt ¹X, W którym symetralna odcinka MV przecina prostą WX. Wykazano m.in., że obrazem każdej prostej nie zawierającej punktów Μ i W jest krzywa stopnia trzeciego, a okręgu w położeniu ogólnym krzywa stopnia czwartego. Jeżeli środkiem okręgu jest punkt W, a jego promień R > WM/R < WM, to obrazem takiego okręgu w tym przekształceniu jest elipsa /hiperbola (stożkowa „obwiednią” jednoczy się ze stożkową „miejscem"), tak więc uzyskane wyniki badań potwierdzają udowodnione wcześniej przez autora twierdzenie orzekające, że punkt i okrąg/prosta nie przechodzący (a) przez ten punkt w sposób jednoznaczny określają niezdegenerowaną stożkową, dla której dany punkt i środek okręgu są ogniskami/ogniskiem.
EN
The paper presents research on features of a certain transformation of a plane which can originate from an article [4]. where conics are regarded as sets of sphere centers, passing through two different or united points and are at the same time tangent to a line, plane or sphere. A theorem has been proved that a point and a circle/line, which do not include that point, determine univocally a nondegenerated conic and an algorithm of that construction has been given. From this way of determination of current points. which is the same for each nondegenerated conic determined by a constant point and a constant circle/line, a definition of a transformation is derived. The maximum set which is taken into consideration is a projective plane.
7
Content available Stożkowe jako zbiory środków sfer przechodzących przez dwa punkty i stycznych do prostej, płaszczyzny bądź sfery
Ochoński S.
Materiały Seminarium Geometrii i Grafiki Inżynierskiej
|
2000
|
z. 9
39--49
EN
The paper presents results of studies on sets of centers of spheres containing two different points or common point, and at the same time tangent to the straight line, plane or sphere. The studies proved that these sets are conics and in the case of spheres passing through point and tangent to the plane or sphere – surfaces of revolution in the form of sphere, ellipsoid, paraboloid and double-sheet hyperboloid. Well known definition of parabola, as a set of equally – distant points from fixed point and straight line, has been extended to the remaining nondegenerated conics via exchange straight line into circle. In this work was given also original general definition of nondegenerated conics as a set of equally – distant points from two fixed and coplanar reciprocally passing circles. Only one of these sets can be the straight line. It has been proved that two of these circles define anti-inversion and it could be realised on plane with orthogonal cones with common vertex and height. The results of these studies were also two algorithms of universal kinematic conic constructions which let us determine tangent line with its tangent point. Solutions of two exercises are given as ilustrating examples there.
8
Content available Stożkowe jako zbiory środków sfer przechodzących przez dwa punkty i stycznych do prostej, płaszczyzny bądź sfery - Część II
Ochoński S.
Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
|
2000
|
Vol. 10
25--40
EN
The paper presents results of studies on sets of centers of spheres containing two different points or common point, and at the same time tangent to straight line, plane or sphere. The studies proved that these sets are conics and in the case of spheres passing through point and tangent to the plane or sphere - surfaces of revolution in the form of sphere, ellipsoid, paraboloid and double-sheet hyperboloid. Well known definition of parabola. as a set of equally - distant points from fixed point and straight line, has been extended to the remaining nondegenerated conics via exchanges straight line into circle. In this work original general definition of nondegenerated conics as a set of equally - distant points from two fixed and coplanar reciprocally passing circles was also given. Only one of these sets can be the straight line. It has been proved that two of these circles define anti-inversion and it could be realised on plane with orthogonal cones with common vertex and height. The results of these studies were also two algorithms of universal kinematic conic constructions which let us determine tangent line with its tangent point. The solutions of two exercises are given as ilustrating examples there.
first rewind previous Strona / 1 next fast forward last
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.